Mathe für Ingenieure

Anfangswertproblem

Du möchtest wissen, was es mit dem Anfangswertproblem auf sich hat, wann es eintritt und wie es sich lösen lässt? In diesem Beitrag erklären wir es dir.

Lösen einer Differentialgleichung mithilfe der e-Funktion

Wenn du eine Differentialgleichung löst, erhältst du zunächst eine allgemeine Lösung. Nehmen wir an, wir haben die folgende Differentialgleichung gegeben:

y=y^\prime

Diese Gleichung wird gelöst durch die Exponentialfunktion, denn hier ist die Funktion genau gleich, wie ihre Ableitung:

y\left(x\right)=e^x
y'\left(x\right)=e^x

Also löst die e-Funktion die Differentialgleichung. Aber ist das die einzige Lösung?

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Lösen einer DGL mithilfe der Exponentialfunktion

Wenn man den Lösungsansatz

y\left(x\right)=3e^x

wählt, ergibt sich die Ableitung:

y'\left(x\right) = 3e^x

Das neue y löst die Differentialgleichung ebenso. Du kannst die e-Funktion sogar mit einer beliebigen Konstante multiplizieren

y\left(x\right)=Ce^x

und erhältst unendlich viele Lösungen beziehungsweise die allgemeine Lösung.

Bestimmen eines Anfangswerts

Um jetzt die eindeutige Lösung bestimmen zu können, benötigst du noch einen Anfangswert. Der könnte

y\left(0\right)=1

sein. Anfangswert bedeutet, dass man den Anfangszustand kennt. Es gibt viele Differentialgleichungen in Zeit, bei denen die Beschreibung eines Phänomens ab dem Zeitpunkt Null läuft.

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Anfangswertproblem

Wir setzen zunächst in die allgemeine Lösung ein

y\left(0\right)=Ce^0

Wie du weißt ist e^0=1 somit ergibt sich:

y\left(0\right)=Ce^0=C

Dann setzen wir dies mit dem Anfangswert gleich.

y\left(0\right)=Ce^0=C=1

Aufgelöst nach C

C=1

ergibt sich C ist gleich Eins.

Grafische Veranschaulichung und Eindeutige Lösung

Schauen wir uns am besten ein paar Lösungskurven an. Dann zeichnen wir den Anfangswert ein: x = 0 und y = 1. Nun wissen wir, dass die Lösungskurve, die durch unseren Anfangswert geht, unsere eindeutige Lösung ist.

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Grafische Ermittlung der eindeutigen Lösung

Wenn du eine Differentialgleichung höherer Ordnung löst, brauchst du entsprechend viele Anfangswerte. Eine DGL n-ter Ordnung bedarf n Anfangswerte.

f\left(x,y,y^\prime,\ldots,y^{\left(n\right)}\right)=0
y\left(0\right)=C_0
y^\prime\left(0\right)=C_1
\vdots
y^{(n-1)}\left(0\right)=C_{n-1}

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Eine DGL n-ter Ordnung bedarf n Anfangswerte

Eine Differentialgleichung zusammen mit ihren Anfangsbedingungen heißt Anfangswertproblem.

Super. Jetzt kennst du dich mit Anfangswertproblemen aus, weißt, was sie grafisch bedeuten und wie viele Anfangsbedingungen du bei Differentialgleichungen höherer Ordnung benötigst.

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