Analysis

Asymptote

Die Bestimmung von Asymptoten einer Funktion ist ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion. Doch was ist eine Asymptote genau? Das erklären wir in diesem Artikel und zeigen auch, welche verschiedenen Typen von Asymptoten es gibt. Außerdem erläutern wir, wie man eine Asymptote berechnen kann und führen das anhand von Beispielen vor.

Falls du das Thema allerdings noch anschaulicher lernen willst, ist unser Video  genau das Richtige für dich. Dort haben wir das Wichtigste zu den Asymptoten in in kürzester Zeit für dich erklärt.

Inhaltsübersicht

Asymptote Definition

Eine Asymptote ist eine Kurve, der sich der Graph einer Funktion immer weiter annähert. Das bedeutet, dass der Abstand zwischen dem Graphen der Funktion und der Asymptote beliebig klein wird, wenn man sich in

  • x-Richtung (positiv oder negativ)

oder in

  • z-Richtung (positiv oder negativ)

immer weiter vom Ursprung entfernt.

Wenn man sich in x-Richtung immer weiter vom Ursprung entfernt und dabei den Funktionsgraphen betrachtet, spricht man auch vom Verhalten im Unendlichen.

Grundsätzlich kann man vier verschiedene Typen von Asymptoten unterscheiden.

Asymptote - Arten berechnen, Graphik, Koordinatensystem
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Asymptote – Arten

Diese vier Typen wollen wir uns nun etwas genauer ansehen.

Waagrechte Asymptote

Wie der Name schon vermuten lässt, handelt es sich bei waagrechten Asymptoten um waagrechte Geraden. Sie verlaufen also parallel zur x-Achse. Deren Funktionsgleichung ist von folgender Form:

g(x)=c

Dabei steht c für eine konstante Zahl. Ist diese Zahl zum Beispiel gleich 5, so verläuft die Asymptote parallel zur x-Achse und schneidet die y-Achse bei y=5.

Senkrechte Asymptote

Auch die Gestalt senkrechter Asymptoten lässt sich aus dem Namen ableiten: sie sind senkrechte Geraden. Sie verlaufen also parallel zur y-Achse. Eine senkrechte Asymptote kann nicht mithilfe einer Funktionsgleichung beschrieben werden. Denn man müsste einem x-Wert mehrere y-Werte zuordnen und das widerspricht der Definition einer Funktion. Daher wird eine senkrechte Asymptote durch folgende Gleichung beschrieben.

x=c

Eine senkrechte Asymptote wird auch als vertikale Asymptote bezeichnet und die Zahl c wird Polstelle genannt.

Schiefe Asymptote

Schiefe Asymptoten sind auch Geraden, die allerdings weder waagrecht noch senkrecht verlaufen. Sie können durch eine Funktionsgleichung folgender Form beschrieben werden:

g(x)=m\cdot x +t

Dies entspricht einer allgemeinen Geradengleichung. Die Zahl m beschreibt dabei die Steigung der Asymptote und t den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Häufig wird hierfür auch der Begriff schräge Asymptote verwendet.

Kurvenförmige Asymptote

Hierbei handelt es sich nicht mehr um Geraden sondern um Kurven. Wie diese zustande kommen können, thematisieren wir später genauer. Die Form ihrer Funktionsgleichung kann nicht allgemein angegeben werden.

Asymptote berechnen

Wenn man für eine gebrochenrationale Funktion die Asymptote bestimmen soll, gibt es ein ganz konkretes Vorgehen, dies zu tun. Eine gebrochenrationale Funktion f(x) ist ein Bruch, bei dem ein Polynom p(x)  im Zähler steht und ein Polynom q(x) im Nenner steht.

f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p_nx^n+p_{n-1}x^{n-1}+...+p_1x^1+p_0}{q_mx^m+q_{m-1}x^{m-1}+...+q_1x^1+q_0}

Und im Grunde muss man nur den Zählergrad mit dem Nennergrad vergleichen, wenn man für solche Funktionen die Asymptote bestimmen will.

Der Zählergrad entspricht der höchsten auftretenden Potenz im Zählerpolynom. Dementsprechend ist der Nennergrad die höchste auftretende Potenz im Nennerpolynom. In der obigen Darstellung ist also n der Zähler- und m der Nennergrad.

