Höhere Mathematik

Differentialquotient

Inhaltsübersicht

Im Folgenden sollen die Zusammenhänge zwischen Differentialquotient und Differenzenquotient dargelegt und darüber hinaus auch der Begriff der Differenzierbarkeit eingeführt werden. Des Weiteren werden die Ableitungen wichtiger Funktionen bestimmt und die wichtigsten Ableitungsregeln mithilfe des Differentialquotienten hergeleitet.

In unserem Video haben wir für dich das Wichtigste rund um das Thema Differentialquotient in weniger als 5 Minuten zusammengefasst.

Differenzenquotient und Differentialquotient

Der Differentialquotient (auch Differenzialquotient) gibt die lokale Änderungsrate einer Funktion an einer betrachteten Stelle an. Der Differenzenquotient hingegen gibt die mittlere Änderungsrate der Funktion über ein betrachtetes Intervall an. Der Differentialquotient ist also der Grenzwert des Differenzenquotienten für ein immer kleiner werdendes Intervall.

Für viele Anwendungen innerhalb der Mathematik und in der Praxis ist es wichtig, das Änderungsverhalten einer Funktion zu beschreiben. Im Folgenden soll dabei immer von einer reellwertigen Funktion einer Variablen die Rede sein.

f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}

Um das Änderungsverhalten der Funktion um eine betrachtete Stelle  zu beschreiben, wird die Differenz des Funktionswertes an dieser Stelle und des Werts an einer variablen Stelle untersucht:

f\left(x\right)-f\left(x_0\right)

Diese Differenz wird allerdings erst dann wirklich aussagekräftig, wenn in Betracht gezogen wird, wie groß der Abstand  zwischen den beiden betrachteten Stellen ist. Dadurch ergibt sich der Differenzenquotient im Intervall \left[x_0;x\right]:

\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}     Differenzenquotient

Mittlere Änderungsrate und Sekantensteigung

Der Differenzenquotient lässt sich als mittlere Änderungsrate der Funktion f auf dem Intervall \left[x_0;x\right]interpretieren. Beschreibt die Funktion beispielsweise eine zurückgelegte Wegstrecke f\left(x\right) in Abhängigkeit der Zeit x, so stellt der Differenzenquotient die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten x_0 und x dar.

Der Differenzenquotient kann allerdings auch geometrisch interpretiert werden. Wird durch die beiden Punkte P\left(x_0\mid f\left(x_0\right)\right) und Q\left(x\mid f\left(x\right)\right) auf dem Graphen von f eine Gerade gelegt, so entspricht der Differenzenquotient der Steigung dieser Geraden. Da die Gerade eine Sekante durch den Funktionsgraphen darstellt, kann der Differenzenquotient also auch als Sekantensteigung interpretiert werden.

In den meisten Fällen ist allerdings nicht das Änderungsverhalten der Funktion auf einem Intervall von Interesse, sondern vielmehr das lokale Änderungsverhalten an der Stelle x_0. Aus dem Differenzenquotienten ergibt sich dies durch Annäherung der Stelle x an die Stelle x_0 und der damit verbundenen Verkleinerung des betrachteten Intervalls.

Lokale Änderungsrate und Tangentensteigung

Der Differentialquotient f^\prime\left(x_0\right) an der Stelle x_0 ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für x \longrightarrow x_0:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}     Differentialquotient

Er wird auch als Ableitung  bezeichnet und beschreibt also die lokale Änderungsrate (bzw. momentane Änderungsrate) der Funktion an der Stelle x_0. Für eine Funktion, die eine zurückgelegte Wegstrecke f \left(x \right) in Abhängigkeit der Zeit x beschreibt, gibt der Differentialquotient die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt x_0 an. Dies geht einher mit der Vorstellung des Grenzübergangs des Differenzenquotienten. Der Differenzenquotient gibt nämlich die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem betrachteten Intervall an und der Grenzübergang bedeutet nichts anderes als dass dieses Intervall immer weiter verkleinert wird.

