Analysis

Gebrochen rationale Funktionen

Du willst wissen, was gebrochen rationale Funktionen ausmacht? In diesem Artikel erklären wir dir alle wichtigen Eigenschaften, wie beispielsweise den Unterschied zwischen echt und unecht gebrochen rationalen Funktionen. Am Ende findest du eine kurze Zusammenfassung und einige Aufgaben zum selber Üben. 

Du willst lieber Schritt für Schritt sehen, was passiert? Schau dir unser Video%verlinken an, um gebrochen rationale Funktionen noch besser zu verstehen! 

Inhaltsübersicht

Gebrochen rationale Funktionen einfach erklärt

Gebrochen rationale Funktionen wirken mit Blick auf ihre Funktionsgraphen im ersten Moment komplizierter, als sie eigentlich sind. Tatsächlich sind sie nur Brüche, deren Zähler und Nenner jeweils ein Polynom%verlinken enthält. 

Funktionsgleichung für gebrochen rationale Funktionen

f(x)=\cfrac{p(x)}{q(x)}=\cfrac{a_nx^n+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0}{b_mx^m+\ldots+b_2x^2+b_1x+b_0}

Je nachdem, wie komplex die Polynome p(x) und q(x) sind, kann deine Funktion die unterschiedlichsten Funktionsgraphen besitzen, die unter dem Begriff Hyperbel zusammengefasst werden. 

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Gebrochen rationale Funktionen: Funktionsgraphen

Arten gebrochen rationaler Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen haben die obige allgemeine Funktionsgleichung, aus der du bereits viele Eigenschaften ablesen kannst. Am wichtigsten ist dabei die Klassifizierung nach Zählergrad und Nennergrad. Der Zählergrad ist die höchste Potenz, die im Zähler vorkommt, als Nennergrad bezeichnet man die höchste Potenz des Nenners. Beispielsweise hat die gebrochen rationale Funktion

f(x)=\cfrac{3x^4-x^2-1}{x^6+10x^4-5}

den Zählergrad ZG=4 und den Nennergrad NG=6. Daran kannst du bereits erkennen, welcher Art die Asymptoten sind und wie der Funktionsgraph für gebrochenrationale Funktionen im Allgemeinen aussehen muss. 

Prinzipiell werden gebrochen rationale Funktionen in zwei verschiedene Arten unterteilt. Es gibt die echt gebrochenrationale Funktionen und unecht gebrochen rationale Funktionen, den genauen Unterschied erklären wir dir jetzt. 

Unecht gebrochen rationale Funktionen

Unecht gebrochen rationale Funktionen sind – wie der Name schon sagt – keine echten gebrochenrationale Funktionen. Sie sehen nur im ersten Moment so aus. Bei genauerer Betrachtung kannst du sie stets so kürzen, dass am Ende keine Funktion mehr im Nenner des Bruches steht, das heißt insbesondere keine Variable x

  • Beispiel 1: 

f(x)=\cfrac{x^3}{x} = x^2

  • Beispiel 2: 

g(x)=\cfrac{x^2-4}{x-2}=\cfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)} = x+2

Durch das Kürzen verschwindet der Bruch, sodass du statt gebrochenrationale Funktionen nur noch eine ganzrationale Funktion%verlinken betrachtest. In den obigen Beispielen erhältst du eine quadratische Funktion im ersten Fall und eine lineare Funktion im zweiten Fall. 

unecht gebrochen rationale Funktion
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Unecht gebrochen rationale Funktionen

Merke: Für gebrochenrationale Funktionen ist in beiden Fällen bei den Nullstellen des Nenners eine hebbare Definitionslücke gegeben, die nach dem Kürzen nicht mehr erkennbar ist! Sie wird in der Abbildung durch den pinken Kreis veranschaulicht.

Merke: Ist für eine gebrochen rationale Funktion der Zählergrad größer ist als der Nennergrad, so handelt es sich oft um eine unecht gebrochen rationale Funktion! Um zu kürzen musst du jedoch manchmal die binomischen Formeln anwenden oder eine Polynomdivision durchführen! 

Echt gebrochen rationale Funktionen

Echt gebrochen rationale Funktionen sind im Gegensatz dazu diejenigen Funktionen, die du auch in obiger Graphik abgebildet siehst. Hier haben der Zähler und der Nenner unterschiedliche Nullstellen und du kannst die Variable x im Nenner nicht kürzen! 

  • Beispiel 3:

f(x)= \cfrac{1}{x^2}

  • Beispiel 4:

g(x)= \cfrac{2x+1}{x^3}

echt gebrochen rationale Funktionen
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Echt gebrochen rationale Funktionen

Von diesen Fällen sprechen wir nachfolgend, wenn wir  gebrochenrationale Funktionen genauer untersuchen. 