Mithilfe des Zähler- und Nennergrades kann man schon den Typ der Asymptote bestimmen:

  1. Waagrechte Asymptote:           Zählergrad \leq Nennergrad
  2. Schiefe Asymptote:                    Zählergrad = Nennergrad +1
  3. Kurvenförmige Asymptote:      Zählergrad \geq Nennergrad +1

Eine senkrechte Asymptote liegt vor, wenn man den Bruch vollständig gekürzt hat und der Nenner dann immer noch eine Nullstelle besitzt.

Wie man die Form der einzelnen Asymptoten bestimmen kann, zeigen wir im Folgenden.

Waagrechte Asymptote berechnen

Wir betrachten wieder die folgende gebrochen-rationale Funktion

f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p_nx^n+p_{n-1}x^{n-1}+...+p_1x^1+p_0}{q_mx^m+q_{m-1}x^{m-1}+...+q_1x^1+q_0},

deren Zählergrad kleiner gleich dem Nennergrad ist. Nun werden zwei Fälle unterschieden:

  1. Zählergrad < Nennergrad: waagrechte Asymptote bei y=0; Funktionsgleichung: g(x)=0
  2. Zählergrad = Nennergrad: waagrechte Asymptote bei y=\frac{p_n}{q_m}; Funktionsgleichung: g(x)=\frac{p_n}{q_m}

Dazu wollen wir uns zwei kleine Beispiele ansehen:

Zunächst betrachten wir die Funktion

f(x)=\frac{3x^2+5}{x^3+2x^2}.

Zunächst sehen wir uns den Zähler- und den Nennergrad an. Der Zählergrad ist zwei und der Nennergrad ist drei. Das bedeutet, dass der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad. Somit besitzt diese Funktion eine Asymptote bei y=0 und ihre Funktionsgleichung lautet g(x)=0.

Bei der Funktion

f(x)=\frac{6x^2+7x}{3x^2+10x+5}

erkennt man, dass sowohl der Zähler- als auch der Nennergrad zwei beträgt. Somit muss der Quotient aus den Koeffizienten der beiden höchsten Potenzen betrachtet werden:

\frac{p_n}{q_m}=\frac{6}{3}=2

Die waagrechte Asymptote dieser Funktion liegt also bei y=2 und ihre Funktionsgleichung lautet g(x)=2.

Senkrechte Asymptote berechnen

Eine Senkrechte Asymptote der Funktion

f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p_nx^n+p_{n-1}x^{n-1}+...+p_1x^1+p_0}{q_mx^m+q_{m-1}x^{m-1}+...+q_1x^1+q_0}

liegt vor, falls der Bruch \frac{p(x)}{q(x)} vollständig gekürzt ist und das Nennerpolynom dennoch eine Nullstelle bei x_0 besitzt. Sie wird durch die Gleichung

x=x_0

beschrieben und schneidet die x-Achse genau an dieser Stelle.

Wir wollen das einmal an dem Beispiel der Funktion

f(x)=\frac{x^2+x-2}{x^2-3x+2}

zeigen.

Wir bestimmen zunächst die Nullstellen des Zähler- und Nennerpolynoms. Im Zähler haben wir die Nullstellen x_1=1; x_2=-2 und im Nenner die Nullstellen x_3=1; x_4=2. Wir können also die Funktion auch folgendermaßen darstellen:

f(x)=\frac{(x-1)\cdot (x+2)}{(x-1)\cdot (x-2)}

Die Funktion hat also an der Stelle x_1=x_3=1 eine hebbare Definitionslücke. Nach Kürzen des Bruchs erhält man:

f(x)=\frac{x+2}{x-2}

Der Bruch ist nun vollständig gekürzt und der Nenner besitzt bei x_0=2 eine Nullstelle. Die senkrechte Asymptote der Funktion schneidet die x-Achse also genau an dieser Stelle und wird durch die Gleichung x=2 beschrieben.

Schiefe Asymptote berechnen

Ist in der gebrochenrationalen Funktion

f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p_nx^n+p_{n-1}x^{n-1}+...+p_1x^1+p_0}{q_mx^m+q_{m-1}x^{m-1}+...+q_1x^1+q_0}

der Zählergrad genau eins größer als der Nennergrad, so besitzt die Funktion eine schiefe Asymptote, deren Funktionsgleichung man durch Polynomdivision und anschließende Grenzwertbetrachtung erhält.

