Analysis

Polynom

In diesem Artikel erklären wir dir, was ein Polynom ist. Dabei gehen wir anhand zahlreicher Beispiele auch auf viele Spezialfälle ein.

Wenn du schnell verstehen willst, was genau Polynome kennzeichnet, dann schau dir dieses kurze Video%verlinken an!

Inhaltsübersicht

Polynom einfach erklärt

Der Ausdruck Polynom klingt zwar im ersten Moment kompliziert, tatsächlich bezeichnet er nur einen mehrgliedrigen Term, der aus einer (oder mehreren) Variablen, ihren Potenzen und verschiedenen Vorfaktoren besteht. 

a+b+c

10x5-x+3x3+4

3x2-8x+2

Man könnte auch sagen, dass Polynome die Summe einzelner Potenzfunktionen%verlinken darstellen. 

Der Name Polynom kommt aus dem Griechischen und ist zusammengesetzt aus den Wörtern poly, was mehr oder viel bedeutet und nomos, was Name heißt. Polynome bezeichnen daher immer einen Term bestehend aus mehreren Teilen. Ein eingliedriger Term wird dahingegen Monom genannt. 

Allgemeines Polynom

Mit die wichtigsten Polynome sind diejenigen in einer Variable x. Sie bestehen aus verschiedenen Potenzen von x, die mit einem bestimmten Vorfaktor a multipliziert werden. Allgemein kann man das wie folgt aufschreiben

allgemeines Polynom

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0.

Diese Polynome werden hinsichtlich ihrer Ordnung oder ihrem Grad n unterschieden, das heißt nach ihrer höchsten Potenz. Der Grad des Polynoms von oben wäre somit n. Die Vorfaktoren vor den einzelnen Potenzen heißen Koeffizienten, wobei der Vorfaktor vor der höchsten Potenz, das heißt an, Leitkoeffizient genannt wird.  Außerdem spricht man bei den einzelnen Summanden von Glieder des Polynoms. Hier wären die einzelnen Glieder: a_nx^n, a_{n-1}x^{n-1},…, a_2x^2, a_1x, a_0.

Beispiele für solche Polynome sind

  • x+1: Polynom vom Grad 1 mit Leitkoeffizient 1
  • -4x3+2x2+3x-1: Polynom vom Grad 3 mit Leitkoeffizient -4
  • \sum \limits_{k=0}^5 kx^k = 5x^5+4x^4+3x^3+2x^2+x: Polynom vom Grad 5 in Summendarstellung

Nicht-Beispiele für Polynome sind alle komplizierteren Terme, die beispielsweise Wurzeln%Wurzelfunktion verlinken oder Brüche enthalten, deren Nenner aus einer Variable besteht%gebrochen rationale Funktionen verlinken

  • \sqrt{x}+4
  • \frac{2}{x^2}+3x-1.

Merke: Oft werden Polynome nach ihren Exponenten sortiert aufgeschrieben. Solche Polynome nennt man auch geordnete Polynome. So schreibt man beispielsweise x^5+2x^3-x statt -x+x^5+2x^3.

Spezielle Polynome

Es gibt verschiedene Arten von Polynomen, von denen manche ganz besonders wichtig sind. Die bekanntesten Polynome sind das Nullpolynom, das Binom und das Trinom. Diese stellen wir dir hier kurz vor.

Nullpolynom

Das denkbar einfachste Polynom heißt Nullpolynom. Es ist konstant Null

f(x)=0.

Der Grad des Nullpolynoms ist auf -1 oder -\infty festgelgt. Sein Funktionsgraph ist identisch zur x-Achse, das heißt es handelt sich dabei um eine waagrechte Gerade im Koordinatensystem mit y-Achsenabschnitt y=0

Monom

Ein Monom besteht aus nur einem Glied. Beispiele hierfür sind:

  • a
  • x^2
  • 20x^5.

Binom

Ein Binom besteht immer aus zwei Gliedern, es ist die Summe oder die Differenz zweier Monome. Typische Beispiele für ein solches Binom sind

  • a+b
  • 2x2+x
  • \frac{1}{3}y-z
  • 4ab-b.

Achtung: Pass auf, dass du das Binom nicht mit den binomischen Formeln%verlinken, wenn verfügbar verwechselst! Hier werden zwei Binome multipliziert! 

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2

Trinom

Ein Trinom besteht im Gegensatz zum Binom aus drei einzelnen Termen, beziehungsweise aus drei Monomen. Typische Beispiele dafür sind

  • a+b+c
  • 2x+3-y
  • ax2+bx+c
  • a2+2ab+b2.

Polynome in einer Variable: Polynomfunktion

Als besonders wichtiger Teil der Analysis gelten die Polynomfunktionen, die manchmal auch ganzrationale Funktionen%verlinken genannt werden. Sie bestehen aus einem Polynom in einer Variable. 

f: x \mapsto \underbrace{5x^6-3x^4+x^2-10x+2}_{\mbox{Polynom}}

Dieses Beispiel hat den Grad n=6 und den Leitkoeffizienten a_6=5. Für die anderen Koeffizienten gilt

a_5=0, a_4 =-3, a_2 = 1, a_1 = -10 und a_0=2.

 Spezialfälle dieser Polynomfunktionen gibt es auch hier, wobei du die meisten davon bereits kennst:

Achtung: Hier handelt es sich jeweils um eine Funktion, die x auf das Polynom f(x) abbildet. Formal gesehen sind Polynom und Polynomfunktion nicht dasselbe, selbst wenn man die Begriffe umgangssprachlich oft synonym verwendet! 

 


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