Thermodynamik

Energiebilanz

Du kennst sicherlich schon die Massenbilanz, doch dir fehlt die Energie, dich selbstständig mit dem Thema Enthalpie, innere Energie und Energiebilanz Physik auseinanderzusetzen? Kein Grund zur Sorge, denn wie du eine Energiebilanz aufstellen und die Enthalpie berechnen kannst, zeigen wir dir hier.

Wie kann man eine Energiebilanz in der Physik aufstellen?

Bevor wir mit der Energiebilanz in der Physik loslegen, sehen wir uns noch einmal die allgemeine Form der Bilanz an:

\frac{d\mathrm{\Psi}}{dt}=\ \sum\dot{\mathrm{\Psi}}-\sum{\dot{\sigma}}_\mathrm{\Psi}

Damit erhalten wir analog für die Energie:

\frac{dE}{dt}=\ \sum\dot{E}+\sum{\dot{\sigma}}_E

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Energiebilanz Formel

Zu Beginn führen wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik ein: Die Energie eines Systems ändert sich nur über Zu- und Abfuhr über die Systemgrenzen

Für uns heißt das ganz einfach: Energie kann nicht einfach entstehen und ist somit eine Erhaltungsgröße. Damit ist {\dot{\sigma}}_E gleich null. Diese Regel werden wir noch brauchen, um die innere Energie zu verstehen und die Enthalpie berechnen zu können.

Energiebilanz Physik – Innere Energie und äußere Energie

Zu Beginn wollen wir erst einmal wissen, welche Energieformen wir betrachten. Aus der Mechanik kennst du sicher die äußeren Energien, also die potentielle und die kinetische Energie.

E_{pot}=mgh,\ E_{kin}=m\frac{v^2}{2}

Wie angedeutet, gibt es natürlich nicht nur die äußeren Energien, sondern auch die innere Energie U. Die innere Energie ist die Energie, die jedes Masseteilchen selbst besitzt und die proportional zur Temperatur ist. Die innere Energie wird für uns auch für die Definition der Enthalpie noch von Bedeutung sein. Damit wissen wir, welche Energien es gibt:

E=U+E_{pot}+E_{kin}=U+E_a

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Innere Energie und äußere Energie

Energiebilanz Physik – Energieströme und technische Arbeit

Um die Energiebilanz in der Physik aufstellen zu können, müssen wir noch die Energieströme herausfinden. Als ersten Strom betrachten wir den Wärmestrom \dot{Q}. Dieser ist proportional zur Temperatur. Ist kein Wärmestrom vorhanden, bezeichnen wir das System als adiabat.
Weiterhin für die Energiebilanz relevant sind die Massenströme in der Physik und Thermodynamik: Stell dir vor, du kochst Wasser auf und kippst das in ein Glas mit kaltem Wasser. Dann erwärmt sich das kalte Wasser und nimmt Energie auf. Das heißt, wir können mit Hilfe von Massenströmen die Energie innerhalb des Systems verändern. Als Formel heißt das:

\dot{E}=\dot{m}e

e ist dabei die spezifische Energie in Joule pro Kilogramm.

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Energieströme

Als letztes haben wir noch die technische Arbeit. Um dir einen Überblick zu verschaffen, was das ist, schauen wir uns einen Kolben an. Das Fluid im Inneren hat den Druck p, der auch später für die Enthalpie und für die Frage, wie man Enthalpie berechnen kann, relevant sein wird. Die technische Arbeit ist jetzt die Bewegung des Kolbens, die durch den Druck verursacht wird. Dabei erfährt das Fluid natürlich eine Volumenänderung. Daher ergibt sich die Definition zu:

\left(W_{12}\right)_t=-\int p d V

Da das Ganze natürlich über einen gewissen Zeitraum abläuft, leiten wir es noch zeitlich ab. So erhalten wir die Leistung \dot{(W_{12}\right)_t}. Damit haben wir erst einmal alle Ströme gefunden:

\dot{E}=\dot{m}e+\dot{Q}+\dot{(W_{12}\right)_t}=\dot{m}e+\dot{Q}+P_t

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Technische Arbeit in der Energiebilanz Physik

