Chemie Grundlagen

Heisenbergsche Unschärferelation

Die Heisenbergsche Unschärferelation ist eine der markantesten Unterschiede zwischen der klassischen Physik und der Quantenphysik. Wie die Heisenbergsche Unschärferelation genau lautet und was sie wirklich aussagt, erfährst du in diesem Beitrag.

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Inhaltsübersicht

Heisenbergsche Unschärferelation einfach erklärt

Die Heisenbergsche Unschärferelation wird als „zentraler Kern“ der Quantenmechanik angesehen. Im Jahre 1927 veröffentliche Werner Heisenberg in seiner Arbeit als erste eine Formulierung der Unschärferelation.

Merke

Es ist nicht möglich einen Zustand zu präparieren, bei dem sowohl der Ort als auch der Impuls gleichzeitig einen exakten Wert besitzen. Je genauer du den Ort eines Teilchens kennst, umso weniger genau kannst du seinen Impuls definieren, und umgekehrt. Für das Produkt der „Ungenauigkeit“ im Ort \Delta x und der „Ungenauigkeit“ im Impuls \Delta p_x gilt

\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}.

Diese „Unbestimmtheit“ ist eine unvermeidbare Konsequenz der Wellennatur von Materie. Insbesondere ist die Unschärferelation keine Aussage über die „Genauigkeit von Messgeräten“.

Heisenbergsche Unschärferelation Physik

Tatsächlich kann man nicht von der Heisenbergschen Unschärferelation sprechen, denn es gibt verschiedene Unschärferelationen, je nachdem welches Paar an physikalischen Größen du betrachtest. In diesem Abschnitt stellen wir dir verschiedene Unschärferelationen vor, illustrieren für das Paar „Ort und Impuls“ die Relationen anhand einer einfachen Welle und verdeutlichen dir die Interpretation dieser Unschärferelation.

Ungleichungen

Werner Heisenberg selbst führte in seiner Arbeit im Jahre 1927 zwei Unschärferelationen ein: Die Ort-Impuls-Unschärferelation und die Energie-Zeit-Unschärferelation

Allgemein war er der Auffassung, dass Bezeichnungen wie „die Position eines Teilchens“ nur dann sinnbehaftet sind, wenn eine Messvorschrift angegeben werden kann, mit der „die Position eines Teilchens“ experimentell bestimmbar ist.

Ort und Impuls

Zum Beispiel hatte er sich ein Experiment vorgestellt, mit der die Position eines Elektrons durch ein Mikroskop bestimmt wird. Prinzipiell ist die Genauigkeit der Ortsmessung abhängig von der Wellenlänge des Mikroskoplichts. Je kleiner die Wellenlänge ist, umso genauer kann die Position des Elektrons bestimmt werden. Dafür muss aber das Elektron mit dem Licht wechselwirken. Das kannst du dir als ein Stoß vorstellen, den das Licht auf das Elektron ausübt. Dadurch aber wird der Impuls des Elektrons verändert. Umso kleiner die Wellenlänge ist, desto größer die Impulsänderung.

Heisenberg folgerte also: Je genauer der Ort des Elektrons gemessen wird, also je kleiner die Wellenlänge des Lichts, umso größer ist die Impulsänderung, also umso weniger genau lässt sich der Impuls bestimmen und umgekehrt. Er lieferte für diese „Ungenauigkeiten“ folgende Beziehung

\Delta x \Delta p \thicksim h,

wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist. Diese Beziehung ist folgendermaßen zu lesen: Die Ungenauigkeit im Ort multipliziert mit der Ungenauigkeit im Impuls ist von der Größenordnung des Planckschen Wirkungsquantums. Was genau diese „Ungenauigkeit“ darstellt, wurde anfangs von Heisenberg nicht spezifiziert. Eine präzise Definition geben wir dem interessierten Leser weiter unten. An dieser Stelle kannst du dir unter \Delta x ein gewisses Maß für die Ausdehnung möglicher Orte vorstellen, an denen du das Elektron finden könntest. Die Schreibweise mit \Delta wurde ebenfalls nicht von Heisenberg eingeführt. Die heutige bekannte Heisenbergsche Unschärferelation für den Ort und Impuls lässt sich auf Wolfgang Ernst Pauli zurückführen.