Eigenschaften gebrochen rationale Funktionen

In diesem Abschnitt nehmen wir echt gebrochen rationale Funktionen genauer unter die Lupe und untersuchen sie auf ihre besonderen Eigenschaften. 

Definitionsbereich und Wertebereich

Bekanntermaßen ist das „Durch-Null-Teilen“ in der Mathematik weder erlaubt noch sinnvoll. Daher müssen wir für gebrochenrationale Funktionen f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} stets die Nullstellen des Nenners aus dem Definitionsbereich ausschließen. Um den Definitionsbereich zu bestimmen, gehst du somit wie folgt vor:

  • Schritt 1: Berechne die Nullstellen%verlinken x_1, \ldots, x_n des Nenners

q(x)=0

  • Schritt 2: Schließe sie aus der Menge der reellen Zahlen aus

\mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}

Sowohl bei Beispiel 3 als auch Beispiel 4 aus dem vorigen Abschnitt hat der Nenner eine Nullstelle bei x=0. Somit ist in beiden Fällen der Definitionsbereich \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus \{0\}.

Betrachten wir dahingegen die Beispiele 1 und 2, so bestimmen wir den Definitionsbereich bevor wir kürzen als \mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{0\} und \mathbb{D}_g=\mathbb{R}\setminus\{2\}.

Merke: Unecht gebrochenrationale Funktionen haben trotzdem Definitionslücken bei den Nullstellen des Nenners, auch wenn du sie im zweiten Schritt kürzen kannst. Hier spricht man auch von sogenannten hebbaren Definitionslücken!

Bei der Bestimmung des Wertebereichs musst du feststellen, welche Werte der Funktionsterm nie annehmen kann. Für verschiedene gebrochen rationale Funktionen gibt es hier unterschiedliche Möglichkeiten. Beispiel 3 (blau) hat den Wertebereich \mathbb{W}_f=\mathbb{R}^+, während der lila Funktionsgraph aus Beispiel 4 den Wertebereich \mathbb{W}_g=\mathbb{R} hat. 

Nullstellen und Polstellen

Um herauszufinden, wo der Funktionsgraph die x-Achse schneidet, können wir den Nenner der gebrochenrationalen Funktionen außer Acht lassen. Gebrochen rationale Funktionen f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} haben ihre Nullstellen stets bei den Nullstellen des Zählers. Um sie zu bestimmen, berechnest du daher

p(x)=0.

Von einer Polstelle spricht man dahingegen dann, wenn die Funktion an einer Definitionslücke divergiert, das heißt im Limes gegen unendlich läuft. Hier erhältst du eine senkrechte Asymptote, bei der du noch untersuchen musst, ob es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW) handelt, oder eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vorliegt. Dazu setzt du Werte knapp  größer beziehungsweise kleiner der Definitionslücke ein und betrachtest das Vorzeichen der Ergebnisse.

Beispielsweise hat f(x)=\frac{1}{x^2} aus Beispiel 3 im Ursprung eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, da \lim\limits_{x\rightarrow\pm 0} \frac{1}{x^2}=\infty ist. Genaueres dazu erklären wir dir in einem eigenen Artikel „Polstellen“%verlinken

Grenzwertverhalten und Asymptoten

Um für gebrochen rationale Funktionen eine Aussage über das globale Verhalten ableiten zu können, müssen wir eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Dazu untersuchen wir den Limes an allen Rändern des Definitionsbereichs

Insgesamt gibt es drei verschiedene Arten von Asymptoten , die für uns relevant sind. Detailliert findest du sie in einem separaten Artikel erklärt, hier fassen wir nur die wichtigsten Ergebnisse zusammen. Die Asymptoten sind jeweils vom Zählergrad und vom Nennergrad der gebrochenrationalen Funktion festgelegt: 

Zählergrad < Nennergrad

In diesem Fall ist die x-Achse immer eine waagrechte Asymptote, da gilt

\lim \limits_{x\rightarrow \pm \infty} f(x) = 0.

Die Funktionsgraphen der Beispiele 3 und 4 veranschaulichen dies. 

Zählergrad = Nennergrad

Auch dieser Funktionsgraph hat eine waagrechte Asymptote, die jedoch durch die beiden Leitkoeffizienten bestimmt wird. Hier gilt

\lim \limits_{x\rightarrow \pm \infty} \cfrac{p(x)}{q(x)} =  \cfrac{a_nx^n+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0}{b_nx^n+\ldots+b_2x^2+b_1x+b_0}= \cfrac{a_n}{b_n}.

