Analysis

Winkelfunktionen

In diesem Beitrag zeigen wir dir die Formeln der Winkelfunktionen, wie du die Winkelfunktionen am Einheitskreis für alle Winkel definierst und geben dir eine Tabelle mit wichtigen Werten.

Du möchtest dich zurücklehnen und das Thema in kurzer Zeit verstehen? Wunderbar! Dann schau unser Video%verlinken an.

Inhaltsübersicht

Winkelfunktionen einfach erklärt

Die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens (abgekürzt sin, cos, tan und cot) sind für einen gegebenen Winkel eine Zahl: Das Verhältnis zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Jede Winkelfunktion kann dir dabei helfen, fehlende Seiten oder Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zu bestimmen. 

Mit einem geometrischen Trick kannst du die Definition vom rechtwinkligen Dreieck auf dem Einheitskreis erweitern. Die Winkelfunktionen geben dann die Koordinaten von bestimmen Punkten wieder. Dadurch kannst du für jede Winkelfunktion deren periodischen Kurven konstruieren.

Kleiner Hinweis: In diesem Beitrag geht es um die geometrische Definition. Möchtest du mehr über die analytische Seite dieses Themas erfahren, dann schau bei unserem Beitrag zu den Trigonometrischen Funktionen vorbei.

Rechtwinkliges Dreieck

Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck vor, bei dem einer der Winkel, der nicht gerade 90° ist, mit \alpha bezeichnet wird. 

Definition: Gegenkathete/Ankathete/Hypotenuse

Die Seite a, die dem Winkel \alpha gegenüberliegt, heißt Gegenkathete. Die an diesen Winkel anliegende Seite b wird Ankathete genannt und die letzte Seite c, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, bekommt den Namen Hypotenuse

Hinweis:  Interessierst du dich nicht für den Winkel \alpha , sondern für den Winkel \beta, dann ist die Seite c die Hypotenuse, die Seite a die Ankathete, und die Seite b die Gegenkathete. 

Rechtwinkliges Dreieck, Ankathete, Hypotenuse, Gegenkathete,
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Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck: Beschriftung der Seiten und Winkel.

 

Winkelfunktionen Formeln

In diesem Abschnitt zeigen wir dir die Formeln für die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens und geben dir für jede Formel ein kurzes Beispiel. 

Winkelfunktion Sinus

Die erste Winkelfunktion, die wir uns anschauen, ist der Sinus. Der Sinus ist das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse, also

\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}.

Sinus Formel

Der Sinus eines Winkels \alpha ist definiert als

\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}.

Beispiel

Nehmen wir an, dass die Gegenkathete die Länge 4 und die Hypotenuse die Länge 13 besitzt. Wie groß ist dann der Winkel \alpha? Nach der Formel für die Winkelfunktion Sinus gilt

\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{4}{13}.

Wenden wir auf beiden Seiten die Umkehrfunktion an, so erhalten wir für den gesuchten Winkel

\alpha = \sin^{-1}(\frac{4}{13}) = 17,92^{\circ}.

Hinweis: Wir haben hier zur besseren Übersicht für die Seiten keine Einheiten verwendet. Für den Ablauf der Rechnung spielen die Einheiten keine Rolle, solange du für alle Seiten dieselbe Längeneinheit (mm, cm, m und so weiter) verwendest.

Mehr über den Sinus erfährst du zu unserem extra Beitrag dazu.

Winkelfunktion Cosinus

Die nächste Winkelfunktion ist der Cosinus. Der Cosinus ist das Verhältnis zwischen Ankathete und Hypotenuse, also

\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}.

Cosinus Formel

Der Cosinus des Winkels \alpha ist definiert als

\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}.

Beispiel

Der Winkel \alpha sei gleich 60° und die Ankathete sei 6. Wie lang ist die Hypotenuse? Nach der Formel für die Winkelfunktion Cosinus gilt

\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}.

Formen wir diese Gleichung auf die gesuchte Seite c um, so erhalten wir

c = \frac{b}{\cos(\alpha)} = \frac{6}{\cos(60^{\circ})} = 12.

Wenn du mehr vorgerechnete Aufgaben zum Cosinus sehen möchtest, dann schau dir unseren Beitrag dazu an!

Winkelfunktion Tangens

Als nächste Winkelfunktion schauen wir uns den Tangens an. Der Tangens ist das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete, also

\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.

Tangens Formel

Der Tangens eines Winkels \alpha ist definiert als

\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}.

Erweiterst du den Zähler und Nenner um die Hypotenuse c, so bekommst du das Ergebnis

\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}{\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}.

Wir können also folgendes festhalten

Merke: Sinus Cosinus Tangens

Der Tangens eines Winkels ist gerade der Quotient aus Sinus und Cosinus desselben Winkels.

Beispiel

Lass uns annehmen, dass der Winkel \alpha gleich 45° ist und die Gegenkathete die Länge 7 besitzt. Wie lang ist dann die Ankathete? Nach der Formel für die Winkelfunktion Tangens gilt

\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}.