Heisenbergsche Unschärferelation für Ort und Impuls

Für das Produkt der Unschärfe im Ort \Delta x und der Unschärfe im Impuls \Delta p gilt die Ungleichung

\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}.

Du solltest beachten, dass hier die Impulskomponente in x-Richtung gemeint ist. Für jede Raumrichtung lässt sich eine Unschärferelation schreiben

\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} für die x-Richtung,

\Delta y \Delta p_y \geq \frac{\hbar}{2} für die y-Richtung und

\Delta z \Delta p_z \geq \frac{\hbar}{2} für die z-Richtung.

Energie und Zeit

Eine ähnliche Beziehung führte Heisenberg für das Paar Energie und Zeit. Auch hierfür lieferte er eine Abschätzung für das Produkt der „Ungenauigkeiten“

\Delta E \Delta t \thicksim h.

Ebenso gilt für dieses Paar eine Heisenbergsche Unschärferelation.

Heisenbergsche Unschärferelation für Energie und Zeit

Für das Produkt der Unschärfe in der Energie \Delta E und der Unschärfe in der Zeit \Delta t gilt die Ungleichung

\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}.

Auch wenn die Energie-Zeit-Relation der Ort-Impuls-Relation bis auf eine „Umbenennung der Größen“ gleichgestellt ist,  hat die Energie-Zeit-Relation konzeptionell einen komplett anderen Status wie die Ort-Impuls-Relation. Die Problematik kommt daher zustande, welche Rolle man der „Zeit“ in der Quantenmechanik gibt. Die „Unschärfe in der Zeit“ hat keine eindeutige Definition und in manchen Interpretationen wird unter „Unschärfe“ die „Dauer“ gemeint. Hier wird also das „\Delta“ so behandelt, wie du es gewohnt bist: Als Differenz zwischen zwei Zeitpunkten. Wir werden daher die Energie-Zeit-Relation nicht weiter behandeln. Wir geben dir aber dennoch ein Beispiel, indem die „Unschärfe in der Zeit“ als „Dauer“ aufgefasst wird.

Beispiel

Wenn du ein Atom, zum Beispiel durch Licht , in einen angeregten Zustand beförderst, kann er durch spontane Emission eines Photons in einen tieferliegenden Zustand gelangen. Wie „lange“ das Atom dafür braucht, wird durch die Lebensdauer \tau angegeben. Experimentell konnte bestätigt werden, dass die emittierten Photonen nicht alle die exakt gleiche Energie besitzen. In der Tat würdest du eine „Breite“ \Delta E im Emissionsspektrum des Atoms beobachten. Diese sogenannte natürliche Linienbreite steht im engen Zusammenhang mit der Lebensdauer. Es gilt

\Delta E \cdot \tau = \hbar.

Du siehst also, dass hier, bis auf einen Faktor von 2, im Wesentlichen die Heisenbergsche Unschärferelation für Energie und Zeit steht. 

Illustration an einer einfachen Welle

Stell dir vor, du hältst ein Seil in der Hand. Du bewegst nun deine Hand periodisch auf und ab. Was wirst du sehen? Entlang des Seils stellt sich eine Welle ein. Wenn wir dich jetzt danach fragen, wo denn die Welle genau ist, wirst du vermutlich keine Antwort darauf haben. Die Welle befindet sich nämlich nicht dort oder dort, sondern erstreckt sich über die gesamte Länge des Seils. Wenn wir dich aber nach der Wellenlänge der Seilwelle fragen, dann könntest du einen Meterstab zücken, rasch den Abstand zwischen zwei Hügeln (oder zwei Mulden) messen und uns eine relativ präzise Antwort geben. 

