Mathe für Ingenieure

Gewöhnliche Differentialgleichungen
Exakte DGL

Du möchtest wissen, was eine Exakte DGL ist und wie du sie lösen kannst? Im Folgenden zeigen wir dir das Vorgehen bei diesen speziellen Differenzialgleichungen an einem einfachen Beispiel.

Exakte Differentialgleichung: Potentialkonstruktion

Zunächst schauen wir uns die Grundidee und zwar die Konstruktion eines Potentials an:

\phi\left(x,\ y\left(x\right)\right)=C

\phi\left(x,\ y\left(x\right)\right)  ist eine Potentialfunktion, die entlang von y\left(x\right) konstant ist. Du kannst sie dir wie eine konstante Höhe im Gebirge vorstellen. Entlang der Höhenlinie bist du auf demselben Potential. Ein gleiches Spannungsniveau im elektrischen Schaltkreis wäre ebenfalls ein Beispiel dafür.

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Potential Veranschaulichung

Die Konstante C kannst du mithilfe eines Anfangswertes bestimmen.

C=\phi(x_0,\ y\left(x_0\right))

Schließlich kann man die Gleichung eindeutig nach y auflösen, um eine Lösung zu erhalten.

Herleitung der Integrabilitätsbedingung

Du fragst dich, wo hier jetzt eine Differentialgleichung steckt? Dazu leiten wir \phi(x) ab. Zunächst bilden wir die partielle Ableitung nach x und danach nach y, die wir noch mit der inneren Ableitung, also y^\prime multiplizieren müssen. Auf der rechten Seite der Gleichung für \phi steht eine Konstante, deren Ableitung Null ist.

\phi^\prime\left(x,y\left(x\right)\right)=\frac{\partial\phi}{\partial x}+\frac{\partial\phi}{\partial y}y^\prime=0

Schon hat sich eine DGL ergeben. Nun ersetzen wir die partiellen Ableitungen von \phi durch die Funktionen a und b.

a(x,y(x))+b\left(x,y\left(x\right)\right)y^\prime(x)=0

Eine exakte DGL muss genau diese Form haben. Vergleichst du diese mit dem vorherigen Ausdruck, stellst du fest, dass folgende Teile übereinstimmen.

a\left(x,y\left(x\right)\right)=\frac{\partial\phi}{\partial x}

b\left(x,y\left(x\right)\right)=\frac{\partial\phi}{\partial y}

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Form der exakten DGL

a\left(x,y\left(x\right)\right)  ist die partielle Ableitung von \phi(x) und b\left(x,y\left(x\right)\right) die partielle Ableitung nach y.

Jetzt leitest du nochmal nach der jeweils anderen Variable ab.

a_y\left(x,y\left(x\right)\right)=\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}

b_x\left(x,y\left(x\right)\right)=\frac{\partial\phi}{\partial y}=\frac{\partial^2\phi}{\partial y\partial x}

Nach dem Satz von Schwarz kann in der zweiten Ableitung die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauscht werden, sodass die gemischten Ableitungen einander entsprechen.

\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2\phi}{\partial y\partial x}

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Anwendung des Satzes von Schwarz

Schreiben wir das nun wieder als a und b:

a_y=b_x

Wir haben uns eine Bedingung für Exaktheit hergeleitet. Sie heißt Integrabilitätsbedingung. Ist diese Bedingung erfüllt, haben wir eine exakte DGL.

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Herleitung der Integrabilitätsbedingung

Exakte DGL – Beispiel

Soweit zur Theorie. Es wird Zeit für ein Beispiel

2x+y^2+\left(2xy+1\right)y^\prime=0

Du hast diese Gleichung vor dir liegen und vergleichst sie mit der allgemeinen Form,

a(x,y(x))+b\left(x,y\left(x\right)\right)y^\prime(x)=0

um a und b zu bestimmen. Nun prüfst du die Integrabilitätsbedingung, indem du zuerst a nach y ableitest. 2x abgeleitet nach y ergibt Null und y^2 abgeleitet nach y ergibt 2y. Dann leitest du noch b nach x ab. 2xy nach x abgeleitet ergibt 2y, die Konstante 1 fällt beim Ableiten raus. Du stellst fest,

a_y=2y=b_x=2y

dass die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist. 2y ist gleich 2y. Daraus kannst du folgern, dass deine DGL exakt ist.

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Erste Möglichkeit der DGL Lösung

Das Potential kannst du auf verschiedene Arten konstruieren. Die erste Möglichkeit ist, dass du a nach x integrierst,

\phi\left(x,y\right)=\int a\left(x,y\right)dx+d_1(y)

da wir a als \frac{\partial\phi}{\partial x} definiert haben.

\phi\left(x,y\right)=\int b\left(x,y\right)dy+d_2(x)

Außerdem intergierst du b entsprechend seiner Definition als \frac{\partial\phi}{\partial y} nach y.

