Analysis

Sinussatz

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Sinussatz und zeigen dir unter anderem verschiedene Aufgaben mit Lösungen. 

Wenn du das Wichtigste zum Sinussatz in kürzester Zeit erfahren möchtest, dann schau dir unbedingt unser Video%Verweis dazu an!

Inhaltsübersicht

Sinussatz einfach erklärt

Mit Sicherheit hast du die ein oder andere Länge in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe des Satzes von Pythagoras schon einmal ausgerechnet. Wahrscheinlich hast du auch verschiedene Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck durch den Sinus, Kosinus oder Tangens schon einmal ausrechnen sollen.

Erkennst du hier eine Gemeinsamkeit? In beiden Fällen war die Rede von einem rechtwinkligen Dreieck. Du könntest dich jetzt (zu Recht) fragen, wie die Situation in einem allgemeinen Dreieck aussieht. Ein Teil der Antwort lautet Sinussatz. Der Sinussatz ermöglicht dir das Berechnen von fehlenden Seiten und Winkeln auch in einem Dreieck, in welchem es keinen rechten Winkel gibt.

Sinussatz Formel

In diesem Abschnitt zeigen wir dir, was der Sinussatz aussagt und illustrieren seine Anwendung an einem Beispiel.

Sinussatz

Bezeichnen wir in einem Dreieck \Delta \text{ABC} die Seiten mit den Buchstaben a, b und c und die gegenüberliegenden Winkel mit \alpha, \beta und \gamma, dann gilt

\frac{a}{\sin(\alpha)} =  \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}

In Worten: Das Verhältnis zwischen den Seiten (a, b, c) eines Dreiecks und dem Sinus des Winkels, welcher der jeweiligen Seite gegenüberliegt, ist für ein gegebenes Dreieck konstant.

Sinussatz
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Allgemeines Dreieck mit beschrifteten Seiten und Winkeln für den Sinussatz.

Beispiel

Die Aussage des Sinussatzes ist etwas abstrakt. Schauen wir uns daher ein konkretes Beispiel an, in welchem wir dir das Umstellen des Sinussatzes illustrieren. Nehmen wir an, dass folgende Information eines Dreiecks gegeben ist

b = 5, c = 3 und \gamma = 35°.

Wir möchten daraus die fehlende Seite a, sowie die beiden Winkel \alpha und \beta berechnen. Beachte, dass wir hier zur besseren Übersicht auf Einheiten verzichten. Es spielt für den Ablauf der Berechnung keine Rolle, welche Längeneinheit du nun verwenden möchtest. Entscheidend ist aber, dass jede Seite mit der gleichen Längeneinheit (zum Beispiel Zentimeter) versehen wird.

Wir kennen sowohl die Seite c als auch den Winkel, der dieser Seite gegenüberliegt. Damit können wir das Verhältnis berechnen

\frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{3}{\sin(35^{\circ})} = 5,23.

Der Sinussatz teilt uns mit, dass diese Zahl 5,23 auch für alle anderen Verhältnisse herauskommen wird. Insbesondere gilt dann für die Seite b und dem gegenüberliegenden Winkel \beta

\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}=5,23

oder umgestellt nach dem Winkel \beta

\beta = \sin^{-1} \left(b \cdot \frac{\sin(\gamma)}{c} \right) = \sin^{-1} \left(5 \cdot \frac{1}{5,23} \right) = 73^{\circ}.

Für den letzten Winkel nutzen wir die Tatsache aus, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck gleich 180° ist. Es gilt also

\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}

oder umgestellt nach dem Winkel \alpha

\alpha = 180^{\circ} - (\beta + \gamma) = 180^{\circ} - (73^{\circ} + 35^{\circ}) = 72^{\circ}.

Es fehlt nur noch die Seite a. Unter Verwendung des Sinussatzes gilt wieder

\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}=5,23

und damit für die Seite a

a = \sin(\alpha) \cdot \frac{c}{\sin(\gamma)} = \sin(72^{\circ}) \cdot 5,23 = 4,97.

Beachte, dass wir hier auch das Verhältnis \frac{b}{\sin(\beta)}=5,23 verwenden hätten können, um die Seite a zu berechnen. Nach dem Sinussatz sind alle Verhältnisse identisch.

Sinussatz Kosinussatz

Wir hatten am Anfang des Artikels erwähnt, dass der Sinussatz nur ein Teil der Antwort auf die Frage ist: „Wie sieht die Situation in einem allgemeinen Dreiecken aus?“. Der andere Teil der Antwort ist der Kosinussatz%verlinken, sobald Beitrag dazu veröffentlicht wurde. Dieser wird manchmal als eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras auf allgemeine Dreiecke angesehen. 