Nun bewegst du deine Hand nicht mehr periodisch auf und ab. Stattdessen bewegst du sie einmal rasch hoch und runter. Was siehst du diesmal? Du erkennst einen Hügel, der sich entlang des Seils fortbewegt. Diesmal kannst du uns auf die Frage nach dem „Wo“ eine relativ präzise Antwort geben. Bei der Frage nach der „Wellenlänge“ wirst du aber auf ein Problem stoßen, denn der eine Hügel ist kein periodischer Vorgang. Du kannst also mit deinem Meterstab überhaupt nicht den Abstand zwischen zwei Hügeln messen, denn es gibt nur einen Hügel. 

Natürlich kannst du mit unterschiedlichen „Rhythmen“ deiner Handbewegung Seilwellen erzeugen, die irgendwo zwischen den zwei besprochenen Fällen liegen. Du wirst aber immer auf eine Problematik stoßen: Je genauer du den Ort der Welle kennst, umso schwieriger kannst du der Welle eine Wellenlänge zuordnen, und umgekehrt

Wellen-Teilchen-Dualismus

Wie aber lässt sich diese Erkenntnis auf zum Beispiel ein Elektron anwenden? Hier kommt der verwirrende Wellen-Teilchen-Dualismus ins Spiel. Nach ihm kann beispielsweise ein Elektron nicht nur einen Teilchencharakter aufweisen, sondern auch einen Wellencharakter. Louis de Broglie leitete eine Beziehung zwischen den Impuls p eines Teilchens und seiner Wellenlänge \lambda 

p = \frac{h}{\lambda}

her. Diese Beziehung ist unter der Bezeichnung De-Broglie-Wellenlänge bekannt und ist eine Relation zwischen der Teilcheneigenschaft „Impuls“ und der Welleneigenschaft „Wellenlänge“. Daher führt eine „Ungenauigkeit“ in der Wellenlänge auch zu einer „Ungenauigkeit“ im Impuls. Die vorherigen Beobachtungen können wir daher folgendermaßen formulieren: Je genauer du den Ort eines Teilchens bestimmst, umso weniger genau kannst du seinen Impuls definieren. Das ist gerade die Aussage, die die Heisenbergsche Unschärferelation für Ort und Impuls kodiert. 

Wir können also festhalten, dass die Heisenbergsche Unschärferelation eine unvermeidbare Konsequenz der Wellennatur von Materie ist. Die Wellennatur der Materie selbst führt zur Unbestimmtheit ihrer Teilcheneigenschaften.

Interpretation

Jetzt ist dir zwar die Ungleichung für den Ort und Impuls bekannt, aber was bedeutet denn die Heisenbergsche Unschärferelation. Insbesondere, was ist mit „Unschärfe“ in der Ort-Impuls-Relation gemeint. In diesem Unterabschnitt geben wir dir mögliche Antworten auf diese Fragen.

Was ist mit „Unschärfe“ gemeint?

Heisenberg selbst hat den Begriff „Unschärfe“ in seiner Arbeit nicht eindeutig definiert. Stattdessen war die „Unschärfe“ etwas wie ein mittlerer Fehler. Die erste mathematisch exakte Formulierung der Ort-Impuls-Relation kam von Earle Hesse Kennard im Jahre 1927. Anders als Heisenberg, definierte Kennard die „Unschärfe“ eindeutig. Er legte sowohl \Delta x als auch \Delta p als die Standardabweichung dieser Größen fest.

Die Standardabweichung ist ein bekanntes Streuungsmaß aus der Statistik. Sie ist eine Zahl, die angibt, mit welchen Fluktuationen in den Werten einer bestimmten Größe du rechnen kannst, wenn du diese bestimmte Größe an identisch präparierten Systemen misst. Um dir diese Idee zu illustrieren, nehmen wir an, dass du eine Messreihe aufgenommen hast. Du rechnest die Standardabweichung aus und stellst fest, dass sie ziemlich groß ist. Was bedeutet das für dich, wenn du nun erneut eine Messung durchführst? Du könntest mit großer Wahrscheinlichkeit einen Messwert erfassen, der ziemlich stark vom Mittelwert der Messreihe abweicht.