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Konstruktion des Potentials

Die Integrationskonstanten d_1 und d_2 sind jeweils von der Variablen x oder y abhängig, nach der nicht integriert wurde.

Zurück zum Beispiel: Wir integrieren a nach x

\phi\left(x,y\right)=\int2x+y^2\ dx+d_1\left(y\right)

Das ergibt

\ x^2+y^2x+d_1\left(y\right)

Als nächstes integrieren wir b nach y.

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Integration von a und b

Jetzt vergleichen wir die Integrale:

\phi\left(x,y\right)=x^2+y^2x+d_1\left(y\right)=xy^2+y+d_2\left(x\right)

Du erkennst den Mischterm xy^2 in beiden Integralen. Der Anteil x^2 ist nur von x abhängig und entspricht somit der Integrationskonstante d_2\left(x\right). Analog dazu ist d_1\left(y\right) gleich y.

Es ergibt sich

\phi\left(x,y\right)=x^2+y^2x+y=C

Ganz wichtig ist, dass du die Integrale vergleichst und nicht einfach beide Integrale addierst. Sonst nimmst du den Mischterm doppelt ins Ergebnis auf und das ist falsch.

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Vergleich der Integrale

Kommen wir jetzt noch zur zweiten Möglichkeit um \phi zu ermitteln. Sie erfordert weniger Integrierarbeit, allerdings musst du dich mehr konzentrieren, um den Überblick zu behalten.

Nach der ersten Integration

\phi\left(x,y\right)=\int2x+y^2dx+d_1\left(y\right)=x^2+y^2x+d_1\left(y\right)

kannst du das Ergebnis auch nach der anderen Variablen ableiten und anschließend mit b vergleichen.

Der Mischterm 2yx taucht auf beiden Seiten auf und außerdem ist d_{1,y}\left(y\right)=1. Integriert nach y ergibt sich d_1\left(y\right)=y. Das führt ebenfalls zum Ergebnis

\phi\left(x,y\right)=x^2+y^2x+y=C

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Zweite Möglichkeit der DGL Lösung

Transformation zu exakten Differentialgleichungen

Manche Differentialgleichungen, die nicht exakt sind, kannst du mit einem integrierenden Faktor multiplizieren, so dass sie zu exakten Differentialgleichungen werden. Nehmen wir diese Beispiel-DGL

y^\prime-\frac{2y}{x^3}=0

 und bestimmen a und b

a=-\frac{2y}{x^3}

b_x=0

Diese leiten wir ab und sehen, dass die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt ist. Also multiplizierst du die DGL mit einem M und bestimmst \widetilde{a} und \widetilde{b}.

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Die Integrabilitätsbedingung ist nicht erfüllt

Leitest du sie ab und setzt sie gleich, erhältst du diese Gleichung

Ma_y+M_ya=Mb_x+M_xb

Darin setzt du noch das Beispiel ein

-\frac{2M}{x^3}-\frac{2M_yy}{x^3}=M_x

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Multiplikation mit M

Der Trick ist, ein M zu wählen, dass nur von einer Variable abhängt. Dadurch erzeugst du eine einfache gewöhnliche DGL, mit der du M bestimmen kannst. Ob du ein M_x oder ein M_y wählst, ist dir überlassen. Du musst ausprobieren, wie du eine zielführende bzw. die einfachere DGL erzeugst.

Probieren wir mal M_y. Die Ableitung M_x fällt raus

-\frac{2M}{x^3}-\frac{2M_yy}{x^3}=0

Jetzt kannst du -\frac{2}{x^3} rauskürzen. Die DGL löst du mit Trennung der Variablen. Dann sortierst du erst mal, um danach zu integrieren und nach M aufzulösen. Es ergibt sich \frac{1}{y}.

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Lösung der DGL

Jetzt machen wir noch die Probe, indem wir \widetilde{a} und \widetilde{b} auf Integrabilität prüfen.

Für \widetilde{a} ergibt sich:

\widetilde{a}=-M\left(y\right)\frac{2y}{x^3}=-\frac{1}{y}\frac{2y}{x^3}

Nun setzt du für M \frac{1}{y} ein und das y kürzt sich raus. \widetilde{b} ist leicht zu bestimmen. Jetzt kannst du \widetilde{a} nach y ableiten, was null ergibt, und \widetilde{b} nach x ableiten. Das ergibt ebenfalls Null. Die Integrabilitätsbedingung ist also erfüllt.

{\widetilde{a}}_y={\widetilde{b}}_x

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion
Probe: Prüfen auf Integrabilität

Abschließend könntest du das Potential bestimmen. Die Vorgehensweise haben wir weiter oben schon erklärt. Jetzt weißt du wie man beim Lösen einer exakten Differentialgleichung vorgeht.

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