Differentialquotient: Sekantensteigung

Ebenso lässt sich der Grenzübergang grafisch veranschaulichen. Dabei wandert der Punkt Q\left(x\mid f\left(x\right)\right) auf dem Funktionsgraphen immer weiter in Richtung des Punktes P\left(x_0\mid f\left(x_0\right)\right) und schließlich gleicht die Sekante durch diese beiden Punkte immer mehr der Tangente am Punkt P\left(x_0\mid f\left(x_0\right)\right).

Differentialquotient: Grenzwert des Differenzenquotients

Der Differentialquotient \mathbit{f}^\prime\left(\mathbit{x}_\mathbf{0}\right) an der Stelle x_0 gibt die Tangentensteigung an dieser Stelle an.

Bezeichnung Formel Bedeutung Geometrische Bedeutung
Differenzenquotient \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} mittlere

Änderungsrate

Sekantensteigung
Differentialquotient \lim\limits_{x\rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}} lokale bzw. momentane

Änderungsrate

Tangentensteigung

Differentialquotient: Definition und Differenzierbarkeit

Eng in Verbindung mit dem Differentialquotienten steht der Begriff der Differenzierbarkeit.

Sei D\subset\mathbb{R} ein offenes Intervall und f:D\longrightarrow\mathbb{R} eine Funktion. Diese Funktion f heißt an der Stelle x_0\in\ D differenzierbar, falls der Grenzwert

f^\prime\left(x_0\right):=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}

existiert. Dieser Grenzwert entspricht ja gerade dem Differentialquotienten von f an der Stelle x_0 und wird wie bereits erwähnt auch als Ableitung von f an der Stelle x_0 bezeichnet. Sei f auf der Menge V \in \mathbb{R} differenzierbar, so heißt die Funktion

f^\prime:\ V\longrightarrow\mathbb{R}

x\longmapsto\ f^\prime\left(x\right)

Ableitungsfunktion von f.

Für diese Funktion f^\prime lässt sich nun wieder der Differentialquotient bestimmen. Diesen nennt man dann die zweite Ableitung von f und sie wird häufig mit f^{\prime\prime} abgekürzt.

Differentialquotient berechnen

Den Differentialquotienten zu einer gegebenen Funktion zu berechnen bedeutet die Ableitung dieser Funktion zu bestimmen. Man sagt die Funktion wird abgeleitet.

h-Methode

Für die explizite Berechnung der Ableitung ist die eben eingeführte Formulierung des Differentialquotienten meistens unvorteilhaft.

Wird allerdings in der Formulierung f^\prime\left(x_0\right):=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}} des Differentialquotienten x durch x_0 + h ersetzt, so wird der Grenzübergang x \longrightarrow x_0 zu h \longrightarrow 0 und es ergibt sich folgende Formulierung des Differentialquotienten:

f^\prime\left(x_0\right):=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0 + h\right)-f\left(x_0\right)}{h}}

Auf diese Weise ist die explizite Berechnung meistens deutlich einfacher als mit der ursprünglichen Formulierung. Man spricht dabei von der h-Methode.

Differentialquotient Beispiel: Ableitung der wichtigsten Funktionen

Im Folgenden soll, anhand einiger Beispielaufgaben zum Differentialquotienten, die explizite Berechnung des Differentialquotienten mit der h-Methode demonstriert werden.

Quadratische Funktion

Zunächst soll die quadratische Funktion betrachtet werden, für welche der Differentialquotient noch recht einfach zu berechnen ist.

f\left(x\right)=x^2

Zunächst wird die Funktion in die Definition des Differentialquotienten eingesetzt:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\left(x_0+h\right)^2-x_0^2}{h}}

Dieser Ausdruck lässt sich durch elementare Umformungen vereinfachen:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2}{h}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{2x_0h+h^2}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\left[2x_0+h\right]}}

Dieser Grenzwert ist leicht zu bestimmen und es ergibt sich für den Differentialquotienten der quadratischen Funktion f\left(x\right)=x^2 der folgende Ausdruck:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{2x_0+h}=2x_0

Potenzfunktion

Nun soll der Differentialquotient einer allgemeinen Potenzfunktion

f\left(x\right)=x^n

berechnet werden. Hierbei soll n eine beliebige natürliche Zahl sein. Es gilt:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\left(x_0+h\right)^n-x_0^n}{h}}

