Höhere Mathematik

Fourier Transformation

Inhaltsübersicht

Die Fourier-Transformation ist das Verfahren zur Bestimmung der Fourier-Transformierten. Diese spielt eine wesentliche Rolle bei der Zerlegung einer nicht-periodischen Ausgangsfunktion in trigonometrische Funktionen mit unterschiedlichen Frequenzen. Die Fourier-Transformierte beschreibt das sogenannte Frequenzspektrum, d.h. sie ordnet jeder Frequenz die passende Amplitude für die gesuchte Zerlegung zu.
Diese stellt das kontinuierliche Frequenzspektrum dar, in welche eine gegebene nicht-periodische Funktion zerlegt werden kann. Sie gibt für die Näherung dieser gegebenen Funktion durch trigonometrische Funktionen die erforderliche Amplitude zu jeder Schwingungsfrequenz an.

Das Wichtigste rund um das Thema Fourier Transformation haben wir anschaulich in einem Video zusammengefasst.

Motivation zur Fourier Transformation

In der Fourier Analyse ist das allgemeine Ziel, eine gegebene Funktion f als Linearkombination der periodischen Sinus- und Cosinus-Funktionen zu beschreiben. Es wird also versucht Sinus- und Cosinus-Funktionen mit passenden Frequenzen und Amplituden zu finden, sodass deren Summe die gegebene Funktion f gut approximiert. Dabei sollten generell zwei Typen der gegebenen Funktion f unterschieden werden: Periodische Funktionen und nicht-periodische Funktionen.

Periodische Funktionen: Fourier-Reihe

Eine Funktion f\left(t\right) wird als periodisch mit Periode T bezeichnet, falls für alle t gilt: f\left(t+T\right)=f\left(t\right). Eine solche T-periodische Funktion f lässt sich auf dem Intervall [-T/2,\ \ T/2] unter bestimmten Voraussetzungen gut durch die folgende trigonometrische Reihe \mathfrak{F}[f] approximieren:

\mathfrak{F}\left[f\right]\left(t\right)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_k\cdot\cos{\left(k\cdot\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)}+b_k\cdot s i n{\left(k\cdot\frac{2\pi}{T}\cdot t \right)}\right]

Dabei berechnen sich die Entwicklungskoeffizienten a_k und b_k folgendermaßen:

a_k=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{\ \ T/2}{\ f\left(t\right)}\cdot\cos{\left(k\cdot\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)}dt,

k=0,\ 1,\ 2,\ldots

b_k=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{\ \ T/2}{\ f\left(t\right)}\cdot \sin{\left(k\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot t\right)}dt,

k=1,\ 2,\ldots

Wird \omega= \frac{2\pi}{T} als Grundfrequenz bezeichnet, so wird also f durch eine Summe von Sinus- und Cosinus-Funktionen unterschiedlicher Amplituden dargestellt, deren Frequenzen ein positiv ganzzahliges Vielfaches k\cdot \omega= \omega_k der Grundfrequenz \omega sind.
Werden die trigonometrischen Funktionen mithilfe der Eulerschen Formel durch

\sin{\left(k\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot t\right)}=\sin{\left(\omega_k\cdot t\right)=\frac{e^{i{\cdot \omega}_k\cdot t}-e^{-i\cdot \omega_k\cdot t}}{2i}}

\cos{\left(k\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot t\right)}=\cos{\left(\omega_k\cdot t\right)=\frac{e^{i{\cdot \omega}_k\cdot t}+e^{-i\cdot \omega_k\cdot t}}{2}}

ersetzt, so ergibt sich die\ folgende etwas übersichtlichere Darstellung dieser trigonometrischen Reihe:

\mathfrak{F}\left[f\right]\left(t\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\cdot e^{i\cdot \omega_k\cdot t}

Die Koeffizienten c_n berechnen sich hierfür wie folgt:

c_k=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{\ \ T/2}{\ f\left(t\right)}{\cdot e}^{-i\cdot \omega_k\cdot t}dt, k=0,\ 1,\ 2,\ldots

 

