Höhere Mathematik

Extremwertaufgaben

Inhaltsübersicht

In diesem Artikel wird gezeigt, wie Extremwertaufgaben mit und ohne Nebenbedingung gelöst werden können – auch für mehrdimensionale Extremwertprobleme. Es werden zudem zu den verschiedenen Fällen Beispiele mit Lösungen präsentiert.

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Extremwertaufgaben Definition

Bei Extremwertaufgaben geht es darum eine bestimmte Größe zu maximieren oder zu minimieren. Diese Größe hängt dabei von Variablen ab, an welche häufig bestimmte Bedingungen – die sogenannten Nebenbedingungen – geknüpft sind. Zur Lösung der Extremwertaufgabe wird die Größe als Funktion dieser Variablen beschrieben und deren Extremstellen ermittelt.

Häufig ist anstelle von Extremwertaufgaben auch die Rede von Optimierungsaufgaben. Ebenso geläufig sind die Bezeichnungen als Extremwertprobleme, Extremalprobleme oder Extremalaufgaben.

Extremwertaufgaben lösen: Vorgehensweise

Formuliert man die Abhängigkeit der zu optimierenden Größe von den Variablen auf mathematische Art und Weise, so erhält man eine Funktion. Für diese Funktion gilt es dann die Maxima bzw. die Minima, also die Extremstellen, zu bestimmen. Dies gleicht dann einer typischen Aufgabe aus dem Bereich der Kurvendiskussion. Im Folgenden soll nun Schritt für Schritt das Vorgehen zur Lösung von Extremwertaufgaben beschrieben werden.

Dabei sollen zunächst Größen betrachtet werden, die von nur einer Variablen abhängen.

Funktion aufstellen

Als erstes muss die zu optimierende Größe als Funktion der Variablen beschrieben werden, von der sie abhängt. Soll die Größe A maximiert oder minimiert werden und hängt sie von der Variablen x ab, so muss die passende Funktion A(x) formuliert werden.

Ableiten und Extrema bestimmen

Für die Funktion A(x) gilt es nun die Extrema zu bestimmen. Ein Extremum kann nur an Stellen vorliegen, an denen die erste Ableitung der Funktion Null ist:

A'(x)=0

Um diese Stellen zu finden, wird die Ableitungsfunktion A'(x) berechnet und deren Nullstellen bestimmt. Jede Stelle, die dieses Kriterium erfüllt, nennt man „kritische Stelle“. An diesen kritischen Stellen muss nun noch der Wert der zweiten Ableitung bestimmt werden. Ist er positiv, so handelt es sich bei der kritischen Stelle um ein Minimum. Falls er negativ ist, befindet sich an der kritischen Stelle ein Maximum.

Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

Bei vielen Extremwertproblemen hängt die zu optimierende Größe allerdings nicht nur von einer, sondern von zwei Variablen ab und an diese Variablen wird eine Bedingung geknüpft, welche „Nebenbedingung“ genannt wird. Wie solche Aufgaben gelöst werden wird nun gezeigt.

Zielfunktion aufstellen

Zunächst einmal wird die in der Extremwertaufgabe zu maximierende bzw. zu minimierende Größe als Funktion der Variablen formuliert, von denen sie abhängt. Sind diese Variablen x und y, während die Größe selbst mit A abgekürzt wird, so muss also die Funktion A(x,y) bestimmt werden.

Nebenbedingung formulieren und umstellen

Nun muss die Nebenbedingung, welche an die Variablen x und y gestellt wird in einer mathematischen Gleichung formuliert werden. Anschließend wird diese Gleichung nach einer Variablen umgestellt, sodass man eine Funktion x(y) oder y(x) erhält.

Extremalfunktion aufstellen

Die so erhaltene Funktion lässt sich nun in A(x,y) einsetzen und man erhält eine Funktion, die die Größe A in Abhängigkeit nur noch einer Variablen beschreibt:

A\left(x,y\right)=A\left(x\left(y\right),y\right)=A\left(y\right) oder A\left(x,y\right)=A\left(x,y\left(x\right)\right)=A\left(x\right)

Diese Funktion kann nun auf bereits beschriebene Art und Weise auf Extrema überprüft werden.

Extremwertaufgaben mit Lösung

Im Folgenden soll anhand zweier Extremwertaufgaben das beschriebene Vorgehen dargelegt werden.