Das wollen wir uns an einem Beispiel genauer ansehen und die Funktion

f(x)=\frac{8x^3+4x^2+6x+2}{2x^2+8x}

betrachten. Man erkennt sofort, dass der Zählergrad genau um eins größer ist als der Nennergrad. Also besitzt die Funktion eine schräge Asymptote, deren Funktionsgleichung wir durch Polynomdivision bestimmen wollen:

\begin{array}{rrrrrrrrr}  &(8x^3&+&4x^2&+&6x&+&2)&=(2x^2+8x)\cdot (4x-14)+\frac{118x+2}{2x^2+8x}\\  -&(8x^3 & +& 32x^2&)\\ \cline{1-5}  &&&-28x^2&+&6x&+&2\\  &&-&(-28x^2 & -& 112x&)\\ \cline{3-8}  &&&&&118x&+&2\\  \end{array}

Wir sehen, dass der Term \frac{118x+2}{2x^2+8x} für x\rightarrow \infty gegen Null geht. Das bedeutet, dass die schiefe Asymptote der Funktion f(x) die Funktionsgleichung g(x)=4x-14 besitzt.

Kurvenförmige Asymptote berechnen

Ist in der Funktion

f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p_nx^n+p_{n-1}x^{n-1}+...+p_1x^1+p_0}{q_mx^m+q_{m-1}x^{m-1}+...+q_1x^1+q_0}

der Nennergrad um mehr als eins größer, so ist das asymptotische Verhalten des Funktionsgraphen kurvenförmig. Auch in diesem Fall wird die Funktionsgleichung der Asymptoten mithilfe der Polynomdivision und einer anschließenden Grenzwertbetrachtung ermittelt.

Das demonstrieren wir an einem Beispiel. Dazu sehen wir uns die Funktion

f(x)=\frac{5x^4+15x^2+x+3}{x^2+3x+5}

an und führen gleich eine Polynomdivision durch:

\begin{array}{rrrrrrrrrrr}  &(5x^4&&&+&15x^2&+&x&+&3)&=(x^2+3x+5)\cdot (5x^2-15x+35)+\frac{-29x-172}{x^2+3x+5}\\  -&(5x^4 &+& 15x^3&+&25x^2)\\ \cline{1-6}  &&&-15x^3&-&10x^2&+&x&+&3\\  &&-&(-15x^3 & -&45x^2&-&75x&&)\\ \cline{3-10}  &&&&&35x^2&+&76x&+&3\\  &&&&-&(35x^2 & +&105x&+&175)\\ \cline{5-10}  &&&&&&&-29x&-&172\\  \end{array}

Bei der Grenzwertbetrachtung erkennen wir, dass der Term \frac{-29x-172}{x^2+3x+5} für x\rightarrow \infty gegen Null geht. Also ist die Asymptote der Funktion f(x) der Graph der Funktion g(x)=5x^2-15x+35.

Asymptote e Funktion

Bis jetzt haben wir immer gebrochenrationale Funktionen auf Asymptoten untersucht. Auch die e-Funktion stellt aber eine wichtige Funktion dar, deren asymptotisches Verhalten man kennen sollte. Die normale Exponentialfunktion

f(x)=e^x

besitzt eine waagrechte Asymptote bei x=0. Der Graph der Funktion nähert sich dieser für immer kleiner werdende x-Werte immer näher an.

Auch wenn die normale  e-Funktion in x- oder in y-Richtung gestaucht wird, bleibt die Asymptote die selbe. Selbst bei Verschiebung in x-Richtung ändert sich daran nichts. Das heißt die Funktion

h(x)=a\cdot e^{b\cdot (x-c)}   für a,b,c \in\mathbb{R}

zeigt das selbe asymptotische Verhalten wie die Funktion f(x)=e^x.

Eine Verschiebung in y-Richtung verschiebt allerdings auch die waagrecht Asymptote der Funktion. So lautet für die Funktion

i(x)=a\cdot e^{b\cdot (x-c)}+d   für a,b,c,d \in\mathbb{R}

die Funktionsgleichung der waagrechten Asymptote

g(x)=d.


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