Elektrotechnik Grundlagen

Cramersche Regel

Du hast ein Gleichungssystem vorliegen und weißt nicht wie du es lösen sollst? Wir zeigen dir ein paar Tricks, mit denen das bald kein Problem mehr für dich ist.

Gleichungssysteme in der Schaltungsanalyse

Wenn wir elektronische Schaltungen mit dem Maschenstrom- oder Knotenpunktpotentialverfahren analysieren, landen wir am Ende immer bei Gleichungssystemen aus n linearen Gleichungen mit n Unbekannten. Jedes System aus linearen Gleichungen lässt sich auch als Matrixgleichung schreiben. Das sieht allgemein so aus:

Cramersche Regel
Allgemeine Matrixgleichung für Gleichungssysteme

Anwendung der Cramerschen Regel

Möglichkeit zur Berechnung von Gleichungssystemen ist die Cramersche Regel. Hierbei handelt es sich um ein systematisches Verfahren, das mit Determinanten arbeitet. Die zweite Möglichkeit ist das Gaußsche Eliminationsverfahren.

Um ein Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel zu lösen, musst du zuerst die Determinanten der Matrix bestimmen. In den Gleichungssystemen der Maschenstrom- und Knotenpunkt-potentialverfahren haben wir eine 3×3 Matrix. Diese lässt sich mit der so genannten Regel von Sarrus, oder auch Zaunregel, berechnen.

Cramersche Regel
Regel von Sarrus

Regel von Sarrus

Am leichtesten geht das, wenn du die gleiche Matrix einfach noch mal daneben schreibst. Dann multiplizierst du alle Werte, die diagonal zueinander stehen. Die drei Terme, bei denen du oben startest, sind immer positiv. Die Terme, bei denen du unten startest, sind immer negativ. So kannst du die Determinanten ganz leicht berechnen.

Die Determinanten, die du mit der Regel von Sarrus ermittelt hast, musst du dann in die Gleichung der Cramerschen Regel einsetzen. Diese Gleichung lautet:

Cramersche Regel
Diagonale Multiplikation

Wie wir die Determinante A berechnen können haben wir gerade gehört, aber du fragst dich wie wir auf die Determinante Ai kommen? Dafür brauchen wir jetzt wieder unser allgemeines Gleichungssystem. Hier setzt du in die ite Spalte, in diesem Fall die zweite Spalte, der Matrix A den Vektor b ein. So verfährst du mit jeder Spalte deiner 3×3-Matrix, um deine Unbekannten nach und nach zu berechnen.

Cramersche Regel
Berechnung der Determinante Ai

Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel lösen – Beispiel

Schauen wir uns das ganze mal an einem Beispiel an. In unserem Beitrag zum Maschenstromverfahren kamen wir am Ende auf folgendes Gleichungssystem:

Cramersche Regel
Gleichungssystem aus dem Beitrag zum Maschenstromverfahren

Gesucht sind die Maschenströme $I_{m1}$, $I_{m2}$, und $I_{m3}$. Alle Wiederstände sind gleich groß und haben den Wert 1 Ohm. Die Spannungsquelle $U_{q0}$ hat 5 Volt und die Quelle $U_{q0}$ liefert 20 Volt. Wenn wir die Werte einsetzen, sieht unser Gleichungssystem so aus:

Cramersche Regel
Einsetzen der Werte

Um leichter weiterechnen zu können, vernachlässigen wir im Folgenden die Einheiten.

Zuerst bestimmen wir die Determinante der Matrix A mit der Sarrus Regel. Dann kommen wir auf 16.

Cramersche Regel
Berechnung der Determinante A

Im nächsten Schritt bilden wir die Matrix A1, indem wir die erste Spalte der Matrix A durch den Vektor hinter dem Ist-Gleich ersetzen. Das sieht dann so aus.  Dann können wir mit Hilfe der Sarrus Regel auch die Determinante A1 berechnen und kommen auf 60.

Cramersche Regel
Berechnung der Determinante A1

Die Matrix A2 erhältst du, indem du die zweite Spalte von A ersetzt. Hier kommen wir dann auf -100.

Cramersche Regel
Berechnung der Determinante A2

Die Determinante von Matrix A3 ist -40.

Cramersche Regel
Berechnung der Determinante A3

Jetzt hast du alle Zahlen, die du brauchst um mit der Cramerschen Regel deine Maschenströme zu berechnen:

Cramersche Regel
Berechnung der Maschenströme

$I_{m1}$ ist gleich die Determinante A1 durch die Determinante A ist gleich 3,75. $I_{m2}$ berechnet sich zu -6,25 und $I_{m3}$ ist -2.5. Da die anfangs in die Matrix eingesetzten Größen die Einheiten Ohm und Volt hatten, ist der Strom in der Einheit Ampere. Formal richtig wird das ganze also, wenn wir die Einheit Ampere dazuschreiben.

Nun weißt du wie du systematisch mithilfe der Cramerschen Regel ein Gleichungssystem lösen kannst und kannst diese gleich in der nächsten Schaltungsanalyse verwenden. Viel Erfolg!

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