Höhere Mathematik

Dreiecksungleichung

Inhaltsübersicht

Du willst wissen, warum im Dreieck zwei Seitenlängen zusammen größer sind als die dritte und der direkte Weg vom Eckpunkt A zum Punkt C immer der kürzeste ist? Genau diesen Beweis, sowie ein Beispiel und mögliche Anwendungsfälle der Dreiecksungleichung werden dir in unserem Video in knapp 5 Minuten erklärt.

Dreiecksungleichung Erklärung

Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe zweier Seitenlängen in einem Dreieck stets mindestens genauso lang ist, wie die Länge der dritten Seite. Der Gleichheitsfall für die Ungleichung ergibt sich dabei nur, wenn alle Eckpunkte eines Dreiecks auf einer Strecke liegen. Analog dazu, gibt es eine auch umgekehrte Dreiecksungleichung.

Logische Herleitung Dreiecksungleichungen

Betrachten wir folgendes Dreieck

Dreiecksgleichung, Seitenlängen, Winkelsummen
Dreieck mit korrekter Benennung

Daraus lässt sich die normale Dreiecksungleichung folgendermaßen mathematisch formulieren:

|c|\ \le\ |a|\ +\ |b|

Tritt der Fall ein, dass die linke und rechte Seite der Gleichung identisch ist, so wird von einem „entarteten“ Dreieck gesprochen. Dabei muss gelten, dass a und b Teilstrecken von c sind.

Zusätzlich lässt sich c durch eine Addition der Strecken a und b ausdrücken.
Damit lautet die Ungleichung umgestellt:

|a+\ b|\ \le\ |a|+\ |b|

Es gibt außerdem noch eine umgekehrte Dreiecksungleichung. Diese sieht wie folgt aus:

||a|\ -\ |b||\ \le\ |a\ -\ b|

Als Letztes kann die normale Dreiecksungleichung auch für Vektoren formuliert werden:

|\vec{a}\ +\ \vec{b}|\ \le\ |\vec{a}|\ +\ |\vec{b}|

Dreiecksungleichung Beweis

Um die normale Ungleichung zu beweisen, wird diese quadriert. Das darf gemacht werden, da beide Gleichungsseiten durch die Betragsstriche nicht negativ werden können. Durch Anwendung der binomischen Formel entsteht:

a^2\ +\ 2ab\ +\ b^2\ \le\ a^2\ +\ 2\ |ab|\ +\ b^2

Jetzt werden die doppelten Termen gestrichen:

2ab\ \le\ 2|ab|

Dieser Zusammenhang ist wahr für jede beliebige Zahl aus dem Raum der reellen Zahlen und beweist damit die Ungleichung.

Umgekehrte Dreiecksungleichung Beweis

Bei der umgekehrten Dreiecksungleichung gibt es zwei Möglichkeiten. Daher muss zunächst eine Fallunterscheidung gemacht werden.
1. Für den Fall:

a \ge  b\ folgt: ||a| - |b|| = |a| - |b|

Hier muss gezeigt werden, dass |a| - |b| \le |a - b| gilt.
Das kann mit einem Trick aus der Mathematik gemacht werden. Dieser lautet a = a - b + b . Wird das eingesetzt, erhalten wir folgenden Ausdruck

|a\ -\ b\ +\ b|\ -\ |b|\ \le\ |a\ -\ b|

Mit +|b| umgestellt und durch x := a - b substituiert, ergibt sich:

|x\ +\ b|\ \le\ |x|\ +\ |b|

Das ist die Definition der Dreiecksungleichung und damit ist die erste Behauptung wahr.

2. Für den Fall:

a < b\ folgt: ||a| - |b|| = |b| - |a|

Hier muss gezeigt werden, dass |b| - |a| \le |a - b| gilt.
Derselbe mathematische Trick hier angewandt für b (b = b - a + a) , ergibt:

|b\ -\ a\ +\ a|\ -\ |a|\ \le\ |a\ -\ b|

Mit -|a| + |a| erweitert:

|b\ -\ a\ +\ a|\ -\ |a|\ \le\ |a\ -\ b|\ +\ |a|\ -\ |a|

Da mit Abständen gerechnet wird, gilt der Zusammenhang:

|a\ -\ \ b|\ =\ |b\ -\ a|

Wenden wir das auf die Ungleichung an, erhalten wir den Ausdruck:

|b\ -\ a\ +\ a|\ -\ |a|\ \le\ |b\ -\ a|\ +\ |a|\ -\ |a|

Im Anschluss können wir mit + |a| erweitern:

|b\ -\ a\ +\ a|\ \le\ |b\ -\ a|\ +\ |a|

Hier kann jetzt nach x := b - a substituiert werden, um den Beweis abzuschließen.

