Chemie Grundlagen

Chemie Grundlagen
Physikalische Chemie

Plancksches Wirkungsquantum

Das Plancksche Wirkungsquantum oder die Planck Konstante spielt eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik. Wenn du wissen möchtest, welche das ist, kannst du hier alles Wichtige dazu erfahren.

Am einfachsten geht das natürlich, indem du unser Video ansiehst. Darin habe wir das Thema nochmals aufgearbeitet und zusammengefasst.

Inhaltsübersicht

Plancksches Wirkungsquantum einfach erklärt

Das Plancksche Wirkungsquantum h, oder auch Planck Konstante, ist eine Naturkonstante, die in der Quantenmechanik eine fundamentale Rolle spielt. Dort beschreibt sie für jedes harmonisch schwingende System (harmonischer Oszillator) das konstante Verhältnis von Frequenz und kleinstmöglicher zugehöriger Energie im System. Jede höhere Energie im Oszillator kann nur ein ganzzahliges Vielfaches dieser Grundzustandsenergie sein. Die Energie in solchen Systemen kann also nur diskrete Werte annehmen, sie ist gequantelt.

Zudem stellt das Plancksche Wirkungsquantum in der nicht-relativistischen Quantenmechanik gemäß dem Welle-Teilchen-Dualismus  die Verbindung von Teilcheneigenschaften wie Energie und Impuls mit Welleneigenschaften wie Frequenz und Wellenlänge her.

Planck Konstante Zahlenwert

Das Plancksche Wirkungsquantum ist benannt nach Max Planck, der es im Zuge seiner Untersuchung der Schwarzkörperstrahlung einführte. Es tauchte erstmals in der von ihm entwickelten Planckschen Strahlungsgesetz für die Strahlungsleistung von Schwarzkörpern auf, mit dem sich diese Strahlungseistung für alle Wellenlängen korrekt beschreiben. Zudem stimmt das Plancksche Strahlungsgesetz für sehr große Wellenlängen mit dem Rayleigh-Jeans Gesetz und für sehr kleine Wellenlängen mit dem Wiensche Strahlungsgesetz überein. Diese Gesetze waren bereits vor Planck bekannt und wurden von ihm vereinigt.

Die Plancksche Konstante h hat den definiert exakten Wert

h = 6,626\,070\,15 \,\cdot\,10^{-34}\,\text{Js}

und seine Einheit ist Joule mal Sekunden, also Energie mal Zeit, die Einheit der Wirkung. Oft wird auch das sogenannte „reduzierte Plancksche Wirkungsquantum\hbar (sprich „h quer“) verwendet

\hbar = \frac{h}{2\pi}\approx 1,054\,571\,82\,\cdot\,10^{-34}\,\text{Js} .

Jetzt neu
Teste Dein Wissen mit Übungsaufgaben

Plancksches Wirkungsquantum bei Photonen und Materiewellen

Durch den Photoeffekt wissen wir, dass die Energie von Licht nicht kontinuierlich, sondern in diskreten Energieportionen übertragen wird. Die Energie von Licht ist also gequantelt. Diese Lichtquanten nennt man Photonen und ihre Energie E_\text{Ph} und ihr Impuls p_\text{Ph} stehen über das Plancksche Wirkunsgquantum in Verbindung mit ihrer Wellenlänge \lambda und ihrer Frequenz \nu „nü“ (der Wellenlänge und Frequenz des Lichts)

E_\text{Ph} = h\nu = \frac{hc}{\lambda} = p_\text{Ph}c .

Oft wird die Frequenz auch f genannt, man merkt sich also am besten beide Formeln (E=h · f) und ( E = h · ν). Diese Relation für Photonenenergie und -impuls können wir auch mittels der Kreisfrequenz \omega = 2\pi\nu, der Wellenzahl \tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} und der Kreiswellenzahl k = 2\pi\tilde{\nu} ausdrücken

E_\text{Ph} = p_\text{Ph}c = \hbar\omega = hc\tilde{\nu} = \hbar c k .

Für Materieteilchen finden wir gemäß dem Welle-Teilchen-Dualismus die de Broglie Wellenlänge  ihrer Materiewellen mit derselben Formel

\lambda_\text{dB} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE_\text{kin}}} ,

wobei wir den Teilchenimpuls p, wie hier für den nicht-relativistischen Fall, auch über die kinetische Energie angeben können.

Plancksches Wirkungsquantum bestimmen

Eine einfache Methode zur Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums ist die Gegenfeldmethode beim Photoeffekt.

Dabei wird in einer Photozelle ein Metall (Kathode) mit Licht der Frequenz \nu bestrahlt, sodass die auftreffenden Photonen Elektronen aus dem Metall herauslösen. Nach Abzug der konstanten Austrittsarbeit W_\text{A} haben die Elektronen dann die kinetische Energie

E_\text{kin} = h\nu - W_\text{A} .

Die Elektronen bewegen sich dann zu einer (metallischen) Anode und werden dort absorbiert. Alles in allem messen wir einen Photostrom und eine Photospannung zwischen Kathode und Anode. Jetzt können wir eine äußere elektrische Spannung U anlegen, die gegen die Photospannung wirkt und die Elektronen auf dem Weg zur Anode abbremst. Wenn der Photostrom verschwindet, haben wir U genau so eingestellt, dass es die Photospannung kompensiert und für die Elektronenenergie gilt

E_\text{kin} = h\nu - W_\text{A} = eU .

