Elektrotechnik Grundlagen

Ersatzspannungsquelle

Du möchtest wissen, was Ersatzspannungsquellen sind? Hier erklären wir dir, wie du die Ersatzquellen komplexer Schaltungen bestimmst.

Begrenzung auf eine Spannungs- oder Stromquelle

Viele elektrische Geräte sind sehr kompliziert aufgebaut und enthalten viele in Reihe und parallel geschaltete Widerstände oder auch mehrere Strom- und Spannungsquellen. Aber eigentlich interessierst du dich nur für die Ausgangsspannung deines Geräts und willst die Schaltung auf eine Spannungs- oder Stromquelle mit Innenwiderstand reduzieren.

Ersatzspannungsquelle
Ausgangsspannung

Dafür musst du die Ersatzspannungs- oder Ersatzstromquelle bestimmen. Die Ersatzspannungsquelle, die auch häufig als Thévenin-Theorem bezeichnet wird, hat genau den Wert der Leerlaufspannung zwischen den zwei Ausgangsklemmen A und B. Die Ersatzstromquelle nimmt den Wert des Kurzschlussstroms zwischen den besagten Klemmen an.

Um den Innenwiderstand zu bestimmen, schaust du von rechts in die Schaltung zwischen den Klemmen A und B und fasst die Widerstände zu einem Ersatzwiderstand zusammen. Für die Berechnung kannst du alle vorkommenden Spannungsquellen gedanklich kurzschließen. Denn sie haben den Widerstand Null.

Ersatzspannungsquelle, Innenwiderstand bestimmen
Innenwiderstand bestimmen

Du trennst alle Stromquellen auf. Das entspricht einem unendlich großen Widerstand, so dass kein Strom fließen kann. Wenn du dir jetzt eine kleine Schaltung ansiehst, in der du die Spannungsquelle kurzschließt und die Stromquelle auftrennst, bleibt nur der Widerstand übrig. Nur dieser beeinflusst den Wert des Innenwiderstands R_i. Im Beispiel ist R_i=R.

Beispielaufgabe: Umzeichnen des Schaltplans

Wir wollen jetzt in folgender Schaltung die Ersatzspannungsquelle und die Ersatzstromquelle zwischen den Klemmen A und B bestimmen.

Ersatzspannungsquelle Aufgaben mit Lösung
Ersatzspannungsquelle Aufgabe

Die Klemmen sind mitten in der Zeichnung. Das stört die Übersichtlichkeit und daher empfiehlt es sich, die Schaltung etwas umzuzeichnen. Du kannst den Zweig mit Widerstand R_3 und den mit den Widerständen R_2 und R_4 einfach tauschen und schon liegen die Klemmen außen. Aus der Schaltung kannst du sie sogar noch etwas herauszeichnen.

Jetzt können wir von rechts in die Schaltung schauen, um den Ersatzwiderstand zu berechnen. Dafür interessiert uns die Spannungsquelle nicht, also schließen wir sie kurz. Dann können wir die Widerstände Schritt für Schritt zusammenfassen. Der Einfacheit halber nehmen wir an, dass alle Widerstände gleich groß sind und den Wert R haben.

Ersatzspannungsquelle
Kurzschluss

Wir beginnen mit der Reihenschaltung von R_2 und R_4R_{24} ist die Summe von R_2 und R_4 und ergibt sich zu 2R.

Parallelschaltung: Ersatzwiderstand bestimmen

Es geht direkt weiter mit der Parallelschaltung von R_{24} und R_3. Du könntest auch direkt alle drei parallel geschalteten Widerstände zusammenfassen, aber R_{24||3} können wir später für die Bestimmung der Leerlaufspannung noch gebrauchen.

R_{24||3}=\frac{R_{24}R_3}{R_{24}+R_3}=\frac{2R\ast R}{2R+R}=\frac{2}{3}R

Das Ergebnis für R_{24||3} ist \frac{2}{3}R. Im nächsten und letzten Schritt fassen wir die parallelen Widerstände R_1 und R_{24||3} zusammen. Die Rechnung ergibt \frac{2}{5}R. Das ist der Ersatzwiderstand zwischen den Klemmen A und B.

Ersatzwiderstand, Ersatzspannungsquelle
Ersatzwiderstand

Jetzt musst du noch die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen bestimmen. Das ist genau die Spannung, die über dem Widerstand R_3 abfällt. Um diese zu berechnen, zeichnen wir die Schaltung nochmal geringfügig um. So erkennst du, dass du einen Spannungsteiler anwenden kannst.

Ersatzspannungsquelle
Spannungsteiler

Die Widerstände R_3, R_2 und R_4 haben wir schon zusammengefasst. Und dieses Ergebnis können wir jetzt verwenden.

R_{24||3}=\frac{2}{3}R

Mit dem Spannungsteiler zwischen R_1 und R_{24||3} ergibt sich U_{AB}:

U_{AB}=\frac{R_{24||3}}{R_1+R_{24||3}}U_0=\frac{\frac{2}{3}R}{R+\frac{2}{3}R}U_0=\frac{2}{5}U_0

Zu \frac{2}{5}U_0. Damit hast du eine komplexe Schaltung auf eine Ersatzspannungsquelle reduziert. Für die Ersatzstromquelle ist der Ersatzwiderstand derselbe. Allerdings musst du noch den Kurzschlussstrom zwischen den Klemmen A und B bestimmen.

Ersatzspannungsquelle Aufgaben mit Lösung
Umwandlung der komplexen Schaltung

R_{24||3} kannst du ignorieren, da der Widerstand kurzgeschlossen wird. Übrig bleibt nur R_1. Der Kurzschlussstrom ist also:

I_{AB}=\frac{U_0}{R_1}=\frac{U_0}{R}

Damit hast du auch die Kennwerte der Ersatzstromquelle bestimmt: I_{AB}=\frac{U_0}{R} und R_{AB}=\frac{2}{5}R.

Weitere Möglichkeit: Anwendung des Ohm’schen Gesetzes

Es gibt noch eine zweite Möglichkeit den Innenwiderstand einer Schaltung zu bestimmen. Wenn du den Kurzschlussstrom und die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen A und B kennst, kannst du mit dem Ohm’schen Gesetz aus ihnen den Ersatzwiderstand berechnen.

R_{AB}=\frac{U_{AB}}{I_{AB}}=\frac{\frac{2}{5}U_0}{\frac{U_0}{R}}=\frac{2}{5}R

Für unsere Schaltung ergibt sich über diese Rechnung ebenfalls \frac{2}{5}R. Wir haben also alles richtig gemacht.

Super! Jetzt hast du gelernt, wie du die Ersatzspannungsquelle und die Ersatzstromquelle berechnest.

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