Analysis

Definitionsbereich

Du fragst dich, was es mit dem Definitionsbereich auf sich hat und wie man die Definitionsmenge verschiedener Funktionen bestimmt? Hier erklären wir es dir leicht verständlich und mit vielen Beispielen.

Wenn dir die anschauliche Version lieber ist und du direkt sehen willst, wie du den Definitionsbereich ablesen kannst, dann schau dir unser Video%Video verlinken an! 

Inhaltsübersicht

Definitionsbereich einfach erklärt

Bei vielen Aufgaben, insbesondere bei Kurvendiskussionen %Verlinken wenn verfügbar ist zuerst nach dem Definitionsbereich \mathbb{D} oder D_f gefragt.

Um den Definitionsbereich einer Funktion f: \mathbb{D} \longrightarrow \mathbb{W} mit f(x) = y zu bestimmen, musst du herausfinden, welche x-Werte in \mathbb{D} enthalten sind, das heißt du beantwortest die Frage

Welche x-Werte darf ich in die Funktion einsetzen, sodass das Ergebnis sinnvoll ist?

Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten: Manchmal ist die Funktion überall definiert, dann ist die Definitionsmenge \mathbb{D} = \mathbb{R}. Es kann aber auch sein, dass einzelne Punkte (genannt Definitionslücken) oder sogar ganze Intervalle aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Das untersuchen wir für verschiedene Funktionstypen im nächsten Abschnitt. 

%Bild einfügen, alà Wikipedia mit zwei Mengen {1,2,3,4} -------------> {A, B, C, D}

Die Menge aller y-Werte, die als Ergebnis infrage kommen, heißt übrigens Wertemenge%verlinken, wenn verfügbar (\mathbb{W})oder Wertebereich

Merke: Manchmal wird statt nach dem Definitionsbereich auch nach der maximalen Definitionsmenge gefragt. Damit ist genau dasselbe gemeint, die beiden Begriffe werden synonym verwendet.

Definitionsbereich bestimmen

Wie du den Definitionsbereich \mathbb{D} einer Funktion bestimmen kannst, haben wir in obigem Kästchen schon angedeutet. Du musst nur die Frage beantworten, für welche x-Werte die Funktion ein sinnvolles Ergebnis hat. In der Mathematik sagt man dazu auch: Du musst prüfen, für welche x-Werte die Funktion wohldefiniert ist. 

Dafür gibt es verschiedene Grundmengen, aus denen deine Zahlen stammen können.  Die wichtigsten Zahlenmengen sind hier: 

natürliche Zahlen {1; 2; 3;....}
ganze Zahlen {...., -2; -1; 0; 1; 2; 3: ....}
rationale Zahlen
reelle Zahlen
%hier Bild einfügen von ineinander geschachtelten Mengen mit Beispielen

Vielleicht fragst du dich jetzt, was es denn für Zahlen gibt, die du nicht in eine Funktion einsetzen darfst und wie du das herausfinden kannst. Dazu musst du dir immer deine konkrete Funktion anschauen, denn für verschiedene Funktionstypen gibt es verschiedene Regeln, die wir dir im nächsten Abschnitt erklären. 

Definitionsbereich ganzrationaler Funktionen

Wenn du eine ganzrationale Funktion, das heißt ein Polynom gegeben hast, ist die maximale Definitionsmenge sehr einfach zu bestimmen. Hier darfst du alle reellen x-Werte einsetzen, das heißt \mathbb{D} = \mathbb{R}. So ist zum Beispiel für jede lineare Funktion oder auch für jede quadratische Funktion die Definitionsmenge \mathbb{D} = \mathbb{R}

Merke: Ganzrationale Funktionen haben die Definitionsmenge \mathbb{R}.

Eine Ausnahme ist dabei natürlich, wenn nicht nach dem maximalen Definitionsbereich gefragt ist, sondern die Definitionsmenge von vorn herein eingeschränkt wird. Dann betrachtest du beispielsweise f(x) nur auf dem Intervall [a,b]. Das findet insbesondere bei abschnittsweise definierten Funktionen oder in der Integralrechnung  Anwendung. 

Definitionsbereich gebrochen rationale Funktion

Eine wichtige Rolle spielt die Bestimmung des Definitionsbereichs bei gebrochen rationalen Funktionen. Das sind Funktionen der Form \cfrac{f(x)}{g(x)}, das heißt Funktionen, die ein „x im Nenner des Bruchs stehen haben“. 