Die Situation, in der wir uns also befinden, ist folgende: Es ist das Dreieck \Delta \text{ABC} gegeben, in welchem es keinen rechten Winkel gibt. Angenommen die Seiten a und b, sowie der Winkel \gamma, den die beiden Seiten einspannen, seien gegeben. Wie können wir daraus die fehlende dritte Seite c bestimmen? In einem rechtwinkligen Dreieck könntest du einfach die Gleichung 

c^2 = a^2 + b^2 

verwenden, unter der Annahme, dass c die Hypotenuse des Dreiecks ist. Für ein allgemeines Dreieck gilt hingegen der Kosinussatz

c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos(\gamma).

Beachte die Ähnlichkeit zum Satz des Pythagoras. In der Tat erhältst du den Satz des Pythagoras, wenn \gamma = 90^{\circ} ist, denn dann wird \cos(\gamma) = 0. Weiterhin solltest du berücksichtigen, dass dir in dieser Situation der Sinussatz keine weiteren Informationen geben könnte, denn mit den vorhandenen Informationen hättest du keines der drei Verhältnisse ausrechnen können.

Sinussatz Aufgaben

Im Folgenden rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben. Beide beinhalten das Umstellen des Sinussatzes und die Berechnung unbekannter Winkel und Seiten.

Aufgabe 1: Sinussatz umstellen 

In einem allgemeinen Dreieck sind folgende Größen bekannt

c = 6, \gamma = 25^{\circ}, \beta = 100^{\circ}.

(a) Bestimme den fehlenden Winkel \alpha.

(b) Berechne die fehlenden Seiten a und b.

(c) Zeichne das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten (Zeichnung muss nicht maßstabsgetreu sein).

Lösung Aufgabe 1

(a) In einem Dreieck gilt für die Summe der Winkel 

\alpha + \beta + \gamma = 180°.

Damit ergibt sich der fehlende Winkel zu

\alpha = 180^{\circ} - (\beta + \gamma) = 180^{\circ} - (100^{\circ} + 25^{\circ}) = 55°.

(b) Nach dem Sinussatz gilt

\frac{a}{\sin(\alpha)} =  \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}.

Demnach ergibt sich die Seite b zu 

b = \sin(\beta) \cdot \frac{c}{\sin(\gamma)} = \sin(100^{\circ}) \cdot \frac{6}{\sin(25^{\circ})} = 14.

Auf ähnliche Weise gilt für die Seite a

a = \sin(\alpha) \cdot \frac{c}{\sin(\gamma)} = \sin(55^{\circ}) \cdot \frac{6}{\sin(25^{\circ})} = 12.

(c) Das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten kann folgendermaßen aussehen. Beachte, dass die Form deines Dreiecks sich von dem hier gezeigten unterscheiden kann. Es kommt nicht auf die Form an, sondern auf die Angabe der Zahlenwerte an den richtigen Positionen.

Sinussatz Umstellen Aufgabe
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Sinussatz Umstellen Aufgabe 1.

Aufgabe 2: Sinussatz umstellen

In einem allgemeinen Dreieck sind folgende Größen bekannt

a = 11, b = 15, \alpha = 45^{\circ}.

(a) Bestimme die fehlenden Winkel \beta und \gamma.

(b) Berechne die fehlende Seite c.

(c) Zeichne das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten (Zeichnung muss nicht maßstabsgetreu sein).

Lösung Aufgabe 2

(a) Nach dem Sinussatz gilt 

\frac{a}{\sin(\alpha)} =  \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}.

Demnach ergibt sich für den Winkel \beta

\beta = \sin^{-1} \left(b \cdot \frac{\sin(\alpha)}{a} \right) = \sin^{-1} \left(15 \cdot \frac{\sin(45^{\circ})}{11} \right) = 75^{\circ}.

Für den Winkel \gamma erhalten wir somit

\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 75^{\circ}) = 60°.

(b)

Nach dem Sinussatz gilt 

\frac{a}{\sin(\alpha)} =  \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}.

Die Seite c ergibt sich somit zu

c = \sin(\gamma) \cdot \frac{a}{\sin(\alpha)} = \sin(60^{\circ}) \cdot \frac{11}{\sin(45^{\circ})} = 13,5.

(c) Das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten kann folgendermaßen aussehen. Beachte, dass die Form deines Dreiecks sich von dem hier gezeigten unterscheiden kann. Es kommt nicht auf die Form an, sondern auf die Angabe der Zahlenwerte an den richtigen Positionen.

Sinussatz Umstellen Aufgabe
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Sinussatz Umstellen Aufgabe 2.

Sinussatz Herleitung

Du kennst jetzt den Sinussatz und kannst diesen auf gesuchte Größen umstellen. In diesem Abschnitt zeigen wir dir, wie du den Sinussatz herleiten kannst.

Kein stumpfer Winkel

Hierzu betrachten wir folgendes Dreieck. Wir haben eine zur Seite b senkrechte Linie eingezeichnet, die durch den Punkt B verläuft. Diese gestrichelt dargestellte Linie wird mit h_b bezeichnet und teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke \Delta \text{ADB} und \Delta \text{DCB} auf.

