Analysis

Quadratische Gleichungen

In diesem Artikel erklären wir unterschiedliche quadratische Gleichungen und zeigen dir anhand von vielen Beispielen, mit welchen Formeln du sie am schnellsten lösen kannst. Am Ende des Artikels findest du einige Aufgaben zum selber Üben. 

Wenn du lieber in einer direkten Schritt für Schritt Anleitung verstehen willst, wie du quadratische Gleichungen lösen kannst, dann schau dir unser Video an. 

Inhaltsübersicht

Quadratische Gleichungen einfach erklärt

Was quadratische Gleichungen sind, lässt sich ganz einfach erklären: Es sind Gleichungen, die immer mindestens ein x2 enthalten, aber keine höheren Potenzen wie beispielsweise x3  oder x4 . Wichtig ist dabei, dass du jede quadratische Gleichung auf eine ganz bestimmte allgemeine Form bringen kannst. 

Quadratische Gleichungen: Darstellungsweisen

Allgemeine Form: ax2+bx+c=0 

Normalform: x2+px+q=0

Die Parameter a, b, c, p und q stehen dabei für beliebige reelle Zahlen, du darfst alles einsetzen außer a=0. Die Normalform ist dabei der Spezialfall der allgemeinen Form mit a=1

Wenn du quadratische Gleichungen lösen willst, gibt es entweder eine, zwei oder keine Lösung

Übrigens: Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen, musst du immer eine quadratische Gleichung lösen! 

Parabel, Parabeln, Nullstellen Parabel, quadratische Funktionen, quadratische Funktion
direkt ins Video springen
Quadratische Gleichungen lösen zur Nullstellen-Berechnung

Arten quadratischer Gleichungen

Quadratische Gleichungen unterscheiden sich, je nachdem, welche Zahlen für a, b oder c eingesetzt werden. Die verschiedenen Arten stellen wir dir in diesem Abschnitt genauer vor. 

Reinquadratische Gleichungen

Reinquadratische Gleichungen enthalten außer dem quadratischen Term x2 kein weiteres x, da in diesem Fall stets b=0 ist. Quadratische Gleichungen dieser Art kannst du daher mittels Äquivalenzumformungen stets auf die folgende Form bringen:

Reinquadratische Gleichung

ax2+c=0

Wichtig ist auch hier, dass in jedem Fall a \ne 0 ist. Typische Beispiele für solche quadratische Gleichungen sind

  • 2x2-4=0
  • x2=0

Gemischt quadratische Gleichungen

Im Gegensatz dazu enthalten gemischte quadratischen Gleichungen neben dem quadratischen Ausdruck x2 immer ein lineares Glied bx. In manchen dieser Fälle ist c=0, dann erhältst du eine quadratische Gleichung der Form

ax2+bx=0.

Für  c \not = 0 liegt die quadratische Gleichung in allgemeiner Form vor

Quadratische Gleichung in allgemeiner Form

ax2+bx+c=0.

Zwei typische Beispiele dafür sind

  • -x2+5x+1=0
  • 3x2+x-2=0

Merke: Mittels Äquivalenzumformungen kannst du jede quadratische Gleichung auf die allgemeine Form beziehungsweise auf die Normalform bringen. Um ausgehend von der allgemeinen Form die Normalform zu bestimmen, musst du lediglich durch den Faktor a teilen. In diesem Fall ist p=\frac{b}{a} und q=\frac{c}{a} .

ax2+bx+c=0           \bigg| \div a

Quadratische Gleichung in Normalform

x2+px+q=0 

Beispiele und Nicht-Beispiele

Weitere Beispiele für quadratische Gleichungen lauten:

  • x2=x+1=0
  • x(x-3)=6
  • 2x2+8=0
  • (x-2)(x+5)=0

Keine quadratischen Gleichungen liegen beispielsweise hier vor:

  • 2x+3=0
  • (x2+4x)(x+3)=0
  • x3-x=5
  • \sqrt{x}+3=9

Quadratische Gleichungen lösen ist abhängig von ihrer Art unterschiedlich schwer. Im nächsten Abschnitt zeigen wir dir explizit am Beispiel, wie du bei den verschiedenen Fällen am besten vorgehst.