Beispiel 1: Extremwertaufgaben

Im ersten Extremwertproblem wird der Graph der Funktion f\left(x\right)=-x^2+5 betrachtet. Zwischen diesem Graphen und der x-Achse soll ein Rechteck so einbeschrieben werden, dass sich zwei Punkte des Rechtecks auf der x-Achse befinden und die anderen beiden auf dem Graphen. Für dieses Rechteck soll die Position der Punkte auf der x-Achse so bestimmt werden, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird.
Die zu maximierende Größe ist also der Flächeninhalt des Rechtecks. Liegen die Punkte des Rechtecks auf der x-Achse bei x_0 und -x_0, so ist die Länge des Rechtecks gleich 2x_0. Dessen Breite entspricht dann dem Funktionswert von f an der Stelle x_0. Der Flächeninhalt A des Rechtecks, welcher die zu maximierende Größe ist, wird also durch folgende Funktion beschrieben:

A\left(x_0\right)=2x_0\cdot\ f\left(x_0\right)=2x_0\cdot\left(-x_0^2+5\right)=-2x_0^3+10x_0

Der zweite Schritt ist nun diese Funktion abzuleiten und deren Extremstellen zu bestimmen. Die Ableitungsfunktion lautet:

A^\prime\left(x_0\right)=-6x_0^2+10

Die kritischen Stellen sind genau die Nullstellen dieser Funktion, welche sich mithilfe der Mitternachtsformel berechnen lassen. Sie lauten: x_1=\sqrt{\frac{5}{3}} und x_2=-\sqrt{\frac{5}{3}}

Nun lässt sich die zweite Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an diesen beiden kritischen Stellen betrachten. Sie lautet:

A^{\prime\prime}\left(x_0\right)=-12x_0

Setzt man die beiden kritischen Stellen in diese Funktion ein, so sieht man, dass die zweite Ableitung an der kritischen Stelle x_1 negativ und an der kritischen Stelle x_2 positiv ist. Das bedeutet, dass bei x_1 ein Maximum der Funktion und bei x_2 ein Minimum der Funktion vorliegt. Das Rechteck hat also den maximalen Flächeninhalt, wenn die Punkte auf der x-Achse bei x_1=\sqrt{\frac{5}{3}} und x_2=-\sqrt{\frac{5}{3}} liegen. Für die komplette Lösung der Extremwertaufgabe kann noch der zugehörige Flächeninhalt berechnet werden:

A\left(x_1\right)=2x_1\cdot\ f\left(x_1\right)=2\cdot\sqrt{\frac{5}{3}}\cdot\left(-\frac{5}{3}+5\right)

Beispiel 2: Extremwertaufgaben

In dieser Extremwertaufgabe soll mit einem 50 Meter langen Maschendrahtzaun ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt abgesteckt werden. Die zu maximierende Größe ist also der Flächeninhalt A eines Rechtecks. Zunächst soll dieser als Funktion der Variablen geschrieben werden, von denen er abhängt. Dies sind die Länge l und die Breite b des Rechtecks und dessen Flächeninhalt berechnet sich zu:

A\left(l,b\right)=l\cdot\ b

Nun gilt es die Nebenbedingung zu formulieren, welche an die beiden Variablen geknüpft ist. Es ist bekannt, dass der Umfang U=2l+2b des Rechtecks 50 Meter betragen soll:

2l+2b=50m

Diese Nebenbedingung kann nun nach einer der Variablen umgestellt werden:

l=\frac{50m}{2}-b

Diese Funktion l(b) kann nun in A(l,b) eingesetzt werden und man erhält:

A\left(l\left(b\right),b\right)=A\left(b\right)=\left(\frac{50m}{2}-b\right)\cdot\ b=-b^2+25m\cdot\ b

Für die Funktion A(b) können nun die kritischen Stellen mithilfe der ersten Ableitungsfunktion A'(b) bestimmt werden:

A^\prime\left(b\right)=-2b+25m

Diese ist nur an der Stelle b_0=12,5m gleich Null. Das bedeutet, dass dies die einzige kritische Stelle der Funktion ist. Da die zweite Ableitung A^{\prime\prime}\left(b\right)=-2 an dieser Stelle negativ ist, befindet sich dort ein Maximum der Funktion. Das bedeutet also, dass der Flächeninhalt für eine Breite des Rechtecks von 12,5 m maximal ist.

Mehrdimensionale Extremstellen berechnen

Bei mehrdimensionalen Extremwertaufgaben sollen die Extremstellen einer Funktion f bestimmt werden, die von mehreren Variablen \left(x_1,\ldots,x_n\right) abhängt. Hier sieht das Vorgehen ähnlich aus wie für Funktionen einer Variablen: Es werden die kritischen Stellen mithilfe der ersten Ableitung bzw. dem Gradienten bestimmt und das Krümmungsverhalten an diesen Stellen mithilfe der zweiten Ableitung bzw. der Hesse-Matrix untersucht.

