Höhere Mathematik

Gewöhnliche DGL

Inhaltsübersicht

Du möchtest wissen, was eine gewöhnliche Differentialgleichung ist und in welchen Bereichen sie verwendet wird? Dann bist du hier genau richtig.

Gewöhnliche Differentialgleichung Definition und allgemeine Erklärung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung, die auch häufig als gewöhnliche DGL oder GDGL abgekürzt wird, ist eine Gleichung oder ein Gleichungssystem, das aus einer Funktion {y}}(x) und ihren Ableitungen {y}^\prime\left(x\right),{y}^{\prime\prime}\left(x\right),\ldots,{y}^{\left(m\right)}\left(x\right) besteht.

F\left(x,\ y\left(x\right),y^\prime\left(x\right),\ldots,y^{\left(m\right)}\left(x\right)\right)=0

Sie heißt gewöhnlich, da die unbekannte Funktion y nur von einer Variablen x abhängt und nur nach dieser abgeleitet wird. Eine Differentialgleichung beschreibt mathematisch Modelle für die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems.

Gewöhnliche DGL, gewöhnliche Differentialgleichung, gewöhnliche Differentialgleichung Beispiel
Gewöhnliche Differentialgleichung

Gewöhnliche Differentialgleichung Beispiel aus dem Bereich Mechanik

Am besten lässt sich das Thema an ein paar Beispielen erklären. Das erste Beispiel kommt aus der Mechanik: dort können Schwingungen mit einer DGL beschrieben werden. In der folgenden Grafik kannst du ein Feder-Masse-Dämpfer-System sehen.

Gewöhnliche DGL, gewöhnliche Differentialgleichung, gewöhnliche Differentialgleichung Beispiel
Feder-Masse-Dämpfer-System

Seine Schwingung lässt sich durch die folgende Gleichung beschreiben:

kx+d\dot{x}+m\ddot{x}=0

Die Variablen stehen hierbei für:

x = Position der Masse

k = Federsteifigkeit

d = Dämpferkonstante

Außer der Position x kommen in der Differentialgleichung auch die erste und die zweite Ableitung der Position vor. Das sind die Geschwindigkeit und die Beschleunigung der Masse. Die Differentialgleichung beschreibt die Eigenschwingung der gefederten und gedämpften Masse.

Gewöhnliche Differentialgleichung Beispiel aus dem Bereich Elektrotechnik

Außerdem gibt es Differentialgleichungen in der Elektrotechnik: Beispiele sind der elektrische Schwingkreis oder Schaltvorgänge. Nehmen wir das Einschalten einer Spannung in einem Schaltkreis mit einem Kondensator C und einem Widerstand R.

i+RC\frac{di}{dt}=0

Gewöhnliche DGL, gewöhnliche Differentialgleichung, gewöhnliche Differentialgleichung Beispiel
Schwingkreis oder Schaltvorgänge

i ist der Strom, der durch den Schaltkreis fließt, sobald der Schalter umgelegt wird. Er lädt dann den Kondensator auf. Ist dieser voll, hört der Strom wieder auf zu fließen.

Du hast gelernt, dass eine gewöhnliche Differentialgleichung eine Gleichung einer Funktion und ihrer Ableitungen ist, in der y nur von x abhängt. Außerdem hast du zwei Beispiele für gewöhnliche Differentialgleichungen gesehen: das Feder-Masse-Dämpfer-System und einen Einschaltvorgang.


Andere Nutzer halten diese Inhalte aus dem Bereich „Höhere Mathematik“ für besonders klaussurrelevant

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.