Höhere Mathematik

Potenzreihen

Inhaltsübersicht

Die Potenzreihen bereiten dir immer noch Probleme? Im Folgenden zeigen wir dir, was es mit den Potenzreihen auf sich hat und wie du ihren Konvergenzradius bestimmen kannst.

Potenzreihen Definition

Eine Potenzreihe ist eine Funktionenreihe, die aus der Summe von Potenzen besteht. Die Potenzen werden noch jeweils mit Vorfaktoren a_n multipliziert. Sie wird im Entwicklungspunkt x_0 gebildet. Du kannst die Potenzreihe auch als Summe zusammenfassen.

Potenzreihen Definition
Potenzreihen Definition

Potenzreihen Konvergenzradius: Wurzelkriterium

Man definiert den zugehörigen Konvergenzradius entweder über das Wurzelkriterium als:

R:=\left({\bar{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}}{\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}\right)^{-1}

Der Limes Superior ist der größte Häufungspunkt einer Folge und ist bei einer konvergierenden Folge das gleiche wie der Limes. Falls die Folge \sqrt[n]{\left|a_n\right|} unbeschränkt ist, setzt man R=0.

Potenzreihen Konvergenzradius: Quotientenkriterium

Alternativ kannst du den Konvergenzradius mit dem Quotientenkriterium bestimmen:

R:=\left(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|}}\right)^{-1}

Das Quotientenkriterium darf nur verwendet werden, wenn der Grenzwert tatsächlich existiert. Wenn der Grenzwert in der Klammer Null ist, setzt man formal R=\infty.

Potenzreihen Konvergenzradius
Potenzreihen Konvergenzradius

Man kann beim Quotientenkriterium auch einfach den Grenzwert des Kehrwerts bilden, um den Konvergenzradius zu bestimmen.

R=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\left|a_n\right|}{\left|a_{n+1}\right|}}

Potenzreihe Konvergenz

Nachdem man den Konvergenzradius ermittelt hat, kann man daher Folgendes über die Konvergenz der Potenzreihe aussagen: Die Potenzreihe ist

  • gleichmäßig konvergent auf dem geschlossenen Intervall \left[x_0-r,x_0+r\right] für jedes r<R und
  • divergent für alle x, die weiter von x_0 entfernt sind als R

Die Randpunkte x=x_0\pm\ R sind kritische Punkte und du musst sie gesondert untersuchen. Die Menge aller x, für die die Potenzreihe konvergiert, heißt Konvergenzbereich I_p.

Konvergenzbereich Potenzreihen
Konvergenzbereich Potenzreihen

Betrachten wir hierzu noch eine Grafik. Wie aus der Funktionsgleichung erkennbar ist, ist die Potenzreihe für m=3 parabelförmig. Mit steigendem m nähert sich die Potenzfunktion p(x) der Form an, die du oben in der Grafik auf der rechten Seite siehst.

Eine Potenzreihe ist auf ihrem Konvergenzbereich konvergent, also hat die Reihe hier eine Grenzfunktion, im Beispiel ist diese Null. Dadurch siehst du, dass die Funktion im Bereich zwischen -1 und 1 dagegen konvergiert. Außerhalb des Konvergenzbereichs ist sie divergent. Somit geht die Funktion für Werte größer 1 und kleiner -1 ins Unendliche.

Potenzreihen Beispiele

Sehen wir uns doch an dieser Stelle mal ein Beispiel an:

p\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\ast\ \frac{x^n}{n}

Alternativ könnten wir die Potenzreihe auch so schreiben:

\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{{(-1)}^n}{n}*x^n}

Für diese Potenzreihe p wollen wir den Konvergenzradius bestimmen und nehmen dafür das Quotientenkriterium.

R={\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|}={\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{\left(-1\right)^n\left(n+1\right)}{\left(-1\right)^{n+1}n}\right|}={\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{n+1}{n}}=1

Dann setzen wir a_n und a_{n+1} ein. Nach dem umformen sieht der Term folgendermaßen aus. Aufgrund der Betragsstriche fallen die Vorfaktoren \left(-1\right)^n und \left(-1\right)^{n+1} weg. Die Betragsstriche können ebenfalls weggelassen werden. Der Grenzwert ist somit 1. Nun musst du die Randpunkte -1 und 1 untersuchen:

Potenzreihen Beispiele
Potenzreihen Beispiele: Randpunkt -1

Setze x=-1 in die Potenzreihe ein und fasse es mit dem anderen Faktor \left(-1\right)^n zusammen. \left(-1\right)^{2n} ergibt 1. Es ergibt sich die harmonische Reihe. Die ist bekanntlich divergent. Jetzt musst du noch x=1 einsetzen.

Potenzreihen Beispiele
Potenzreihen Beispiele: Randpunkt 1

Du kannst 1^n einfach weglassen. Jetzt ziehen wir noch den Vorfaktor -1 aus der Summe, um den Grenzwert besser bestimmen zu können. Es ergibt sich dann die alternierende harmonische Reihe. Diese ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent. Der Grenzwert ist im Beispiel also -ln(2). Die Erkenntnis, dass der Grenzwert existiert, hätte hier allerdings bereits ausgereicht. Den Wert musst du nicht bestimmen.

Jetzt kannst du den Konvergenzbereich bestimmen, da du weißt, dass die Potenzreihe bei -1 divergiert und bei 1 konvergiert. Der Konvergenzbereich I_p ist also \left(-1,1\right].

Eigenschaften von Potenzreihen

So, zu guter Letzt zeigen wir dir noch ein, zwei praktische Eigenschaften von Potenzreihen.

Für \left|x-x_0\right|<R ist die Funktion p(x) beliebig oft stetig differenzierbar und die Ableitungen können durch gliedweises Differenzieren bestimmt werden.

p^\prime\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{na_n\left(x-x_0\right)^{n-1}}

Die erste Ableitung kannst du leicht nachrechnen.

p^{\left(k\right)}\left(x\right)=\sum_{n=k}^{\infty}{\frac{n!}{\left(n-k\right)!}a_n\left(x-x_0\right)^{n-k}}

Die k-te Ableitung folgt dem gleichen Schema. Alle Exponenten sind positive ganze Zahlen, daher fallen beim Ableiten Konstanten weg.

Die Konvergenzradien der integrierten oder differenzierten Potenzreihen stimmen mit dem der ursprünglichen Potenzreihe überein.

R_p=R_{p\prime}=R_{\int p}

Zusammenfassung Potenzreihen

Zusammenfassung Potenzreihen
Zusammenfassung Potenzreihen

Fassen wir noch mal zusammen, was du gelernt hast. Du weißt, wie eine Potenzreihe aussieht. Zudem kennst du zwei Wege, den Konvergenzradius zu bestimmen: mit dem Wurzelkriterium und mit dem Quotientenkriterium. Danach hast du gelernt, wie du den Konvergenzbereich bestimmst. Nach diesem Beitrag solltest du keine Probleme mehr mit Potenzreihen haben.


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