Für die Standardabweichung wird oft das Symbol \sigma verwendet. Daher findest du die Heisenbergsche Unschärferelation manchmal auch in der Forme

\sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}.

Was bedeutet die Heisenbergsche Unschärferelation?

Bevor wir dir erklären, was die Heisenbergsche Unschärferelation aussagt, schildern wir dir, was sie nicht aussagt. Die Heisenbergsche Unschärferelation sagt nicht aus, dass wir den Ort und Impuls eines Teilchens nicht bestimmen können. Wenn du eine Ortsmessung an dem Teilchen durchführst, wirst du eine exakte Zahl erhalten. Genauso erhältst du bei einer Impulsmessung eine exakte Zahl. 

Was die Heisenbergsche Unschärferelation aber aussagt, ist Folgendes: Die Messungen an identisch präparierten Systemen führt nicht zu identischen Ergebnissen. Wenn du also dein System so präparierst, dass die Standardabweichung bei der Ortsmessung klein ist, dann musst du die Tatsache akzeptieren, dass dann die Standardabweichung bei der Impulsmessung groß sein wird. Das heißt, misst du an dem exakt gleichen System den Impuls mehrmals hintereinander, wirst du mit großer Wahrscheinlichkeit immer eine unterschiedliche Zahl erhalten. Du wirst also feststellen müssen, dass die Streuung der Impulswerte in der Tat groß ist, wenn die Streuung der Ortswerte klein ist. 

In anderen Worten gefasst: Du kannst nicht einen Zustand herstellen, bei dem sowohl der Ort als auch der Impuls zur selben Zeit einen wohldefinierten Wert haben. Hier liegt die Betonung auf „zur selben Zeit“, denn du kannst sehr wohl dem Ort und dem Impuls eine Zahl zuordnen, nur nicht zum selben Zeitpunkt. 

Ensemble-Interpretation, Kopenhagener Deutung und weitere Interpretationen

Wie die Heisenbergsche Unschärferelation zu interpretieren ist, ist eng damit verbunden, wie die Quantenmechanik selbst interpretiert wird. Es gibt beispielsweise eine Interpretation der Quantenmechanik, worin ein Teilchen, etwa ein Elektron, zu jedem Zeitpunkt einen wohldefinierten Wert für den Ort und den Impuls besitzt.

Die erste Interpretationsmöglichkeit, die wir dir geschildert haben, fällt unter den Namen Ensemble-Interpretation. Hier konzentriert man sich nicht auf ein ein einzelnes Teilchen, sondern auf ein ganzes Ensemble. Unter ein Ensemble kannst du dir eine „Gruppe“ von Teilchen vorstellen, die durch irgendwelche Präparationsmethoden alle in den gleichen Zustand präpariert wurden. Die zweite Interpretationsmöglichkeit kann auch auf ein einzelnes Teilchen angewandt werden. In diesem Fall ist die Rede von der Kopenhagener Deutung.

Heisenbergsche Unschärferelation Herleitung am Einzelspalt

Die Heisenbergsche Unschärferelation lässt sich mathematisch auf zwei Wege herleiten: Entweder über den Operator-Formalismus der Quantenmechanik oder über die Fourier-Transformation. Beide Methoden würden außerhalb des Rahmens dieses Beitrags liegen. Wir entscheiden uns daher für eine Methode, die die Heisenbergsche Unschärferelation ähnlich zur Illustration an einer einfachen Welle motivieren soll, aber auch quantitative Aussagen ermöglicht. 

Beugung am Einzelspalt

Die Situation, in der wir uns befinden, ist ähnlich zu der beim Doppelspaltexperiment . Der Unterschied liegt darin, dass wir nur einen statt zwei Spalte betrachten. Stell dir also vor, dass wir vertikal einen Einfachspalt und einen Schirm aufgestellt haben. Der Schirm dient als „Detektorfläche“. Senkrecht dazu soll sich ein Elektronenstrahl auf den Einfachspalt mit einem bestimmten Impuls p_x bewegen. Nach Durchgang durch den Spalt erfasst der Schirm das typische Interferenzmuster. Je kleiner die Spaltöffnung, umso breiter wird das Interferenzmuster. Das ist ein schon einmal ein erster Hinweis auf die Heisenbergsche Unschärferelation.