Energiebilanz Physik – Verschiebearbeit

Als nächstes führen wir die sogenannte Verschiebearbeit ein. Dafür betrachten wir einen Luftballon. Wenn du diesen aufbläst, kommt irgendwann der Punkt, an dem du gegen den Druck im Inneren arbeitest. Das heißt, du steckst mehr Arbeit in das System. Mit einem konstanten Druck und definiertem Volumen \Delta V, das wir hineinstecken wollen, ergibt sich aus der technischen Arbeit:

\int p d V=p\Delta V

Das wollen wir jetzt natürlich als Strom und bezogen auf die Masse erhalten. Es ergibt sich mit:

p\Delta V=pv\Delta m → p\dot{V}=pv\dot{m}

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Verschiebearbeit in der Energiebilanz Physik

Enthalpie und innere Energie

Das heißt, mit der Masse können wir äußere Energie, innere Energie und Verschiebearbeit hinzufügen. Um das etwas zu vereinfachen, definieren wir uns jetzt die Enthalpie H mit:

H=U+pV

Am besten merkst du dir die Enthalpie als „hineingepresste innere Energie“.

Mit der Enthalpie können wir jetzt die gesamte physikalische Energiebilanz aufstellen und ziehen \dot{m} soweit es geht heraus:

\frac{d\left(U+E_a\right)}{dt}=\ \sum{\dot{m}\left(h+e_a\right)}+\sum\dot{Q}+\sum P_t

Die Änderung der äußeren Energien können wir in der Regel vernachlässigen, da sich das System meistens nicht bewegt, also die Höhe nicht verändert und auch keine Geschwindigkeit hat und wir uns somit voll und ganz auf die innere Energie und die Enthalpie konzentrieren können.

\frac{dU}{dt}=\ \sum{\dot{m}h}+\sum\dot{Q}+\sum P_t

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Enthalpie in der Energiebilanz Physik

Enthalpie berechnen für das ideale Gas und die ideale Flüssigkeit

Zum Ende führen wir noch die kalorischen Zustandsgleichungen ein. Diese helfen uns, für das ideale Gas und die ideale Flüssigkeit die innere Energie bzw. die Enthalpie berechnen zu können. Die Herleitung ist in diesem Fall nicht so wichtig. Deshalb zeigen wir dir direkt die Formeln für die Enthalpie und die innere Energie in Bezug auf das ideale Gas und die ideale Flüssigkeit:

Für die ideale Flüssigkeit erhalten wir:

u^{if}\left(T\right)-u^{if}\left(T_0\right)=c_v^{if}\left(T-T_0\right)

und

h^{if}\left(T,p\right)-h^{if}\left(T_0,p_0\right)=c_p^{if}\left(T-T_0\right)+v^{if}\left(p-p_0\right)

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Enthalpie berechnen für die ideale Flüssigkeit

Und für das ideale Gas:

u^{ig}\left(T\right)-u^{ig}\left(T_0\right)=\int_{T_0}^{T}{c_v^{ig}dT}=c_v^{ig}\left(T-T_0\right)

und

h^{ig}\left(T\right)-h^{ig}\left(T_0\right)=\int_{T_0}^{T}{c_p^{ig}dT}=c_p^{ig}\left(T-T_0\right)

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Enthalpie berechnen für das ideale Gas

c_v und c_p sind die isochoren bzw. isobaren Wärmekapazitäten. Sie haben die Einheit Joule pro Kilogramm Kelvin und sind in dem Bereich, in dem wir rechnen, konstant. Zudem gibt es beim idealen Gas den Zusammenhang:

R=c_p^{ig}-c_v^{ig}

Energiebilanz berechnen

Da das nun sehr viel Theorie zum Thema Ethalpie und innere Energie war, ist es nicht schlimm, wenn du die kalorischen Zustandsgleichungen noch nicht ganz verstanden hast, denn nachfolgend erklären wir dir diese anhand eines Beispiels noch einmal schrittweise.