Die Reihe \mathfrak{F}[f] wird als Fourier-Reihe der T-periodischen Funktion f bezeichnet. Ist diese Funktion stückweise stetig differenzierbar, so konvergiert die Fourier-Reihe gleichmäßig gegen f . Ist f allerdings nur stetig in [-T/2,\ \ T/2] so konvergiert die Fourier-Reihe nur im quadratischen Mittel gegen die Funktion f (Dirichlet-Bedingung bzw. Satz von Dirichlet).
Durch Bestimmung der Fourier-Reihe erhält man ein sogenanntes Frequenzspektrum, das jeder Frequenz \omega_k die Amplitude der Schwingung c_k zuordnet. In der Akustik kann somit ein Geräusch, das sich aus Tönen verschiedener Frequenzen zusammensetzt, in seine Einzeltöne mit Angabe derer Frequenz und Amplitude zerlegt werden.
Allerdings wurde eingangs an die Funktion f die wichtige Voraussetzung gestellt, dass sie periodisch sein muss, weshalb eine Analyse des Frequenzspektrums auf diese Weise nur für periodische Signale möglich ist. Da solche Signale in der Praxis allerdings nur selten auftreten ist es von Interesse auch für nicht-periodische Funktionen das Frequenzspektrum bestimmen zu können.

Nicht-Periodische Funktionen: Fourier-Integral

Das Ziel der Fourier Transformation ist es, auch nicht-periodische Funktionen durch Linearkombination der trigonometrischen Funktionen approximieren zu können. Dafür wird das Wissen über T-periodische Funktionen genutzt und weitergetragen. Die Grundidee dabei ist, dass eine nicht-periodische Funktion f als periodische Funktion aufgefasst wird, deren Periode allerdings unendlich groß ist. Das führt zu folgendem Phänomen: Während der Abstand \Delta \omega = \omega_{k+1}-\omega_k zweier benachbarter Frequenzen \omega_k und \omega_{k+1} für eine endliche Periode T genau \Delta \omega = k+1 \cdot \omega -k \cdot \omega = \omega = \frac{2 \pi}{T} beträgt, verschwindet dieser Abstand im Grenzfall T\longrightarrow\infty:

\lim\limits_{T \to \infty}\Delta \omega = \lim\below{T\longrightarrow\infty} \frac {2\pi}{T}=0

Das bedeutet, dass durch den Übergang von einer endlichen Periode T zu einer unendlich großen Periode T\longrightarrow\infty aus einem diskreten Frequenzspektrum ein kontinuierliches Frequenzspektrum wird.
Die genaueren Folgen des Übergangs T\longrightarrow\infty sollen nun anhand der Fourier-Reihe \mathfrak{F}[f](t) betrachtet werden. Dazu wird in die Formel \mathfrak{F}[f]t=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\cdot \ e^{i\cdot\omega_k\cdot t} zunächst die Amplitude c_k=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{\ \ T/2}{\ f\left(t\right)}{\cdot e}^{-i\cdot \omega_k\cdot t}dt eingesetzt und es ergibt sich:

\mathfrak{F}[f](t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{\ \ T/2}{\ f\left(\tau\right)}{\cdot e}^{-i\cdot \omega_k\cdot \tau}d\tau}\cdot \ e^{i\cdot \omega_k\cdot t}

Durch Einsetzen der Beziehung \frac{1}{T}=\frac{\Delta \omega}{2\pi} folgt weiter:

\mathfrak{F}[f](t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2\pi}\int_{-T/2}^{\ \ T/2}{\ f\left(\tau\right)\cdot e}^{-i\cdot\omega_k\cdot \tau}d\tau}\cdot e^{i\cdot \omega_k\cdot t}\cdot \Delta \omega

Wird nun \int_{-T/2}^{\ \ T/2}{\ f\left(\tau\right)}{\cdot e}^{-i\cdot \omega_k\cdot \tau}d\tau durch \widetilde {f} (\omega_k) ersetzt, so erhält man den folgenden Ausdruck:

\mathfrak{F}[f]\left(t\right)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\widetilde{f}\left(\omega_k\right)}\cdot e^{i\cdot\omega_k\cdot t}\cdot \Delta \omega

Dies stellt eine Riemannsche Summe mit der Zerlegung \left\{\omega_k\right\}_{k\inz} dar. Betrachtet man nun den Grenzübergang T\longrightarrow\infty, so gilt wie bereits gezeigt \lim\limits_{T\rightarrow\infty}{\Delta\omega=0} und aus den diskreten Werten \widetilde{f}\left(\omega_k\right)=\int_{-T/2}^{\ \ T/2}{\ f\left(\tau\right)}{\cdot e}^{-i\cdot\omega_k\cdot\tau}d\tau wird eine Funktion:

\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega\right)=\hat{f}\left(\omega\right):=\int_{-\infty}^{\infty}{f(\tau)\cdot e^{-i\cdot\omega\cdot\tau} d\tau}

Außerdem wird im Grenzübergang T\longrightarrow\infty aus der Summe ein Integral und es ergibt sich das Fourier-Integral \mathcal{F}^{-1}\left[\hat{f}\right]\left(t\right):

\mathcal{F}^{-1}\left[\hat{f}\right]\left(t\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\ \ \infty}{\hat{f}\left(\omega\right)}{\cdot e}^{i\cdot\omega\cdot t}d\omega

Fourier-Integral Graph Fourier-Transformation
Fourier-Integral

Fourier Transformation einfach erklärt

Vergleicht man das oben hergeleitete Fourier-Integral mit der ursprünglichen Formulierung der Fourier-Reihe so werden gewisse Analogien sichtbar.

Fourier-Reihe Fourier-Integral Fourier-Transformation
Fourier-Reihe Fourier-Integral

Während für periodische Funktionen zu den diskreten Frequenzen \omega_k die Amplitude c_k gehört, ergibt sich für nicht-periodische Funktionen eine Amplituden-Funktion \hat{f}\left(\omega\right) in Abhängigkeit der kontinuierlichen Frequenzen \omega. Die Funktion \hat{f}\left(\omega\right) wird als Fourier-Transformierte von f bezeichnet. Sie stellt das Frequenzspektrum der Funktion f dar und die Fourier Transformation ist nichts anderes als die Operation ihrer Bestimmung. Eine alternative Schreibweise für die Fourier-Transformierte \hat{f}\left(\omega\right) ist \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega\right). Die Umkehroperation der Fourier Transformation ist die sogenannte inverse Fourier Transformation \mathcal{F}^{-1} und das Fourier-Integral \mathcal{F}^{-1}\left[\hat{f}\right]\left(t\right) wird auch als inverse Fourier-Transformierte bezeichnet.

Definition: Fourier-Transformierte und Fourier-Integral

Ein L^p-Raum ist folgendermaßen definiert:

L^p\left(\mathbb{R}\right)=\left\{f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\ \ \middle|{\ \left(\int_{-\infty}^{\infty}{\left|f\left(t\right)\right|^pdt}\right)}^\frac{1}{p}=:\parallel f\parallel_p<\infty\right\}

Für eine Funktion f\in L^1\left(\mathbb{R}\right) ist die Fourier-Transformierte definiert als

\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega\right)=\hat{f}\left(\omega\right:=\int_{-\infty}^{\infty}{f(\tau)\cdot e^{-i\cdot \omega\cdot \tau}d\tau}

Häufig wird sie auch als Bildfunktion oder Spektralfunktion bezeichnet und die ursprüngliche Funktion f wird oftmals Originalfunktion genannt.

Umkehrformel: Inverse Fourier Transformation

Sei f\in L^1\left(\mathbb{R}\right) sowie \hat{f}\left(\omega\right)\in L^1\left(\mathbb{R}\right), dann ist die inverse Fourier-Transformierte gegeben durch:

\mathcal{F}^{-1}\left[\hat{f}\right]\left(t\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\ \ \infty}{\hat{f}\left(\omega\right)}{\cdot e}^{i\cdot\omega\cdot t}d\omega

Unter den gegebenen Voraussetzungen gilt an allen Stetigkeitsstellen von f:

\mathcal{F}^{-1}\left[\hat{f}\right]\left(t\right)=f(t)

Die inverse Fourier-Transformierte wird auch als Fourier-Integral oder spektrale Zerlegung von f bezeichnet.

Wird aus der Fourier-Transformierten wieder die Originalfunktion f über das Fourier-Integral bestimmt, so spricht man auch von der inversen Fourier-Transformation, der Fouriersynthese oder auch der Rücktransformation.