Beispiele dafür sind:

  • f(x) = \frac{1}{x} 
  • g(x) = \frac{2x-4}{x^2-1}

Willst du hier die Definitionsmenge berechnen, musst du aufpassen, dass im Nenner deiner Funktion keine Null steht! Sonst würdest du „durch Null teilen“, was in der Mathematik nicht erlaubt beziehungsweise nicht sinnvoll ist! Du gehst dabei wie folgt vor:

Vorgehen:

  • Schritt 1: Berechne die Nullstellen des Nenners. Das sind deine Definitionslücken.
  • Schritt 2: Schließe alle Definitionslücken aus der Definitionsmenge aus. Verwende dazu die übliche Notation, das heißt für die Definitionslücke a:

\mathbb{D} =  \mathbb{R} \setminus\{a\} 

Beispiel 1

Gesucht sei der Definitionsbereich der Funktion f(x) = \cfrac{2x+3}{x^2-4}. Um die Definitionslücken zu bestimmen, berechnen wir also zuerst die Nullstellen des Nenners

x^2-4 = 0.

Hier kannst du es entweder umformen und die Wurzel ziehen, oder du siehst direkt, dass es sich hier um die dritte binomische Formel handelt:

x^2-4 = (x-2)(x+2)= 0\quad  \Longleftrightarrow \quad x_1 = -2 \quad \mbox{und} \quad x_2 = 2.

Die beiden Definitionslücken sind somit x_1 = -2 und x_2 = 2, für alle anderen Werte ist f(x) wohldefiniert. Also gilt für die Definitionsmenge

\mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}.

Das siehst du auch direkt, wenn du den Graph von f(x)= \cfrac{2x+3}{x^2-4} zeichnest. Der Funktionsgraph hat bei x_1 =-2 und bei x_2 = 2 jeweils eine senkrechte Asymptote.

Definitionsbereich Asymptote
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Beispiel 1: Definitionsbereich gebrochen rationaler Funktionen

Beispiel 2

Wir wollen die Definitionsmenge von f(x) = \cfrac{2}{x^3+2x^2-8x} bestimmen. Dazu berechnen wir wieder zuerst die Definitionslücken, das heißt die Nullstellen des Nenners

x^3+2x^2-8x = 0

\Longleftrightarrow x(x^2+2x-8) = 0    

\Longleftrightarrow x(x-2)(x+4) = 0    

\Longleftrightarrow x_1 = 0, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = -4.

Für den Definitionsbereich gilt also \mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{-4, 0, 2\}. Der Funktionsgraph sieht hier folgendermaßen aus. 

Definitionsbereich gebrochen rationale Funktion Asymptote
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Beispiel 2: Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion

Definitionsbereich Wurzel

Die Wurzel-Funktion f(x) = \sqrt{x} ist nur für nicht-negative x-Werte definiert. Daher musst du immer ausschließen, dass unter der Wurzel eine negative Zahl steht. Für f(x) = \sqrt{x} ist der Definitionsbereich somit \mathbb{D} = \mathbb{R}_0^+, das heißt alle reellen Zahlen x \geq 0

Für kompliziertere Wurzel-Funktionen gehst du folgendermaßen vor:

Vorgehen:

  • Schritt 1: Berechne die Nullstellen des Ausdrucks unter der Wurzel.
  • Schritt 2: Finde heraus, in welchen Intervallen der Ausdruck positiv ist und wann negativ.
  • Schritt 2: Bestimme ausgehend von deiner Nullstelle das Intervall, in dem der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist. Das ist dann dein Definitionsbereich.  Ist die Wurzel zum Beispiel für alle x \geq a wohldefiniert, dann schreibst du das so auf:

\mathbb{D} =  \{x \in \mathbb{R}: x \geq a \}. 

Beispiel 3

Gesucht ist die Definitionsmenge von f(x) = \sqrt{x^3-8}. Das ist eine sehr steile Wurzelfunktion, deren Graph um 2  nach rechts in x-Richtung verschoben ist.

Definitionsmenge Wurzel
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Beispiel 3: Definitionsmenge einer Wurzelfunktion

 

Wie du siehst, ist der Ausdruck unter der Wurzel (x^3-8) größer gleich Null, sobald x\geq2. Damit ist der Definitionsbereich

\mathbb{D} =  \{x \in \mathbb{R}: x \geq 2\}. 

