Analysis

Eulersche Formel

Die eulersche Formel ist die mathematische Verbindung zwischen Analysis und Trigonometrie und damit eine extrem wichtige Gleichung. Ihre Definition und Herleitung erklären wir dir im folgenden Beitrag.

In unserem Video zur Eulerformel erklären wir dir das Thema verständlich und unterhaltsam in wenigen Minuten!

Inhaltsübersicht

Eulersche Formel einfach erklärt

Die eulersche Formel, auch Eulerformel oder eulersche Gleichung genannt, fungiert als als Bindeglied zwischen trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktionen . Kernaussage der Eulerformel ist, dass Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten (e^ix) als komplexe Summe von Winkelfunktionen beschrieben werden können.

Euler Formel

Für reelle Zahlen x formulierte Leonhard Euler die nach ihm benannte Funktion:

e^{ix} = \cos(x) + i \ \sin(x)

Dabei gilt:
e \ = \ 2,7182... (Eulersche Zahl)
i \ = \ \sqrt{-1} (imaginäre Einheit)
x \ = beliebige reelle Zahl

Ausgehend von der kartesischen Form einer komplexen Zahl erhalten wir mit Hilfe der eulerschen Formel auf einfachem Weg deren Exponentialdarstellung. Über den Einheitskreis lässt sich zunächst folgender Zusammenhang ermitteln:

z = a + i \cdot b =\vert z \vert \cdot (\cos \varphi) + i \cdot \vert z \vert \cdot (\sin \varphi) = \vert z \vert \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi)

Mit der eulerschen Relation kommen wir von der trigonometrischen Form zur Exponentialdarstellung:

z = \vert z \vert \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi) = \vert z \vert \cdot e^{i \varphi}

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Veranschaulichung der eulerschen Formel am Einheitskreis

Eulersche Formel Herleitung

Ein Weg, um die Eulerformel zu beweisen, ist der Vergleich der Taylorreihen der Exponentialfunktion mit denen der Sinus- und Cosinus-Funktion. Die Reihe für eine Exponentialfunktion mit imaginärem Exponenten sieht folgendermaßen aus:

e^{ix} \approx 1+ ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + ...

Um den nächsten Schritt besser zu verstehen, ziehn wir i^n vor den Bruch.

e^{ix} \approx 1+ ix + i^2 \frac{x^2}{2!} + i^3 \frac{x^3}{3!} + i^4 \frac{x^4}{4!} + i^5 \frac{x^5}{5!} + i^6 \frac{x^6}{6!} + ...

Die Ersetzungstabelle für Potenzen von \textbf{i} gibt vor:

(i) (i^2) (i^3) (i^4) (i^5) (i^6) etc.
i -1 -i 1 i -1 etc.

Die Taylorreihe von e^ix lässt sich daher so anpassen:

e^{ix} \approx 1+ ix - \frac{x^2}{2!} - i \ \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i \ \frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} + ...

Jetzt gruppiert man noch die reellen und imaginären Teile dieser Reihe:

e^{ix} \approx (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... ) + i (x - \frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} - ... )

Hierbei fällt auf, dass die Termgruppen den Taylorreihen der Sinus- und Cosinus-Funktionen entsprechen.

Vergleich der Taylorreihen
  • Taylorreihe der Sinus-Funktion:

\sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...

  • Taylorreihe der Cosinus-Funktion:

\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...

  • Taylorreihe der gruppierten Exponentialfunktion mit imaginärem Exponenten:

e^{ix} \approx (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... ) + i (x - \frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} - ... )

Euler Formel:

e^{ix} = \cos(x) + i \ \sin(x)

Eulersche Identität

Für \mathtbf{x = \pi} ergibt sich ein Sonderfall der eulerschen Formel, der eulersche Identität bezeichnet wird.

e^{i \pi} = -1

Für die trigonometrischen Terme gilt:

\cos \pi = -1
\sin \pi = 0

Daraus folgt für die Euler Gleichung:

e^{i \pi} = -1 + 0 \ i
e^{i \pi} = -1

Diese Gleichung setzt e^ix gleich -1

e^{i \pi} = -1

Stellt man die Formel der Euler Identität leicht um, zeigt sich, dass sie fünf grundlegende mathematische Konstanten miteinander verknüpft:

e^{i \pi} + 1 = 0

  • 0 (additive Identität)
  • 1 (multiplikative Identität)
  • \pi ( = 3,141... )
  • e ( = 2,718...)
  • i (imaginäre Einheit)

Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion

Die eulersche Formel stellt eine Verbindung zwischen Analysis und Trigonometrie her. Sinus und Kosinus lassen sich dabei aus dem Realteil und dem Imaginärteil der komplexen Exponentialfunktion ableiten. Daher können cos/sin als e Funktion dargestellt werden.