Kalorische Zustandsgleichung im Beispiel

Wenn du viel Bier trinkst, nimmst du normalerweise zu. Doch was ist, wenn du das Bier soweit runter kühlst, dass du die zugenommene Energie beim Aufwärmen wieder verbrauchst? Das wollen wir jetzt herausfinden.
Um zu klären, ob eine solche „Bierdiät“ möglich ist, benötigen wir die Energiebilanz und die kalorischen Zustandsgleichungen der idealen Flüssigkeit. Die Energiebilanz ist allgemein:

\frac{dU}{dt}=\ \sum{\dot{m}h}+\sum\dot{Q}+\sum P_t

und die kalorischen Zustandsgleichungen für die ideale Flüssigkeit sind definiert als:

u^{if}\left(T\right)-u^{if}\left(T_0\right)=c_v^{if}\left(T-T_0\right)

und

h^{if}\left(T,p\right)-h^{if}\left(T_0,p_0\right)=c_p^{if}\left(T-T_0\right)+v^{if}\left(p-p_0\right)

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Energiebilanz Physik und kalorische Zustandsgleichungen

Energiebilanz Biertrinker

Jetzt benötigen wir noch die spezifischen Werte von Bier. Ein normales Pils hat eine spezifische Wärmekapazität von 4,1 Kilojoule pro Kilogramm Kelvin und eine spezifische Enthalpie von 1758,456 Kilojoule pro Kilogramm bei 37 Grad Celsius, also der Temperatur des Körpers. Um herauszufinden, ob die „Bierdiät“ denn möglich ist, berechnen wir uns die Temperatur, auf die das Bier runter gekühlt werden muss.

Wir beginnen mit der Bilanz um den Biertrinker. Dieser verrichtet natürlich keine technische Arbeit, nimmt aber Energie durch das Bier auf. Dabei erwärmt er das Bier und gibt einen konstanten Wärmestrom ab.

Das intergieren wir jetzt und erhalten:

U_{Trinker,2}-U_{Trinker,1}=m_{Bier}h_{Bier}-Q_{Waerm,12}

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Spezifische Werte Bier

Q_{Waerm,12} ist die geflossene Wärme, zwischen Zustand eins, also dem Bier bei der gesuchten Temperatur, und Zustand zwei, also der Körpertemperatur.
Da sich die innere Energie des Trinkers nicht erhöhen soll, muss die Differenz natürlich gleich null sein.
Stellen wir das jetzt nach Q um, erhalten wir:

Q_{Waerm,12}=m_{Bier}h_{Bier}

Energiebilanz Bier

Jetzt kennen wir Q_{Waerm,12} natürlich noch nicht. Dafür machen wir eine Energiebilanz um das Bier herum. Dabei ist die Masse des Biers natürlich konstant und es wird wieder keine technische Arbeit verrichtet:
Nach der Integration ergibt sich:

U_{Bier,2}-U_{Bier,1}=Q_{Waerm,12}

Die Differenz der inneren Energien bekommen wir nun aus dem Stoffmodel der idealen Flüssigkeit:

U_{Bier,2}-U_{Bier,1}=m_{Bier}c_v^{if}\left(T_2-T_1\right)

Das können wir jetzt in die Bilanz um das Bier einsetzen:

m_{Bier}c_v^{if}\left(T_2-T_1\right)=Q_{Waerm,12}

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Energiebilanz Bier

Da Q_{Waerm,12} jetzt genau der gleiche Wärmestrom ist, der vom Biertrinker kommt, können wir die erhaltenen Gleichungen gleichsetzen:

m_{Bier}c_v^{if}\left(T_2-T_1\right)=m_{Bier}h_{Bier}

Wir können jetzt die Masse des Bieres kürzen und kennen die Temperatur T_2. Diese ist nämlich genau die Temperatur des Körpers mit 37 Grad Celsius. Das heißt, wir müssen es nur nach T_1 umstellen und erhalten:

T_1=T_2-\frac{h_{Bier}}{c_v^{if}}=\left(273,15+37\right)K-\frac{1758,456\frac{kJ}{kg}}{4,1\frac{kJ}{kgK}}=-118,74K

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Energiebilanz Bier

Du erkennst vielleicht, dass das Ergebnis physikalisch nicht sinnvoll ist, da der absolute Nullpunkt ja bei 0 Kelvin definiert ist. Lass dich davon aber nicht irritieren, wir betrachten das Ergebnis als theoretischen Wert, haben die Aufgabe damit gelöst und wissen nun, dass wir die Energie nicht wieder verbrauchen können, die wir beim Biertrinken zu uns nehmen!

Damit haben wir die Energiebilanz Physik abgehakt und sicherlich bist du nun voller Energie für deine nächste Klausur zum Thema Enthalpie und innere Energie.

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