Anwendungen der Fourier Transformation

Die Fourier Transformation bzw. die Fourier Analyse und Fourier-Synthese im Allgemeinen haben vor allem in den Ingenieurswissenschaften und der Physik wichtige Anwendungen. Ist dabei die Originalfunktion in Abhängigkeit der Zeit gegeben, so erfolgen Rechnungen mit der Originalfunktion im sogenannten Zeitbereich. Hängt sie jedoch vom Ort ab, so ist dabei die Rede vom Ortsbereich. Rechnungen mit der Fourier Transformierten bzw. der Bildfunktion – also nach der Fourier Transformation – erfolgen im sogenannten Frequenz- bzw. Bildbereich. In der Technik wird häufig zu einer Originalfunktion x(t) im Zeitbereich die zugehörige Bildfunktion im Frequenzbereich mit X(i\omega) symbolisiert und deren Zuordnung folgendermaßen dargestellt:

Fourier-Transformation Anwendung
Fourier-Transformation Anwendung

Für die Praxis der Signalverarbeitung ist die Fouriertransformation allerdings etwas ungeeignet, da die Berechnungsvorschrift der Fourier-Transformierten für ein kontinuierliches Signal gilt. In der Praxis können allerdings nur diskrete Signale verarbeitet werden. Hier ist dann die sogenannte Diskrete Fourier Transformation (DFT) ein geeignetes Mittel, um das Frequenzspektrum des Signals zu ermitteln. Einen Algorithmus hierfür liefert die Fast Fourier Transformation (FFT) also die Schnelle Fourier Transformation.

Eigenschaften der Fourier Transformation

Um die Fourier Transformierte einer Funktion zu bestimmen ist es nicht immer von Nöten diese mithilfe der Definition explizit zu berechnen. Stattdessen kann auf bereits bekannte Fouriertransformationen zurückgegriffen werden, die dann mithilfe gewisser Rechenregeln an die neue Funktion angepasst werden. Die wichtigsten Rechenregeln hierfür sollen im Folgenden dargelegt werden.

Rechenregeln

Es sei f(t)\in L^1\left(\mathbb{R}\right). Dann gilt:

Linearität

\mathcal{F}\left[f+g\right]\left(\omega\right)=\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega\right)+\mathcal{F}\left[g\right]\left(\omega\right)

\mathcal{F}\left[a\cdot f\right]\left(\omega\right)=a\cdot\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega\right) für a\in\mathbb{R}

Streckung

\mathcal{F}\left[f(c\cdot t)\right]\left(\omega\right)=\frac{1}{|c|}\mathcal{F}\left[f\right]\left(\frac{\omega}{c}\right)

Konjugation

\mathcal{F}\left[\bar{f(t)}\right]\left(\omega\right)=\ \bar{\mathcal{F}\left[f(-t)\right]\left(\omega\right)}

Verschiebung

\mathcal{F}\left[f\left(t-a\right)\right]\left(\omega\right)=e^{-i\omega a}\cdot\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega\right)

\mathcal{F}\left[e^{iat}\cdot f(t)\right]\left(\omega\right)=\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega-a\right)

Faltung \left(\left(f\cdot g\right)\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(t-\tau\right)g\left(\tau\right)d\tau\right)

\mathcal{F}\left[f\cdot g\right]\left(\omega\right)=\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega\right)\cdot\mathcal{F}\left[g\right]\left(\omega\right)

\mathcal{F}\left[f\cdot g\right]\left(\omega\right)=\frac{1}{2\pi}\left(\mathcal{F}\left[f\right]\cdot\mathcal{F}\left[f\right]\right)\left(\omega\right)

Fourier Transformation Beispiel

Bevor in einer Tabelle die wichtigsten Fouriertransformationen aufgelistet werden, soll zunächst noch anhand zweier Beispiele die Fourier Transformation konkret durchgeführt werden.

Fourier Transformation Beispiel – Rechteckfunktion

Im Folgenden soll die Fourier Transformation für den Rechteckimpuls

f(t) = \left\{\begin{array}{11} 1 & f\"ur\ |t| \leq a \\ 0 & f\"ur\ |t| \> a \end{array} \right

dargelegt werden, d.h. es soll die Fourier-Transformierte

\hat{f}\left(\omega\right)=\int_{-\infty}^{\ \ \infty}{\ f\left(\tau\right)}{\cdot e}^{-i\cdot\omega\cdot\tau}d\tau

ermittelt werden. Da der Rechteckimpuls nur zwischen -a und a Werte ungleich Null annimmt, vereinfacht sich das Integral zu:

\hat{f}\left(\omega\right)=\int_{-\infty}^{\ \ \infty}{\ f\left(\tau\right)}{\cdot e}^{-i\cdot \omega\cdot \tau}d\tau=\int_{-a}^{\ \ a}{\ f\left(\tau\right)}{\cdot e}^{-i\cdot \omega\cdot \tau}d\tau=\int_{-a}^{\ \ a}{\ 1}{\cdot e}^{-i\cdot \omega\cdot \tau}d\tau

Dieses Integral lässt sich nun mithilfe der Stammfunktion von e^{-i\cdot\omega\cdot\tau} berechnen:

\hat{f}\left(\omega\right)=\int_{-a}^{\ \ a}{\ 1}{\cdot e}^{-i\cdot \omega\cdot \tau}d\tau=\left[-\frac{1}{i\omega}{\cdot e}^{-i\cdot \omega\cdot \tau}\right]_{-a}^{\ \ \ a}=-\frac{1}{i\omega}\left(e^{-i\cdot \omega\cdot a}{-e}^{i\cdot \omega\cdot a}\right)

Mithilfe der Eulerschen Formel e^{i\varphi}=\cos{\left(\varphi\right)}+i\sin\funcapply(\varphi) ergibt sich \frac{e^{i\cdot\varphi}{-e}^{-i\cdot\varphi}}{i}=2\sin\funcapply(\varphi) und es folgt somit:

\hat{f}\left(\omega\right)=-\frac{1}{i\omega}\left(e^{-i\cdot\omega\cdot a}{-e}^{i\cdot\omega\cdot a}\right)=\frac{2}{\omega}\sin\funcapply(\omega\cdot a)

Fourier Transformation Beispiel – Endlicher Wellenzug

Als zweites Beispiel wird die Fourier Transformierte der Funktion f bestimmt, welche eine Schwingung beschreibt, die auf das Intervall von -a bis a begrenzt ist:

f(t) = \left\{\begin{array}{11} e^{i\omega_0t} f\"ur\ |t| \leq a \\ 0 & f\"ur\ |t| \> a \end{array} \right

Wie im ersten Beispiel vereinfacht sich das Integral, da f nur für t\lea ungleich Null ist:

\hat{f}\left(\omega\right)=\int_{-\infty}^{\ \ \infty}{\ f\left(\tau\right)}{\cdot e}^{-i\cdot \omega\cdot \tau}d\tau=\int_{-a}^{\ \ a}{\ f\left(\tau\right)}{\cdot e}^{-i\cdot \omega\cdot \tau}d\tau=\int_{-a}^{\ \ a}{\ e^{i\omega_0t}}{\cdot e}^{-i\cdot \omega\cdot \tau}d\tau

Als nächstes lassen sich die Exponentialfunktionen zusammenfassen:

\hat{f}\left(\omega\right)=\int_{-a}^{\ \ a}{\ e^{i\omega_0t}}{\cdot e}^{-i\cdot \omega\cdot \tau}d\tau=\int_{-a}^{\ \ a}{\ e^{i\left(\omega_0-\omega\right)t}}d\tau

Dieses Integral lässt sich nun wieder elementar berechnen:

\hat{f}\left(\omega\right)=\int_{-a}^{\ \ a}{\ e^{i\left(\omega_0-\omega\right)t}}d\tau=\left[\frac{1}{i\left(\omega_0-\omega\right)}e^{i\left(\omega_0-\omega\right)t}\right]_{-a}^{\ \ \ a}=\frac{1}{i\left(\omega_0-\omega\right)}\left(e^{i\left(\omega_0-\omega\right)a}-e^{-i\left(\omega_0-\omega\right)a}\right)

Wie im ersten Beispiel ergibt sich mithilfe der Euler-Formel:

\hat{f}\left(\omega\right)=\frac{1}{i\left(\omega_0-\omega\right)}\left(e^{i\left(\omega_0-\omega\right)a}-e^{-i\left(\omega_0-\omega\right)a}\right)=\frac{2}{\left(\omega_0-\omega\right)}\sin\funcapply\left(\left(\omega_0-\omega\right)a\right)

Die Fourier-Transformierte \hat{f}\left(\omega\right) dieser Funktion ähnelt also derjenigen der Rechtecksfunktion und ist lediglich verschoben.

Fourier Transformation Tabelle

Im Folgenden sind einige der wichtigsten Fouriertransformationen aufgelistet. Das heißt es ist jeweils die Funktion mit ihrer zugehörigen Fourier Transformierten dargestellt.

Fourier Transformation Tabelle
Fourier Transformation Tabelle

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