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Sinussatz Herleitung.

Im Teildreieck \DeltaADB gilt 

\sin(\alpha) = \frac{h_b}{c}

und im Teildreieck \DeltaDCB

\sin(\gamma) = \frac{h_b}{a}.

Entscheidend für die Herleitung ist die Beobachtung, dass sowohl für \sin(\alpha) als auch für \sin(\gamma) die gestrichelte Linie h_b die Gegenkathete ist. Dividieren wir nun die erste Gleichung durch die zweite Gleichung, erhalten wir

\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \frac{\frac{h_b}{c}}{\frac{h_b}{a}}

und nach Kürzen des gemeinsamen Faktors h_b 

\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \frac{a}{c}.

Stellen wir diese letzte Gleichung noch etwas um, so bekommen wir

\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}.

Das ist gerade ein Teil des Sinussatzes. Auf ähnliche Weise kannst du die Höhen h_a (die zur Seite a senkrechte Linie durch den Punkt A) und h_c (die zur Seite c senkrechte Linie durch den Punkt C) einzeichnen. Auch diese beiden konstruierten Linien werden jeweils das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke unterteilen. Analog zur vorhin gezeigten Berechnung erhalten wir die Gleichungen

\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} für die Höhe h_a und

\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} für die Höhe h_c.

Insgesamt erhalten wir also folgendes Resultat

\frac{a}{\sin(\alpha)} =  \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)},

was gerade der Sinus Satz ist.

Hinweis: Wir haben hier den Sinus Satz unter der Annahme hergeleitet, dass keiner der drei Winkel ein stumpfer Winkel ist. Der Sinus Satz gilt aber auch, wenn ein Winkel größer als 90° ist. Die Herleitung dafür ist zwar ein wenig komplizierter, verläuft aber sehr ähnlich. Für diesen Fall findet der interessierte Leser die Herleitung für den Sinussatz im nächsten Abschnitt.

Ergänzung: Sinussatz herleiten (stumpfer Winkel)

Wir haben dir gezeigt, wie du den Sinussatz herleiten kannst, wenn kein stumpfer Winkel vorhanden ist. In diesem Abschnitt zeigen wir dir, wie du den Sinus Satz herleiten kannst, auch wenn einer der drei Winkel größer als 90° ist.

Analog zu oben, kannst du die Höhe h_b einzeichnen und das Verhältnis

\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}

bestimmen. Für die anderen Verhältnisse benötigst du jedoch eine Hilfskonstruktion. Hierzu betrachten wir das folgende Dreieck. Die Problematik kommt dadurch zustande, dass der Winkel \beta größer ist als 90°. Daher lässt sich keine zur Strecke a senkrechte Linie einzeichnen, welche das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke teilt. Stattdessen musst du das Dreieck geschickt fortsetzen, um eine neue gemeinsame Gegenkathete h' (Höhe) für die Berechnung zu finden.

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Sinussatz Herleitung mit stumpfen Winkel.

Für das Teildreieck \Delta \text{ABD} gilt

\sin(\beta') = \frac{h'}{c}.

und für das Teildreieck \Delta \text{ACD}

\sin(\gamma) = \frac{h'}{b}.

Wir haben im Wesentlichen die gleiche Situation wie in der Herleitung von oben. Leider steht in der ersten Gleichung \sin(\beta') und nicht \sin(\beta). Zwischen den Winkeln \beta und \beta' herrscht aber die Beziehung

\beta + \beta' = 180°

oder umgestellt auf \beta'

\beta' = 180^{\circ} - \beta.

Weiterhin hat die Sinusfunktion folgende Eigenschaften

\sin(-x) = -\sin(x)

und

\sin(x - \pi) = -\sin(x).

Somit gilt

\sin(\beta') = \sin(180^{\circ} - \beta) = \sin(-(\beta - 180^{\circ}))

= -\sin(\beta - 180^{\circ}) = -(-\sin(\beta)) = \sin(\beta).

Wir haben also die zwei Gleichungen

\sin(\beta') = \sin(\beta) = \frac{h'}{c} und

\sin(\gamma) = \frac{h'}{b}.

Ähnlich zur oberen Herleitung dividieren wir diese beiden Gleichungen, kürzen und stellen etwas um. Wir bekommen dann

\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)},

was gerade ein Teil vom Sinussatz ist. Die gleiche Hilfskonstruktion kannst du nun auch auf der anderen Seite des Dreiecks machen, sodass du eine zu c senrechte Linie einzeichnen kannst. Du bekommst dann eine Gleichung für die Winkel \alpha und \beta. Insgesamt erhalten wir dann

\frac{a}{\sin(\alpha)} =  \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)},

was gerade der Sinus Satz ist. 


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