Quadratische Gleichungen lösen: ax2+c=0

Am einfachsten kannst du reinquadratische Gleichungen der Form ax2+c=0 lösen, indem du die Gleichung nach x2 auflöst und dann die Wurzel ziehst. 

ax2+c=0                \bigg| -c, \quad \div a

x^2 = -\frac{c}{a}             \bigg| \sqrt{}

x= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}

Willst du beispielsweise 4x^2-36=0  berechnen, so erhältst du als Ergebnis

4x^2=36  \quad \quad \quad \quad \quad \bigg| \div 4

x^2 = 9

x_{1,2} = \pm \sqrt{9} = \pm 3 .

Quadratische Gleichungen lösen: ax2+bx=0

Für quadratische Gleichungen der Form ax2+bx=0 bietet sich das Ausklammern von x an. Dann kannst du die Nullstellen beider Faktoren einzeln berechnen. 

ax2+bx=0

x(ax+b)=0

x1=0      und

ax+b=0 \Longleftrightarrow ax = -b

x_2=-\frac{b}{a} .

Damit kannst du beispielsweise die quadratische Gleichung x2+4x=0 lösen, indem du x zuerst ausklammerst

x(x+4)=0.

Dann siehst du sofort, dass x1=0 und x2=-4 gelten muss. 

Quadratische Gleichungen lösen: ax2+bx+c=0

Für eine quadratische Gleichung der Form ax2+bx+c=0 gibt es verschiedene Lösungsformeln und Ansätze, die wir nachfolgend kurz erklären. Zu jedem dieser Themen findest du auch einen ausführlichen Artikel verlinkt. 

Allgemein kann eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen haben. Das ist von der Diskriminante abhängig, das heißt von dem Ausdruck, der bei den Lösungsformeln unter der Wurzel steht. Dabei unterscheidet sich die Diskriminante von der pq Formel nicht wesentlich von der Diskriminante der Mitternachtsformel, sie lassen sich für a=1 ineinander umformen.

Diskriminante der Lösungsformeln:

Mitternachtsformel: D=b^2-4ac

pq Formel: D=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q

  • D>0: die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen
  • D=0: Die quadratische Gleichung hat eine Lösung
  • D<0: Die quadratische Gleichung hat keine Lösung

pq Formel

Quadratische Gleichungen in Normalform löst du am besten mit der pq Formel .

pq Formel

x^2+p\cdot x +q = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad  x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}

Betrachten wir dafür ein Beispiel und lösen die Gleichung

x2+10x+25=0.

Da sie schon in Normalform vorliegt, können wir p=10 und q = 25 direkt ablesen und in die pq Formel einsetzen

x_{1,2} = -\cfrac{10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right) ^2-25} =-5 \pm \sqrt{5^2-25} = -5 \pm 0 = -5 .

Die Lösungsmenge besteht in diesem Fall nur aus einem Element \mathbb{L}=\{-5\} .

Mitternachtsformel und abc-Formel

Willst du quadratische Gleichungen lösen, die  in ihrer allgemeinen Form vorliegen, so bietet sich die Verwendung der Mitternachtsformel an. Sie wird manchmal auch als abc Formel bezeichnet.

Mitternachtsformel / abc Formel

ax^2 +bx+c=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Ein Beispiel hierfür ist die Berechnung der Lösungsmenge der quadratischen Gleichung 

2x^2-6x = 8 .

Dazu bringen wir die Gleichung zuerst auf ihre allgemeine Form:

2x^2-6x-8=0 .

Als nächstes bestimmen wir die Parameter a=2, b=-6 und c=-8, die wir in die Mitternachtsformel einsetzen. 

x_{1,2} = \cfrac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 2 \cdot (-8)}}{2\cdot 2}

= \cfrac{6 \pm \sqrt{36+64}}{4}

= \cfrac{6 \pm \sqrt{100}}{4}

= \cfrac{6 \pm 10}{4}

x_1 = \cfrac{6+10}{4}=4 und    x_2 =\cfrac{6-10}{4}=-1

Nun müssen wir nur noch die Lösungsmenge \mathbb{L}=\{-1; 4\} aufschreiben. 

Satz von Vieta

Um besonders schöne, ganzzahlige quadratische Gleichungen lösen zu können, wendet man oft auch den Satz von Vieta an: 

Satz von Vieta

Die beiden Lösungen x1 und x2 der quadratischen Gleichung x2+px+q=0 lassen sich berechnen durch

(I) x1 + x2= -p    und    (II) x1 · x2= q

Ein typisches Beispiel, wie du mit Vieta quadratische Gleichungen lösen kannst, ist 

x2+3x-4=0.

Dazu stellen wir zuerst ein lineares Gleichungssystem auf

(I)      x1 + x2= -3

(II)      x1 · x2= -4,

und sehen sofort, dass in diesem Fall x1 = 1 und  x2= -4 gelten muss. 