Abschätzung der Unschärfe im Ort (y-Richtung)

Wir interessieren uns für die Situation direkt an der Spaltöffnung. Zuerst, was bewirkt denn die endliche Spaltöffnung? Versetze dich dazu in die Sicht eines Elektrons, das gerade die Spaltöffnung betritt und sich auf dem Weg zum Schirm macht. Was könnte jetzt eine außenstehende Person über deinen Ort aussagen (genauer über den Wert entlang der y-Achse)? Auf jeden Fall, dass du dich irgendwo zwischen den Grenzen der Spaltöffnung befindest. Wie genau könnte aber diese Person deinen Ort bestimmen? Grob könnte er dafür die halbe Breite der Spaltöffnung nehmen. Für die Unschärfe im Ort an der Spaltöffnung gilt also

\Delta y \thicksim \frac{B}{2},

wobei B die Breite der Spaltöffnung ist. 

Abschätzung der Unschärfe im Impuls (y-Komponente)

Wir brauchen jetzt nur noch eine Abschätzung für die Unschärfe im Impuls an der Spaltöffnung. Erst einmal, wie können wir die Spaltöffnung mit einer Impulsänderung in Verbindung bringen? Die Elektronen haben vor der Spaltöffnung nur einen Impuls in x-Richtung. Der Schirm erfasst aber Elektronen, die sich außerhalb der Spaltöffnung befinden. Ein Elektron, das auf eine solche Position am Schirm gelangt, muss folglich einen „Stoß“ in y-Richtung erfahren haben. Nicht jedes Elektron erfährt aber einen exakt gleichen „Stoß“. Somit besitzt die Verteilung der Impulswerte in y-Richtung eine gewisse Breite. Als grobe Annäherung für diese Breite nehmen wir den Winkel \alpha des ersten Minimums des Interferenzmusters. Für die Unschärfe im Impuls in y-Richtung an der Spaltöffnung gilt dann

\Delta p_y \thicksim p_x \alpha.

Mit der Bedingung für destruktive Interferenz am Ort des ersten Minimums

B \cdot \sin(\alpha) = \lambda

und der De-Broglie-Wellenlänge

\lambda = \frac{h}{p_x}

erhalten wir für das Produkt der Unschärfen

\Delta y \Delta p_y \thicksim \frac{B}{2} \cdot p_x \alpha = \frac{B}{2} \cdot p_x \frac{\lambda}{B} = \frac{B}{2} \cdot p_x \frac{\frac{h}{p_x}}{B} = \frac{h}{2}, das heißt

\Delta y \Delta p_y \thicksim \frac{h}{2}.

Wir haben hier die Kleinwinkelnäherung \sin(\alpha) \approx \alpha verwendet. Bis auf einen Faktor von \frac{1}{2\pi} entspricht diese Beziehung gerade der Ort-Impuls-Unschärferelation.

% Hier kommt Abbildung 3 aus dem Videoskript

Problematik 

Die Herleitung der Unschärferelation am Einzelspalt solltest du mit Vorsicht genießen. Unter anderem setzt die Argumentation voraus, dass du dem Elektron nach dem Spalt einen festen Impuls zuordnen kannst, nämlich gerade die Hypotenuse des Dreiecks, womit die Abschätzung für die Unschärfe im Impuls abgeleitet wird. Was du also im Wesentlich machst, ist dir das Elektron gedanklich als klassisches Teilchen vorzustellen, dass einer geradlinigen Bewegung von Spaltöffnung zu Schirm folgt. Eine solche „klassische Bahn“ ist aber nach der Unschärferelation überhaupt nicht möglich, denn dazu müsstest du zu jedem Zeitpunkt sowohl den Ort als auch den Impuls des Teilchens kennen.


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