Im Fall f(x)=\cfrac{2x^3-4}{0,5x^3-3} sind die beiden Leitkoeffizienten a_3=2 und b_3 = 0,5. Damit ist 

\lim \limits_{x\rightarrow \pm \infty}\cfrac{2x^3-4}{0,5x^3-3}= \cfrac{2}{0,5}=4.

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Gebrochenrationale Funktion mit Zählergrad gleich Nennergrad

Zählergrad > Nennergrad

In diesem Fall gibt es keine waagrechten Asymptote, sondern du musst wieder zwei Fälle unterscheiden. Ist dein Zählergrad nur um eins größer als der Nennergrad, das heißt ZG=NG+1, dann erhältst du eine schräge Asymptote. Ihre Geradengleichung kannst du mittels Polynomdivision berechnen. 

Angenommen, du willst die schräge Asymptote von der gebrochen rationalen Funktion berechnen

f(x)=\cfrac{x^2+2x+2}{x+1}.

Dann führst du eine Polynomdivision durch und erhältst

\begin{array}{rrrrrrrr} &(2x^2&+&2x&+&2)&=(x+1)\cdot (x+1)+\frac{1}{x+1}\\ -&(x^2 & +&x&)\\ \cline{1-4} &&&x&+&2\\ &&-&(x&+&1)\\ \cline{3-6} &&&&&1\\ \end{array}

Somit hat deine schräge Asymptote die Funktionsgleichung y=x+1, was du leicht am Funktionsgraphen verifizieren kannst.

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Gebrochen rationale Funktion mit schräger Asymptote

 

Ist der Grad des Zählers um mehr als 1 größer, als der Nennergrad, so erhältst du eine kompliziertere Funktion, die du aber ebenfalls mit Polynomdivision bestimmen kannst. 

Gebrochen rationale Funktionen zeichnen

Im Folgenden zeigen wir dir, wie du den Verlauf einer gebrochen rationalen Funktion bestimmen und sie somit  zeichnen kannst.

Einfluss von Parametern auf gebrochen rationale Funktionen

Vergleichen wir die Funktionsgleichung f(x)=\frac{1}{x} mit ihrer allgemeinsten Form, so kann darauf die Funktion der einzelnen Parameter a, b und c abgeleitet werden. 

f(x)=\cfrac{a}{x-b}+c

Durch die Addition von c werden gebrochen rationale Funktionen im Koordinatensystem in y-Richtung nach oben beziehungsweise unten verschoben. Der Parameter b bewirkt dahingegen eine Verschiebung in x-Richtung nach links oder rechts. Hat a ein negatives Vorzeichen, so wird der Funktionsgraph an der x-Achse gespiegelt, im Allgemeinen gibt a jedoch die Steilheit der gebrochen rationalen Funktion an. 

gebrochen rationale Funktionen
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Verschiebung gebrochen rationaler Funktionen

Schritt für Schritt Anleitung 

Um gebrochen rationale Funktionen zu zeichnen, musst du all ihre Eigenschaften berücksichtigen, das heißt sie schrittweise nach den obigen Kriterien untersuchen. Dazu gehst du wie folgt vor, das zugehörige Beispiel findest du im nächsten Abschnitt.

  • Schritt 1: Bestimme den Definitionsbereich, also auch die Nullstellen des Nenners.
  • Schritt 2: Handelt es sich um eine echt oder eine unecht gebrochenrationale Funktion? Bestimme dies anhand von Zählergrad und Nennergrad. Kürze gegebenenfalls.
  • Schritt 3: Untersuche die gebrochen rationale Funktion auf ihre Nullstellen, das heißt die Nullstellen des Zählers.
  • Schritt 4: Bestimme die Art der Polstellen, untersuche sie also auf Vorzeichenwechsel etc. Führe dazu eine Grenzwertberechnung an den Definitionslücken durch.
  • Schritt 5: Betrachte das Verhalten der gebrochen rationalen Funktion an den äußeren Rändern des Definitionsbereichs und bestimme die Asymptote.
  • Schritt 6: Zeichne zuerst die Asymptoten in das Koordinatensystem ein und dann die gebrochen rationale Funktionen unter Berücksichtigung aller Erkenntnisse.

Zusammenfassung: Gebrochen rationale Funktionen

Definitionsbereich                                  Nullstellen des Nenners ausschließen

Wertebereich                                            Asymptote ausschließen

Nullstellen%verlinken                                                  Nullstellen des Zählers berechnen

Polstellen%verlinken                                                     mit oder ohne Vorzeichenwechsel? Grenzwertbetrachtung an den Definitionslücken

Asymptoten                                              Grenzwertbetrachtung für \pm \infty

Gebrochen rationale Funktionen Aufgaben

Nun stellen wir dir noch ein paar Aufgaben zu den gebrochen rationalen Funktionen mit Lösungen zum Üben zur Verfügung.