Mithilfe des binomischen Lehrsatzes lässt sich dieser Ausdruck vereinfachen:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\left(x_0+h\right)^n-x_0^n}{h}}

= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{x_0^n +\binom{n}{1}x_0^{n-1}h +\binom{n}{2}x_0^{n-2}h^2 + ... + \binom{n}{n-2}x_0^2h^{n-2} + \binom{n}{n-1}x_0 \ h^{n-1} + h^n - x_0^n} {h}

=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \left[\binom{n}{1}x_0^{n-1} + \binom{n}{2}x_0^{n-2}h + ... + \binom{n}{n-2}x_0^2 h^{n-3} + \binom{n}{n-1}x_0h^{n-2} + h^{n-1} \right]

Auch dieser Grenzwert lässt sich leicht bestimmen und für die Ableitung der Funktion f\left(x\right)=x^n an der Stelle x_0 gilt:

f^\prime\left(x_0\right) =\binom{n}{1}x_0^{n-1} = n \cdot x_0^{n-1}

Wurzel Funktion

Hier soll die Ableitung der Wurzel-Funktion

f\left(x\right)=\sqrt x

bestimmt werden. Einsetzen in die Definition ergibt:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}}

Der Bruch wird nun geschickt erweitert:

f^\prime\left(x_0\right){=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}}\below{h\rightarrow0}{\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}}\cdot\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}

Anschließend wird der Ausdruck vereinfacht:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}}\cdot\frac{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{x_0+h-x_0}{h\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}

Letztlich lässt sich der Grenzwert wieder recht einfach bestimmen und es gilt für die Ableitung der Wurzelfunktion f\left(x\right)=\sqrt x an der Stelle x_0:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}

Funktion 1/x

Letztendlich soll noch die Ableitung der Funktion

f\left(x\right)=\frac{1}{x}

mittels der h-Methode bestimmt werden. Es gilt:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\frac{1}{x_0+h}-\frac{1}{x_0}}{h}}

Zunächst werden die beiden Brüche im Zähler auf einen gemeinsamen Nenner gebracht:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\frac{1}{x_0+h}-\frac{1}{x_0}}{h}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\frac{x_0}{x_0\cdot\left(x_0+h\right)}-\frac{x_0+h}{x_0\cdot\left(x_0+h\right)}}{h}}

Dann wird der Ausdruck vereinfacht:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\frac{x_0}{x_0\cdot\left(x_0+h\right)}-\frac{x_0+h}{x_0\cdot\left(x_0+h\right)}}{h}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\frac{-h}{x_0\cdot\left(x_0+h\right)}}{h}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{-1}{x_0\cdot\left(x_0+h\right)}}

Letztendlich kann der Grenzwert bestimmt werden und die Ableitung der Funktion f\left(x\right)=\frac{1}{x} an der Stelle x_0 lautet demnach:

f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{-1}{x_0\cdot\left(x_0+h\right)}}=-\frac{1}{x_0^2}

Differentialquotient und Ableitungsregeln

Mithilfe der h-Methode lassen sich Regeln finden, wie verschiedene Verknüpfungen zweier Funktionen allgemein abgeleitet werden können. Mit Hilfe dieser Regeln kann dann die Ableitung einer Funktion auf bereits bekannte Fälle zurückgeführt werden und es muss nicht jedes Mal mühsam der Differentialquotient berechnet werden.

Im Folgenden sollen Funktionen f,g:D\longrightarrow\mathbb{R}, die in x_0 \in D differenzierbar sind, betrachtet werden.

Faktorregel

Für \lambda \in \mathbb{R} ist auch die Funktion \lambda\cdot\ f:D\longrightarrow\mathbb{R} in x_0 differenzierbar und es gilt:

\left(\lambda\cdot f\right)^\prime\left(x_0\right)= \lambda\cdot\ f^\prime(x_0)

Beweis:

\left(\lambda\cdot f\right)^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\lambda\cdot f\left(x_0+h\right)-\lambda\cdot f\left(x_0\right)}{h}}=\lambda\cdot\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}}=\lambda\cdot\ f^\prime(x_0)

Summenregel

Die Funktion f + g: D \longrightarrow \mathbb{R} ist in x_0 differenzierbar und es gilt:

\left(f+g\right)^\prime\left(x_0\right)=f^\prime\left(x_0\right)+g^\prime\left(x_0\right)

Beweis:

\left(f+g\right)^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\left(f+g\right)\left(x_0+h\right)-\left(f+g\right)\left(x_0\right)}{h}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+h\right)+g\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)-g\left(x_0\right)}{h}}

=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}}+\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{g\left(x_0+h\right)-g\left(x_0\right)}{h}}=f^\prime\left(x_0\right)+g^\prime\left(x_0\right)

Produktregel

Auch die Funktion f \cdot g: D \longrightarrow \mathbb{R} ist in x_0 differenzierbar und es gilt:

\left(f\cdot g\right)^\prime\left(x_0\right)=f^\prime\left(x_0\right)\cdot \ g\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)\cdot \ g^\prime\left(x_0\right)

Beweis:

\left(f\cdot g\right)^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\left(f\cdot g\right)\left(x_0+h\right)-\left(f\cdot g\right)\left(x_0\right)}{h}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+h\right)\cdot g\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)\cdot g\left(x_0\right)}{h}}

=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+h\right)\cdot g\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)\cdot g\left(x_0\right)-f\left(x_0+h\right)\cdot g\left(x_0\right)+f\left(x_0+h\right)\cdot g\left(x_0\right)}{h}}

=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+h\right)\cdot \left(g\left(x_0+h\right)-g\left(x_0\right)\right)+g\left(x_0\right)\cdot \left(f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)\right)}{h}}

=\lim \limits_{h\rightarrow0}f\left(x_0+h\right)\cdot{\frac{g\left(x_0+h\right)-g\left(x_0\right)}{h}}+ \lim \limits_{h\rightarrow0}g\left(x_0\right)\cdot \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}

=f\left(x_0\right)\cdot \ g^\prime\left(x_0\right)+g\left(x_0\right)\cdot \ f^\prime\left(x_0\right)

Quotientenregel

Ist g\left(x\right)\neq0 für alle x \in D, dann ist auch die Funktion \frac{f}{g}: D \longrightarrow \mathbb{R} in x_0 differenzierbar und es gilt:

\left(\frac{f}{g}\right)^\prime\left(x_0\right)=\frac{g\left(x_0\right)\cdot f^\prime\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)\cdot g^\prime\left(x_0\right)}{g\left(x_0\right)^2}

Beweis:

Zunächst soll der Spezialfall f=1 betrachtet werden. Der allgemeine Fall folgt dann aus der Produktregel.

\left(\frac{1}{g}\right)^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\frac{1}{g\left(x_0+h\right)}-\frac{1}{g\left(x_0\right)}}{h}}=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{\frac{g\left(x_0\right)-g\left(x_0+h\right)}{g\left(x_0+h\right)g\left(x_0\right)}}{h}}

=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{g\left(x_0\right)-g\left(x_0+h\right)}{h}\frac{1}{g\left(x_0+h\right)g\left(x_0\right)}=\lim\limits_{h\rightarrow0}-\frac{g\left(x_0+h\right)-g\left(x_0\right)}{h}\frac{1}{g\left(x_0+h\right)g\left(x_0\right)}=-\frac{g^\prime\left(x_0\right)}{g\left(x_0\right)^2}

Mit der Produktregel gilt nun:

\left(\frac{f}{g}\right)^\prime\left(x_0\right)=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)^\prime\left(x_0\right)=f^\prime\left(x_0\right)\cdot \frac{1}{g\left(x_0\right)}+f\left(x_0\right)\cdot \left(\frac{1}{g}\right)^\prime\left(x_0\right)

=\frac{f^\prime\left(x_0\right)}{g\left(x_0\right)}-f\left(x_0\right)\cdot \frac{g^\prime\left(x_0\right)}{g\left(x_0\right)^2}=\frac{f^\prime\left(x_0\right)\cdot g\left(x_0\right)}{g\left(x_0\right)^2}-f\left(x_0\right)\cdot \frac{g^\prime\left(x_0\right)}{g\left(x_0\right)^2}=\frac{f^\prime\left(x_0\right)\cdot g\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)\cdot g^\prime\left(x_0\right)}{g\left(x_0\right)^2}


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