Mechanik: Dynamik

Dynamik von starren Körpern

Inhaltsübersicht

Willst du wissen um was es sich bei der Dynamik von starren Körpersystemen dreht? Perfekt, das erklären wir dir nämlich jetzt.

Bewegung von Zusammenhängenden Körpern

Zu Beginn überlegen wir uns was Starrkörpersysteme überhaupt sind: Im Gegensatz zu einem einzelnen Starrkörper, bei dem wir nur einen Körper betrachten, schauen wir uns jetzt die Bewegung von Starrkörpern an, die miteinander durch Gelenke oder Ähnlichem verbunden sind.

Betrachtungsweise der Körper

Dabei betrachten wir jeden Körper separat. Aber wieso? Bisher haben wir in den Videos zur Kinematik des starren Körpers für jeden einzelnen Körper die Bewegungsgleichungen aufgestellt und anschließend die Gelenkkräfte durch die kinematischen Zusammenhänge eliminiert. Das ist bei Starrkörpersystemen relativ umständlich und kostet Zeit. Deshalb suchen wir eine einfache Strategie, um das System schneller zu lösen. Ähnliches haben wir in der Statik gemacht als wir das Prinzip der virtuellen Verrückung verwendet haben: das System wurde virtuell verschoben. So konnte auf die mühsame Elimination verzichtet werden. Das Prinzip lässt sich nun auch auf die Dynamik anwenden. Wir können hier zwei Arten verwenden: Das Prinzip der virtuellen Verrückung oder die Lagrange‘schen Gleichungen.

Zuallererst müssen wir aber jedes System parametrisieren. Doch was heißt das? Wir suchen dabei Größen, die die Bewegung des Systems beschreiben können. Häufig sind dies Schwerpunktkoordinaten oder Winkel. Dabei gilt grundsätzlich, dass wir genauso viele Parameter brauchen, wie es Freiheitsgrade gibt.

Dynamik von Starrrkörpersystemen
Freiheitsgrade

Eine Wippe z.B. hat nur einen Freiheitsgrad und braucht dementsprechend nur einen Winkel als Parameter. Es kann aber auch vorkommen, dass du auf den ersten Blick mehr Parameter findest, als das System Freiheitsgrade hat. Ist das der Fall, wirst du eine Abhängigkeit unter den Parametern finden, sodass du die Parameterzahl auf die Anzahl der Freiheitsgrade reduzieren kannst. So kannst z.B. beim Pendel den Ort des Schwerpunkts und den Winkel, den das Pendel ausschlägt betrachten. Den Ort des Schwerpunkts kannst du aber auch über den Winkel und der Pendellänge beschreiben. Du hast also eine Abhängigkeit. In der Mechanik werden die Parameter allgemein mit q1, q2 und so weiter bezeichnet. Im allgemeinen also qi.

Das Prinzip der virtuellen Verrückung

Die Parameter bilden jetzt die Grundlage der Verfahren. Wir beginnen dabei als erstes mit dem Prinzip der virtuellen Verrückung. Wir bewegen nun das System virtuell, überlegen welche Arbeit verrichtet wurde und setzen diese gleich Null. Allgemein beschreiben wir die Arbeit in der Dynamik durch:

\delta\ W=\int\vec{\phi}\delta\vec{r_p}Dv

Das sieht zwar kompliziert aus, heißt aber lediglich, dass wir alle Kraftgrößen im System betrachten und die gesamte verrichtete Arbeit ermitteln. Da wir jetzt aber die Bewegung bezüglich eines Parameters wissen möchten, schreiben wir die Arbeit um und definieren uns ein Phi i als:

\phi_i=\int{\vec{\phi}\frac{\partial\vec{r_p}}{\partial q_i}\delta q_i}

Damit können wir unsere Arbeit umschreiben

\delta\ W=\int{\vec{\phi}\frac{\partial\vec{r_p}}{\partial q_i}\delta q_i}=\phi_i\delta\ q_i=0

Hierbei haben wir einfach den Weg in Abhängigkeit eines Parameters gesetzt. Phi i beschreibt in diesem Zusammenhang alle Kraftgrößen, die durch eine virtuelle Verrückung des Parameters qi Arbeit verrichten. Dabei gibt es eine Faustregel: ist qi eine Weg-Größe, besteht Phi i aus Kräften; ist qi ein Winkel besteht Phi i aus Momenten. Phi i selbst kann nochmal in 3 Kraftgrößen aufgeteilt werden

Wenn du wissen willst wie und was danach kommt, dann schau dir doch einfach unser Video an.


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