Höhere Mathematik

Bernoulli DGL

Inhaltsübersicht

Du möchtest wissen, was eine Bernoulli DGL ist und wie du sie lösen kannst? Im Folgenden zeigen wir dir das Vorgehen bei diesen speziellen Differentialgleichungen an einem einfachen Beispiel.

Bernoulli Differentialgleichung: Lösung durch Substitutionsfunktion

Eine bernoullische DGL ist eine Differentialgleichung erster Ordnung dieser Form:

y^\prime+a\left(x\right)\ast\ y+b\left(x\right)\ast\ y^\alpha=0

a(x) und b(x) sind beliebige Funktionen und Alpha ist eine reelle Zahl. Um diese DGL zu lösen, führen wir die Substitutionsfunktion

u=y^{1-\alpha}

ein. Du wirst gleich sehen, warum die Substitution und die Rücksubstitution sinnvoll sind.

DGL erster Ordnung
DGL erster Ordnung

Dazu leiten wir zunächst u ab. Erst bilden wir die äußere Ableitung und multiplizieren nach der Kettenregel mit der Inneren. Jetzt lösen wir die bernoullische Differentialgleichung nach y^\prime auf und erhalten die explizite Form der DGL. Diesen Ausdruck setzen wir in die Ableitung u^\prime ein.

Jetzt musst du die DGL etwas umformen, indem du ausmultiplizierst und zusammenfasst. Wie du siehst, heben sich y^{-\alpha} und y^\alpha genau auf, so dass b(x) alleine dasteht. Du siehst, dass außerdem y^{1-\alpha} in der DGL auftaucht.

Bernoulli DGL: Rücksubstitution
Rücksubstitution

Das ist genau unsere neu eingeführte Funktion u, die wir einsetzen. Nun haben wir alle vorkommenden y-Ausdrücke ersetzt und erhalten eine Differentialgleichung für u. Diese wollen wir uns genauer anschauen. Sie sieht gar nicht mehr so kompliziert aus: Es ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, die du lösen kannst. Sobald du die Lösung für u kennst, kannst du mit Rücksubstitution die Lösung für y bestimmen.

y=u^\frac{1}{1-\alpha}

Beispiel – Lösung der homogenen DGL

Schauen wir uns ein Beispiel an. Wir betrachten folgende bernoullische DGL:

y^\prime=y+xy^3

Unser u ergibt sich:

u=y^{1-\alpha}=y^{1-3}=y^{-2}

Bernoulli DGL Beispiel
Beispiel Lösung homogener Differentialgleichungen

Das u  kannst du jetzt ableiten. Dann setzt du für y^\prime die Differentialgleichung ein und multiplizierst die Klammer aus. Jetzt setzen wir für y^{-2} das u ein und erhalten eine einfache DGL. Die Lösung der homogenen Differentialgleichungen, bestimmst du zum Beispiel mit Trennung der Variablen.

Das sollte inzwischen ein Kinderspiel für dich sein. Du separierst alle u-Anteile und alle x-Anteile auf unterschiedliche Seiten des Gleichheitszeichens:

\frac{du_h}{u_h}=-2\ dx

Bernoulli DGL Beispiel: Homogene Lösung
Beispiel: Homogene Lösung

Danach integrierst und stellst das Ergebnis noch nach u_h um. Die homogene Lösung steht.

Bernoulli Differentialgleichung Beispiel – partikuläre Lösung

Die partikuläre Lösung kannst du mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite bestimmen. Die Störfunktion

b\left(x\right)=x

ist ein Polynom ersten Grades. Also wählst du den Ansatz

u_p\left(x\right)=a_0+a_1x

Bernoulli DGL: Partikuläre Lösung
Partikuläre Lösung

Diese Funktion leitest du nun ab. Jetzt setzt du u_p und u_p^\prime in die Differentialgleichung ein. Dann sortierst du alles auf eine Seite und kannst a_1 bestimmen. Anschließend berechnest du noch a_0. Somit erhältst du die Partikulärlösung. Jetzt noch addieren und es ergibt sich folgende allgemeine Lösung für u:

u\left(x\right)=u_h\left(x\right)+u_p\left(x\right)=Ce^{-2x}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}x

Nach Rücksubstitution erhalten wir schließlich die allgemeine Lösung für y:

y\left(x\right)=u\left(x\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{u\left(x\right)}}=\frac{1}{\sqrt{Ce^{-2x}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}x}}

Du hast gelernt, was eine Bernoulli’sche Differentialgleichung ist und wie du sie mit Substitution lösen kannst.


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