Formen wir diese Gleichung auf die gesuchte Seite b um, so erhalten wir

b = \frac{a}{\tan(\alpha)} = \frac{7}{\tan(45^{\circ})} = 7.

Weitere Beispiele zum Tangens findest du in unserem extra Beitrag dazu.

Winkelfunktion Cotangens

Die letzte Winkelfunktion, die wir uns anschauen, ist der Cotangens. Der Cotangens ist der Kehrwert des Tangens und damit das Verhältnis zwischen Ankathete und Gegenkathete, also

\frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}.

Cotangens Formel

Der Cotangens eines Winkels \alpha ist definiert als

\cot(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{b}{a}.

Der Cotangens ist gerade der Kehrwert des Tangens, das heißt es gilt

\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}

Der Tangens selber ist aber der Quotient aus Sinus und Cosinus. Demnach ergibt sich für den Cotangens auch die Beziehung

\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}.

Wir können daher folgendes festhalten

Merke: Sinus Cosinus Tangens und Cotangens

Der Cotangens eines Winkels ist gerade der Quotient aus Cosinus und Sinus oder der Kehrwert des Tangens.

Hinweis: So wie der Kehrwert des Tangens einen eigenen Namen bekommt, so gibt es auch für die Kehrwerte des Sinus und Cosinus eigene Bezeichnungen, nämlich den Cosekans und den Sekans.

Beispiel

Für ein kurzes Zahlenbeispiel nehmen wir an, dass der Winkel \alpha gleich 30° ist und die Gegenkathete soll die Länge 8 besitzen. Wie lang ist dann die Ankathete? Nach der Formel für die Winkelfunktion Cotangens gilt

\cot(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{b}{a}.

Formen wir diese Gleichung auf die gesuchte Seite b um, so erhalten wir

b = a \cdot \cot(\alpha) = 8 \cdot \cot(30^{\circ}) = 8 \sqrt{3}.

Hinweis: Auf den meisten Taschenrechnern ist keine eigene Taste für den Cotangens vorhanden. Wenn du also diese Winkelfunktion für einen Winkel berechnen möchtest, musst du diese als den Kehrwert des Tangens bestimmen. Möchtest du mehr Gelegenheit zum Üben mit dem Cotangens erhalten, dann schaue dir auf jeden Fall unseren Beitrag dazu an.

Sinus Cosinus und Tangens für alle Winkel

Die Definitionen der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck sind auf die Winkel von 0° bis 90° beschränkt. In diesem Abschnitt erweitern wir die Winkelfunktionen Sinus Cosinus und Tangens auf alle Winkel.

Sinus und Cosinus

Wir können die x– und y-Koordinate eines Punktes P auf dem Einheitskreis geometrisch folgendermaßen bestimmen: Wir zeichnen ein rechtwinkliges Dreieck, sodass der Punkt eine Ecke des Dreiecks und der Abstand zum Ursprung die Hypotenuse ist. Die Länge der Hypotenuse kennen wir. Sie beträgt genau 1, da alle Punkte auf dem Kreis per Definition den Abstand 1 zum Ursprung haben. Bilden wir das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse, so erhalten wir

\sin(\alpha) = \frac{y}{1} = y

und für das Verhältnis Ankathete zu Hypotenuse

\cos(\alpha) = \frac{x}{1} = x

Das heißt, dass der Sinus gerade die y-Koordinate und der Cosinus die x-Koordinate des Punktes P ist. Zum Beispiel ist der Sinus des Winkels 180° gerade Null, da die y-Koordinate dieses Punktes Null ist. Der Cosinus zu diesem Winkel wäre -1, da die x-Koordinate dieses Punktes -1 ist.

Sinus am Einheitskreis, Cosinus am Einheitskreis
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Winkelfunktionen Sinus und Cosinus am Einheitskreis.

Wenden wir auf diesen Punkt den Satz des Pythagoras an, so erhalten wir

x^2 + y^2 = 1.

Nutzen wir jetzt die Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Sinus und Cosinus und den Koordinaten des Punktes, so ergibt sich

x^2 + y^2 = (\cos(\alpha))^2 + (\sin(\alpha))^2 = 1.

Trigonometrischer Pythagoras

Für einen beliebigen Winkel \alpha gilt 

\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1.

Tangens

Für den Tangens müssen wir das Dreieck im Einheitskreis solange skalieren, bis die Ankathete zum Winkel \alpha gleich 1 ist (die Winkel im Dreieck bleiben unverändert). Der Punkt P mit den Koordinaten (x, y) wird dabei zum Punkt P' mit den Koordinaten (x', y'). Bilden wir für dieses skalierte Dreieck das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete, so erhalten wir

\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{y'}{1} = y'.

Das heißt, dass der Tangens gerade die y-Koordinate des Punktes P' ist. Beachte, wie die Gegenkathete beim skalierten Dreieck gerade tangential zum Einheitskreis ist. Daher kommt auch die Bezeichnung Tangens. Das folgende Bild illustriert die beschriebene Konstruktion, wobei das skalierte Dreieck nicht schraffiert dargestellt ist.