Achtung: Etwas aufpassen musst du, wenn du die n-ten Wurzeln \sqrt[n]{f(x)} untersuchst. Ist n ungerade, also zum Beispiel \sqrt[3]{f(x)}, so sind negative Ausdrücke unter der Wurzel erlaubt und du bist auf ganz \mathbb{R} wohldefiniert (\mathbb{D} = \mathbb{R}). Für gerades n, also zum Beispiel für \sqrt[4]{f(x)} ergibt der Ausdruck keinen Sinn, sobald f(x) < 0 ist. Die Definitionsmenge ist somit  \mathbb{D} = \mathbb{R}^+.

Definitionsbereich e Funktion und Definitionsmenge ln

Auch bei der e-Funktion und bei \ln(x) gibt es einige Besonderheiten zum Definitionsbereich. Die e-Funktion ist auf ganz \mathbb{R} definiert und nimmt nur positive Werte an. Ihr Wertebereich ist daher \mathbb{R}^+.  Da es sich bei \ln(x) gerade um die Umkehrfunktion der e-Funktion handelt, sind hier Definitionsbereich und Wertebereich vertauscht. Somit ist \mathbb{D}= \mathbb{R}^+ und \mathbb{W}=\mathbb{R}.%Bild e-Funktion

e Funktion ln Funktion Umkehrfunktion
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Graph der e-Funktion und der ln-Funktion

 

Wie du mit komplizierteren ln-Ausdrücken umgehst, siehst du am nächsten Beispiel:

Beispiel 4

Angenommen, du möchtest den Definitionsbereich von f(x) = \ln(\frac{x^2}{4}-1)+2 bestimmen. Da die ln-Funktion nur für positive x-Werte definiert ist, muss hier das Innere der Funktion, das heißt (\frac{x^2}{4}-1) positiv sein. Um die Definitionsmenge zu bestimmen, berechnen wir zuerst die Nullstellen:

\frac{x^2}{4}-1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x_1 = -2 \quad x_2 = 2

Nun müssen wir feststellen, wann \frac{x^2}{4}-1>0 und wann \frac{x^2}{4}-1<0 ist und sehen direkt dass der Ausdruck im Intervall [-2,2] negativ ist. Unser Definitionsbereich ist somit gerade das Komplement hiervon, das heißt der Bereich

\mathbb{D}= (-\infty, 2) \wedge (2, \infty) = \mathbb{R} \setminus [-2,2]

Definitionsbereich, ln, Asymptote
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Beispiel 4: Definitionsbereich ln-Funktion

 

Achtung: Die Werte x_1 = -2 und x_2 = 2 sind hier noch aus der Definitionsmenge ausgeschlossen! 

Definitionsbereich trigonometrischer Funktionen

Oft ist auch bei den trigonometrischen Funktionen nach dem Definitionsbereich gefragt. Bei Sinus und Cosinus ist das jeweils kein Problem. Hier gilt:

\sin(x) hat die Definitionsmenge \mathbb{D} = \mathbb{R}

\cos(x) hat die Definitionsmenge \mathbb{D} = \mathbb{R}

Das siehst du auch direkt an den beiden Funktionsgraphen 

Sinus und Cosinus
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Sinus und Cosinus

Betrachtest du nun den Tangens, so ist die Sache etwas komplizierter, da 

\tan(x) = \cfrac{\sin(x)}{\cos(x)}.

Die Definitionslücken sind daher alle Nullstellen der Cosinusfunktion, d.h. bei allen x mit \cos(x) = 0. Das sind gerade die Werte \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} usw. Somit ergibt sich für den Definitionsbereich

\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \}.

Bei Umkehrfunktionen sind Wertebereich und Definitionsbereich immer vertauscht.  Weil der Wertebereich von \sin(x) und \cos(x) das Intervall [-1, 1] ist, gilt für die Umkehrfunktionen:

\arcsin(x) = \sin^{-1}(x) und  \arccos(x) = \cos^{-1}(x) haben den Definitionsbereich \mathbb{D}=[-1, 1].

Zusammengefasst findest du die Definitionsmenge der trigonometrischen Funktionen nochmals in dieser Tabelle:

Funktion Definitionsbereich


 


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