Aufgabe 1: Gebrochen rationale Funktionen – Kurvendiskussion

Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion f(x)=\cfrac{x^4-x^3}{x(x-1)(2x-1)}

a) Bestimme den Definitionsbereich. Handelt es sich um eine echt oder unecht gebrochen rationale Funktion?

b) Welche Nullstellen hat die gebrochen rationale Funktion?

c) Untersuche die gebrochenrationale Funktion an ihren Polstellen. Liegen Vorzeichenwechsel vor?

d) Hat die gebrochen rationale Funktion eine Asymptote? Wenn ja, welcher Art?

Aufgabe 2: Gebrochen rationale Funktionen zeichnen

Zeichne die Funktion f(x) = \cfrac{2x+3}{x^2-4}.. Gehe dabei nach der obigen Schritt-für-Schritt-Anleitung vor.

Lösung: 

Aufgabe 1: Gebrochenrationale Funktionen – Kurvendiskussion

a) Um den Definitionsbereich für gebrochen rationale Funktionen zu bestimmen, benötigen wir die Nullstellen des Nenners

x(x-1)(2x-1)=0 \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad \quad x_1=0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 0,5.

Somit ist \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{0; 0,5; 1\}. Dabei hat die gebrochen rationale Funktion eine hebbare Definitionslücke bei x_2=1 und x=0, weil

f(x)=\cfrac{x^4-x^3}{x(x-1)(2x-1)}= \cfrac{x^3(x-1)}{x(x-1)(2x-1)} = \cfrac{x^3}{x(2x-1)} = \cfrac{x^2}{2x-1}

Da trotzdem ein Polynom im Nenner besteht, bleibt die Funktion echt gebrochen rational.

b) Um die Nullstellen der gebrochen rationalen Funktion zu bestimmen, berechnen wir die Nullstelle des Zählers bei

x^3 = 0 \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad \quad x =0

c) Gebrochen rationale Funktionen haben Polstellen an ihren nichthebbaren Definitionslücken. Bei x=0,5 liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor, da 

\lim\limits_{x\nearrow 0,5} \cfrac{x^2}{2x-1} = -\infty

\lim\limits_{x\searrow 0,5} \cfrac{x^2}{2x-1} = \infty

d) Gebrochenrationale Funktionen, deren Zählergrad um 1 größer ist als der Nennergrad, haben stets eine schräge Asymptote. Sie kann durch Polynomdivision berechnet werden.

\cfrac{x^4-x^3}{x(x-1)(2x-1)} = (2x-1) \cdot \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}+\frac{1}{4(2x-1)}

Damit hat die schräge Asymptote die Gleichung y= \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}.

schräge Asymptote, gebrochen rationale Funktion
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Gebrochen rationale Funktionen: Aufgabe 1

Aufgabe 2: Gebrochenrationale Funktionen zeichnen

  • Schritt 1:  Für gebrochenrationale Funktionen ist der Definitionsbereich \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}, da

x^2-4=0 \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad \quad  x_1=-2, \quad x_2=2

 

  • Schritt 2:  Hier ist der Zählergrad = 1 < 2 = Nennergrad, es handelt sich somit um eine echt gebrochenrationale Funktion.
  • Schritt 3: Die gebrochenrationale Funktionen haben als Nullstellen die Nullstellen des Zählers, das heißt

2x+3 = 0 \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad \quad x=-1,5

  • Schritt 4: Um die Polstellen zu bestimmen, betrachten wir das Verhalten der Funktion an den Definitionslücken 2 und -2. In beiden Fällen liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor, da

\lim\limits_{x\nearrow-2} \cfrac{2x+3}{x^2-4} = -\infty

\lim\limits_{x\searrow-2} \cfrac{2x+3}{x^2-4} = \infty

\lim\limits_{x\nearrow 2} \cfrac{2x+3}{x^2-4} = -\infty

\lim\limits_{x\searrow 2} \cfrac{2x+3}{x^2-4} = \infty

  • Schritt 5: Da der Nennergrad größer ist als der Zählergrad ist die x-Achse die waagrechte Asymptote.

\lim\limits_{x\rightarrow-\infty} \cfrac{2x+3}{x^2-4} = 0^-

\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \cfrac{2x+3}{x^2-4} = 0^+

  • Schritt 6: Diese gebrochenrationale Funktion hat den folgenden Funktionsgraph:
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Gebrochen rationale Funktionen: Aufgabe 2

 


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