Ist die Elementarladung e bekannt (zum Beispiel aus dem Milikan-Versuch ), können wir so das Plancksche Wirkungsquantum bestimmen. Dazu bestimmen wir für einige Frequenzen \nu_i die jeweils benötigten Gegenspannungen U_i. Für die Differenz zweier Gegenspannungen U_i und U_j gilt gemäß obiger Gleichung

U_i - U_j = \frac{h}{e}(\nu_i - \nu_j) .

Wenn wir jetzt einige solche Spannungsdifferenzen über ihren zugehörigen Frequenzdifferenzen auftragen, finden wir eine Gerade, deren Steigung \frac{h}{e} wir messen und so die Planck Konstante bestimmen können.

Gegenfeldmethode Plancksches Wirkungsquantum
direkt ins Video springen
Gegenfeldmethode

Planck Konstante und die Unschärferelation

Im Gegensatz zur klassischen Physik ist es in der Quantenmechanik möglich, dass verschiedene Messgrößen, sogenannte „Observablen“, nicht unabhängig voneinander messbar sind. Bei solchen miteinander unverträglichen Observablen \mathcal{O}_1 und \mathcal{O}_2 spielt die Reihenfolge der Messung eine Rolle. Messen wir also zuerst \mathcal{O}_1 und dann \mathcal{O}_2, dann finden wir andere Messwerte als bei der Reihenfolge \mathcal{O}_2\,\rightarrow\;\mathcal{O}_1. Der Unterschied dieser Messungen wird mit dem Planckschen Wirkungsquantum h skalieren. Die Messung von \mathcal{O}_1 beeinträchtigt also die Messung von \mathcal{O}_2 und andersherum.

Eine direkte Folge dieses Verhaltens ist, dass wir solche Messgrößen \mathcal{O}_1 und \mathcal{O}_2 auch nicht gleichzeitig beliebig genau messen können. Wollen wir beide gleichzeitig messen, können wir für beide jeweils nur kleinstmögliche Bereiche angeben, in denen die Messwerte mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit liegen werden. Wichtig ist hierbei, dass das nicht an Unzulänglichkeiten der Messapparatur liegt, sondern eine natürliche Grenze ist. Die Messwerte sind also naturgemäß „unscharf“.

Messen wir \mathcal{O}_1 und \mathcal{O}_2 oft genug, werden wir für beide eine statistische Verteilung der Messwerte um die jeweils wahrscheinlichsten Werte, die Erwartungswerte, finden. Die Unschärfen der beiden Messgrößen sind dabei die Varianzen der beiden Verteilungen. Das Produkt der beiden Varianzen, also der jeweiligen Messungenauigkeiten, ist minimal durch den konstanten Unterschied der Messungen  \mathcal{O}_1\,\rightarrow\;\mathcal{O}_2 und \mathcal{O}_2\,\rightarrow\;\mathcal{O}_1 und damit über die Plancksche Konstante gegeben. Das nennt man die „Unschärferelation“ (von \mathcal{O}_1 und \mathcal{O}_2). Bestimmen wir also \mathcal{O}_1 genauer, nimmt automatisch die Unbestimmtheit von \mathcal{O}_2 zu und andersherum. Das geht so weit, dass wenn wir zum Beispiel \mathcal{O}_1 exakt bestimmen wollen, \mathcal{O}_2 dafür unendlich unscharf wird und in unserer Messung jeden beliebigen Wert annehmen kann.

Ein solches Paar von Messgrößen sind der Ort x und der Impuls p. Ihre Unschärferelation ist die bekannte „Heisenbergsche Unschärferelation“ und lautet für die Varianzen (\Delta x)^2 und (\Delta p)^2 beziehungsweise die Standardabweichungen \Delta x und \Delta p

(\Delta x)^2 (\Delta p)^2 \geq \frac{\hbar^2}{4} \quad,\quad \Delta x\,\Delta p \geq \frac{\hbar}{2} .

Wir sehen hier auch, dass solche Unschärferelationen aufgrund der Kleinheit von h in der klassischen Physik komplett zu vernachlässigen sind.

Quantisierung des Drehimpulses

In der Quantenmechanik stellt sich heraus, dass Drehimpulse (der klassische Bahndrehimpuls \vec L= \vec x \times \vec p und der quantenmechanische Spin), auch eine Art harmonische Oszillatoren sind. Die Werte von Drehimpulsen, insbesondere des Bahndrehimpulses \vec L, können also auch nur Vielfache von h annehmen. Das stimmt auch bezüglich der Einheiten, denn auch \vec L hat die Dimension Energie mal Zeit.

Im Detail finden wir für den Bahndrehimpuls eine Quantisierung sowohl des Gesamtdrehimpulses |\vec L| als auch seiner Projektion in eine Richtung, meistens wählt man die z-Richtung, L_z. Mit der „Drehimpulsquantenzahl“ l \in\mathbb{N}^+_0 (für den Bahndrehimpuls) ergibt sich

\begin{aligned} & |\vec L| = \sqrt{l(l+1)}\hbar \\ & L_z \in\{ -l\hbar,\, (-l+1)\hbar,\, (-l+2)\hbar,\, ...\, ,\, (l-1)\hbar,\, l\hbar  \} \end{aligned} .

Die Projektionen des Drehimpulses in verschiedene Richtungen sind solche oben beschriebene unverträgliche Messgrößen. Es ergibt also keinen Sinn, neben L_z, das einen der 2l+1 Werte annehmen kann, auch L_x oder L_y anzugeben. Für den Spin finden wir eine analoge Quantisierung.

Jetzt neu
Teste Dein Wissen mit Übungsaufgaben

Andere Nutzer halten diese Inhalte aus dem Bereich „Chemie Grundlagen“ für besonders klausurrelevant

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.