Tangens am Einheitskreis, Winkelfunktionen, Einheitskreis
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Winkelfunktion Tangens am Einheitskreis.

Hinweis: Das Vorzeichen von \tan(\alpha) ist positiv, wenn die Koordinaten x' und y' des Punktes P' entweder beide positiv oder beide negativ sind. Ansonsten ist \tan(\alpha) negativ. Das heißt, im ersten und dritten Quadranten besitzt der Tangens positive Werte, im zweiten und vierten Quadranten hingegen negative Werte.

Winkelfunktionen Tabelle

Im Folgenden zeigen wir dir eine Tabelle für verschiedene Werte der Winkelfunktionen Sinus Cosinus und Tangens. Zusätzlich haben wir auch den Cotangens aufgenommen.

Winkel \alpha \sin(\alpha) \cos(\alpha) \tan(\alpha) \cot(\alpha)
0 1 0 n. d.
30° \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}
45° \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 1
60° \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}
90° 1 0 n. d.  0
180° 0 -1 0 n. d.
270° -1 0 n. d.  0

Die Bezeichnung „n. d.“ ist die Abkürzung für „nicht definiert“, da sich für diese Winkel die Tangenskurve beziehungsweise die Cotangenskurve einer senkrechten Asymptote nähert.

Winkelfunktionen berechnen

Bei der Berechnung der Werte für die Winkelfunktionen musst du unbedingt darauf achten, ob die Winkel im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben sind. Im Fall der Tabelle von vorhin waren die Winkel alle im Gradmaß angegeben. Entsprechend musst du auch deinen Taschenrechner auf „DEG“ einstellen, wenn du die Werte nachrechnen möchtest.

Die Umrechnung zwischen Gradmaß und Bogenmaß basiert auf folgender Beziehung

1 \pi = 180°.

Wenn du beispielsweise wissen möchtest, wie ein Winkel von x° in Bogenmaß lautet, dann rechnest du

x =\frac{x^{\circ}}{180^{\circ}} \cdot \pi.

Auf deinem Taschenrechner findest du das Bogenmaß unter der Abkürzung „RAD“.

Wichtige Begriffe der Trigonometrie

Neben den hier genannten Winkelfunktionen Sinus , Cosinus und  Tangens, sowie dem trigonometrischen Pythagoras, gibt es weitere wichtige Begriffe und Formeln in der Trigonometrie:

Zu jedem dieser Themen haben wir einen eigenen Beitrag für dich vorbereitet, schau ihn dir unbedingt an!

Aufgaben: Winkelfunktionen Sinus Cosinus und Tangens

Schauen wir uns zwei kleine Aufgaben zum Thema Winkelfunktionen an. Insbesondere zum Sinus Cosinus und Tangens.

Aufgabe 1: Winkelfunktionen berechnen

Das folgende Dreieck ist gegeben

Winkelfunktionen Aufgabe
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Rechtwinkliges Dreieck für Aufgabe 1.

(a) Bestimme die fehlenden Winkel \alpha und \beta.

(b) Berechne die fehlende Seite c unter Verwendung einer der Winkelfunktionen.

Lösung Aufgabe 1

(a) Es gilt

\tan(\alpha) = \frac{5}{7}.

Umgeformt nach \alpha erhalten wir

\alpha = \tan^{-1}(\frac{5}{7}) = 35,54^{\circ}.

In einem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich 180°. Folglich gilt

\alpha + \beta + 90^{\circ} = 180^{\circ}.

Das stellen wir nach \beta um und bekommen

\beta = 180^{\circ} - (\alpha + 90^{\circ}) = 54,46^{\circ}.

(b) Mit

\cos(\alpha) = \frac{b}{c}

folgt nach umstellen auf c

c = \frac{b}{\cos(\alpha)} = 8,6.

Aufgabe 2: Winkelfunktionen berechnen

Das folgende Dreieck ist gegeben

Winkelfunktionen Aufgabe
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Rechtwinkliges Dreieck für Aufgabe 2.

(a) Bestimme die fehlenden Seiten b und c.

(b) Berechne den fehlenden Winkel \beta.

Lösung Aufgabe 2

(a) Es gilt

\sin(\alpha) = \frac{a}{c}.

Stellen wir diese Gleichung auf c um, so erhalten wir

c = \frac{a}{\sin(\alpha)} = 6.

Mit

\tan(\alpha) = \frac{a}{b}

bekommen wir nach umstellen auf b

b = \frac{a}{\tan(\alpha)} = 3 \sqrt{3}.

(b) In einem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich 180°. Folglich gilt

\alpha + \beta + 90^{\circ} = 180^{\circ}.

Das stellen wir auf \beta um und bekommen

\beta = 180^{\circ} - (\alpha + 90^{\circ}) = 60^{\circ}.

Hinweis: Hier könntest du alternativ auch die Gleichung \cos(\beta) = \frac{a}{c} verwenden und dann auf den Winkel \beta umstellen. 


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