  • Den Realteil und damit den Cosinus (\cos x) erhalten wir, indem wir die komplexe Zahl z (e^ix) mit der Konjugierten \bar{z} (e^-ix) addieren und anschließend durch zwei teilen:

\cos x = Re(e^{ix}) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}

  • Der Imaginärteil und der Sinus der betrachteten komplexen Zahl, indem z und \bar{z} subtrahiert und dann durch zwei und die imaginäre Einheit geteilt werden:

\sin x = Im(e^{ix}) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}

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Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion

Zudem können mit der Euler Formel die Additionstheoreme von Sinus, Cosinus und Tangens hergeleitet werden.

Eulersche Formel Beispiele

Mit Hilfe der eulerschen Formel vereinfacht sich die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen deutlich.

  • Multiplikation:

z_1 \cdot z_2 = \vert z_1 \vert \cdot \vert z_2 \vert \cdot e^{i \cdot (\varphi_1 + \varphi_2})

Beispiel: Die komplexe Zahl a = 4 + 1i soll mit b = 2 + 3i multipliziert werden.

a \cdot b = \vert a \vert \cdot \vert b \vert \cdot e^{i \cdot (\varphi_a + \varphi_b})

Zur Berechnung ihrer Beträge quadriert man einfach die Real- und Imaginärteile der komplexen Zahlen, addiert die Ergebnisse auf und zieht die Wurzel.

\vert a \vert=\sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}

\vert b \vert=\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}

Die phi-Winkel der komplexen Zahlen erhalten wir, indem wir den Arkustangens aus dem Ergebnis von Imaginär- durch Realteil berechnen.

\varphi_a = \arctan \frac{1}{4} \approx 0,25

\varphi_b = \arctan \frac{3}{2} \approx 0,98

Jetzt können diese Ergebniswerte in die Multiplikation eingesetzt werden.

a \cdot b = \sqrt{17} \cdot \sqrt{13} \cdot e^{i \cdot (0,25 + 0,98)}=\sqrt{221}  \cdot e^{i \cdot 1,23}

  • Division:

\frac{z_1}{z_2} = \frac{\vert z_1 \vert}{\vert z_2 \vert} \cdot e^{i \cdot (\varphi_1 - \varphi_2)}

Beispiel: Die komlexe Zahl e = 2 + 2i lässt sich folgendermaßen durch b = 6 + 3i dividieren.

\frac{e}{f} = \frac{\vert e \vert}{\vert f \vert} \cdot e^{i \cdot (\varphi_e - \varphi_f})

Die Beträge bestimmen wir wieder durch Quadrieren und das Ziehen der Wurzel.

\vert e\vert=\sqrt{2^2 + 2^2} = 2 \sqrt{2}

\vert f \vert=\sqrt{6^2 + 3^2} = 3 \sqrt{5}

Die zugehörigen Winkel erhält man über den Arkustangens von Imaginär- durch Realteil der komplexen Zahlen:

\varphi_e = \arctan \frac{2}{2} \approx 0,79

\varphi_f = \arctan \frac{3}{6} \approx 0,46

Setzen wir die Ergebnisse der Winkel und Beträge in die Geteiltrechnung ein, so ergibt sich folgendes Ergebnis:

\frac{e}{f} = \frac{2 \sqrt{2}}{3\sqrt{5}} \cdot e^{i \cdot 0,33}

  • Konjugation

Die zu einer komplexen Zahl (z = a + i \cdot b) konjugiert komplexe Zahl (\bar{z} = a - i \cdot b) ist in der eulerschen Schreibweise leicht zu finden. Sie entspricht der komplexen Zahl mit gleichem Betrag aber entgegengesetztem Winkel.

Komplexe Zahl: z = \vert z \vert \cdot e^{i \cdot \varphi}

Konjugiert komplexe Zahl: \bar{z} = \vert z \vert \cdot e^{i \cdot -\varphi}


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