|x\ +\ a|\ \le\ |x|\ +\ |a|

Dies ist wiederum die Dreiecksungleichung und somit ist auch dieser Fall wahr. Aufgrund dessen, dass beide Fälle bewiesen worden sind, ist auch die umgekehrte Ungleichung insgesamt wahr.

Beispiel Dreiecksungleichung

Dieses Beispiel wird mit Hilfe von Vektoren durchgeführt. Dabei werden drei Punkte im zweidimensionalen Raum, die ein Dreieck bilden, angenommen. Punkt A (-4/2) , Punkt B (1/-1) und Punkt C (3/5) . Als Erstes werden nun die Strecken berechnet. Alle Ergebnisse sind auf zwei Nachkommastellen gerundet.

\left|\vec{BC}\right|=\left|\vec{a}\right|=\sqrt{2^2\ +\ 6^2}\ =\ \sqrt{40}\ =\ 6,32
|\vec{CA}|\ =\ |\vec{b}|\ =\ \sqrt{7^2\ +\ 3^2}\ =\ \sqrt{58}\ =\ 7,62
|\vec{AB}|\ =\ |\vec{c}|\ =\ \sqrt{5^2\ +\ {(-3)}^2}\ =\ \sqrt{34}\ =\ 5,83

In die normale Dreiecksungleichung eingesetzt:

|\vec{c}|\ \le\ |\vec{a}|\ +\ |\vec{b}|
5,83 \le 6,32 + 7,62 \checkmark

In die umgekehrte Dreiecksungleichung eingesetzt:

||\vec{a}|\ -\ |\vec{b}||\le\ |\vec{a}\ -\ \vec{b}|
|6,32 - 7,62| \le |(2/6) - (7/3)|
1,3 \le \sqrt{{(-5)}^2\ +\ 3^2}
1,3 \le 5,83 \checkmark

Dreiecksgleichung, Dreiecksungleichung
Dreiecksgleichung Rechenbeispiel

Damit sind beide Ungleichungen richtig und stimmen für dieses Beispiel.

Weitere Herleitung mit Kosinussatz

Diese Herleitung erfolgt wieder mit reellen Zahlen. Die Dreiecksungleichung lässt sich des Weiteren aus dem Kosinussatz herleiten. Dieser lautet:

c^2\ =\ a^2\ +\ b^2\ -\ 2ab\ cos(\varphi)

Außerdem hat der Kosinus einen Definitionsbereich von -1 bis 1. Daraus lässt sich schließen:

0\ \le\ 1\ +\ cos(\varphi)

Anschließend wird dies mit 2ab multipliziert:

0\ \le\ 2ab\ +\ 2ab\ cos(\varphi)

Eine Addition der letzten Gleichung und des Kosinussatzes ergibt:

c^2\ \le\ a^2\ +\ b^2\ +\ 2ab

Unter Verwendung der binomischen Formel:

c^2\ \le\ {(a\ +\ b)}^2

Zum Schluss wird die Wurzel gezogen und das Ergebnis stimmt mit der Dreiecksungleichung überein.

Anwendungsfälle

Die Dreiecksungleichung spielt nicht nur eine Rolle bei der Konstruktion von Dreiecken, sondern findet auch bei der Identifikation von metrischen und normierten Räumen Anwendung. Die Ungleichung ist hier für beide Räume eine Art Gesetz, das gilt, wenn einer dieser zweien Anwendungen findet. Handelt es sich zum Beispiel um einen normierten Raum, so muss für diesen auch immer die Dreiecksungleichung zutreffen. Außerdem gilt die Dreiecksungleichung nicht nur für reelle Zahlen, sondern auch für komplexe Zahlen und spielt eine Rolle bei der Abschätzung von Ungleichungen mit Wurzel.


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