Quadratische Ergänzung

In vielen Fällen ist es sehr nützlich, quadratische Funktionen von ihrer Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umzuwandeln. Dazu benötigst du die quadratische Ergänzung , bei der du die quadratische Gleichung auf eine binomische Formel zurückführst.

Auch das zeigen wir dir am besten am Beispiel 2x^2-20x+60 . Hier haben wir den Vorfaktor 2 gegeben, den wir zuerst ausklammern 

2\left(x^2-10x\right)+60.

Das negative Vorzeichen verrät, dass wir die zweite binomische Formel mit a=x und b=5 verwenden müssen. 

2\left(x^2-10x\right)+60 = 2 \left(x^2-2 \cdot 5  x \right) +60.

Diesen Term ergänzen wir im nächsten Schritt quadratisch mit +5^2-5^2 und erhalten

2\left( x^2-2 \cdot 5  x + \underbrace{5^2 – 5^2}_{=0} \right) +60

=2\left( ( x^2-2 \cdot 5 x +5^2 )- 5^2\right) +60

=2\left( x-5\right)^2 -50 +60

=2\left(x-5\right)^2+10.

Quadratische Gleichungen Aufgaben

Nun zeigen wir dir verschiedene Aufgaben mit Lösungen zu quadratischen Gleichungen.

Aufgabe 1: Quadratische Gleichungen lösen mit Mitternachtsformel oder pq Formel

a) x2+2x=-1    

b)\frac{1}{2}x^2+2x+5=0 .

Aufgabe 2: Quadratische Gleichungen lösen mit Vieta

Löse die quadratische Gleichung x2-2x-15=0 unter Verwendung des Satzes von Vieta. 

Aufgabe 3: Quadratische Gleichungen lösen durch Ausklammern oder Wurzel ziehen

a) x2=2x 

b) 2 x2-18=0 

Lösung

Aufgabe 1: Quadratische Gleichungen lösen mit Mitternachtsformel oder pq Formel

a) Um die quadratische Gleichung x2+2x=-1 zu lösen verwenden wir hier am besten die pq Formel. Dazu bringen wir sie zuerst auf Normalform

x2+2x+1=0.

Nun setzen wir p=2 und q=1 in die pqFormel ein 

x_{1,2}  =-  \frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-1} = -1 \pm \sqrt{1-1} = -1\pm 0 .

Wir erhalten somit eine ein-elementige Lösungsmenge \mathbb{L}=\{-1\} .

b) Willst du diese quadratische Gleichung lösen, bietet sich die Verwendung der Mitternachtsformel an. 

\frac{1}{2}x^2+2x+5=0 .

Setzen wir a=\frac{1}{2} , b=2 und c=5 in die Mitternachtsformel ein, so erhalten wir

x_{1,2} = \cfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot \frac{1}{2} \cdot 5}}{2\cdot \frac{1}{2}}

= \cfrac{-2\pm \sqrt{4-10}}{1}

= -2 \pm \sqrt{-6}

Da die Wurzelfunktion nicht für negative Zahlen definiert ist, hat diese Gleichung kein Ergebnis! 

Aufgabe 2: Quadratische Gleichungen lösen mit Vieta

Um x2-2x-15=0 zu berechnen, stellen wir zuerst das Gleichungssystem auf

(I)      x1 + x2= 2

(II)      x1 · x2= -15.

Durch scharfes Anschauen der zweiten Gleichung siehst du, dass nur die Wertepaare 1 und -15, -1 und 15, 3 und -5 oder -3 und 5 infrage kommen. Betrachtest du nun die erste Gleichung, ist sofort klar, dass x1=-3 und x2= 5 sein muss. 

Aufgabe 3: Quadratische Gleichungen lösen durch Ausklammern oder Wurzel ziehen

a) Um x2=2x aufzulösen, formen wir die Gleichung so um, dass auf der rechten Seite eine Null steht und klammern daran anschließend aus. 

x2-2x=0

x(x-2)=0.

Damit sind die beiden Lösungen hier x1 = 0 und  x2= 2.

b) 2x2-18=0 lässt sich durch einfache Äquivalenzumformungen und Wurzel ziehen lösen 

2x2-18=0

2x2=18

x2=9

x_{1,2}=\pm\sqrt{9} = \pm 3 .


Andere Nutzer halten diese Inhalte aus dem Bereich „Analysis“ für besonders klausurrelevant

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.