Gradient berechnen

Um die kritischen Stellen zu ermitteln, wird die erste Ableitung bzw. der Gradient \nabla f der Funktion f berechnet. Die kritischen Stellen der Funktion sind genau diejenigen Stellen, an denen dieser verschwindet:

\nabla f = \left(\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{array} \right) = 0

Hesse Matrix bestimmen

Um das Krümmungsverhalten der Funktion an den kritischen Stellen ermitteln zu können, wird die Hesse-Matrix benötigt. Zu ihrer Berechnung müssen sämtliche partielle Ableitungen zweiter Ordnung bestimmt werden und in Matrixschreibweise folgendermaßen angeordnet werden:

\left(Hess\ f\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_1}&\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n}\\\frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1}&\frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1}&\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_2}&\ldots&\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_n}\\\end{matrix}\right)

Definitheit der Hesse Matrix bestimmen

Zuletzt werden nacheinander die kritischen Stellen in die Matrix eingesetzt und diese anschließend auf Definitheit überprüft. Die Matrix…

  • …ist genau dann positiv (negativ) definit, wenn alle ihre Eigenwerte positiv (negativ) sind.
  • …ist genau dann positiv (negativ) semidefinit, wenn alle ihre Eigenwerte \ge 0 (\le 0) sind.
  • …ist genau dann indefinit, wenn sie mindestens einen positiven und einen negativen Eigenwert besitzt.

Kennt man die Definitheit der Hesse-Matrix an den kritischen Stellen, so lassen diese sich wie folgt klassifizieren:

  • Ist die Hesse-Matrix an einer kritischen Stelle positiv definit, dann ist dort ein lokales Minimum der Funktion.
  • Ist die Hesse-Matrix an einer kritischen Stelle negativ definit, dann ist dort ein lokales Maximum der Funktion.
  • Ist die Hesse-Matrix an einer kritischen Stelle indefinit, dann ist dort ein Sattelpunkt der Funktion.
  • Ist die Hesse-Matrix an einer kritischen Stelle semidefinit, so kann auf diese Art und Weise der Charakter der Extremstelle nicht ermittelt werden.

Mehrdimensionale Extremwertaufgaben Übungen

Im Folgenden soll anhand zweier Extremwertaufgaben eingeübt werden, wie Extremstellen im Mehrdimensionalen bestimmt werden können.

Beispiel 1: Mehrdimensionale Extremwertaufgaben

In dieser Extremwertaufgabe soll die Funktion f\left(x,y\right)=x^2+y^2

auf Extrema untersucht werden. Dazu werden die einzelnen oben beschriebenen Schritte abgearbeitet. Zunächst wird der Gradient der Funktion bestimmt:

\mathrm{\nabla\ f}\left(x,y\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} 2x \\ 2y \end{array} \right)

Die kritischen Stellen der Funktion ergeben sich als Nullstellen dieses Gradienten. Dieser verschwindet genau dann, wenn x=0 und y=0 gelten. Das heißt die einzige kritische Stelle ist x_1=(0,0).

Nun kann mithilfe der Hesse-Matrix überprüft werden, ob es sich bei dieser Stelle um ein Minimum, Maximum oder einen Sattelpunkt handelt. Dazu wird diese zunächst einmal berechnet. Sie lautet:

\left(Hess\ f\right)\left(x,y\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(x,y\right)&\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\left(x,y\right)\\\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\left(x,y\right)&\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\left(x,y\right)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&0\\0&2\\\end{matrix}\right)

Nun muss die Definitheit der Hesse-Matrix an der kritischen Stelle untersucht werden. Dazu werden die Eigenwerte der Hesse-Matrix bestimmt, welche die Nullstellen des charakteristischen Polynoms \chi_{\left(Hess\ f\right)\left(x,y\right)}=\left(\lambda-2\right)^2 darstellen. Da \lambda_1=2 die einzige Nullstelle dieses Polynoms ist und diese positiv ist, ist die Hesse-Matrix an jeder Stelle und insbesondere an der kritischen Stelle x_1=(0,0) positiv definit. Das bedeutet also, dass die Funktion f\left(x,y\right)=x^2+y^2 an dieser Stelle ein Minimum besitzt.

Extremwertaufgaben: Graph der mehrdimensionalen Funktion

Beispiel 2: Mehrdimensionale Extremwertaufgaben

In dieser Extremwertaufgabe sollen die Extremstellen der Funktion f\left(x,y\right)=x^2y-y bestimmt werden. Der Gradient der Funktion lautet \mathrm{\nabla\ f}\left(x,y\right)=2xyx2-1 und dieser ist nur an den Stellen x_1 = (1,0) und x_2 = (-1,0) gleich Null.

Das sind also die einzigen kritischen Stellen der Funktion und an diesen muss die Definitheit der Hesse-Matrix überprüft werden. Die Hesse-Matrix lautet allgemein:

\left(Hess\ f\right)\left(x,y\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(x,y\right)&\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\left(x,y\right)\\\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\left(x,y\right)&\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\left(x,y\right)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2y&2x\\2x&0\\\end{matrix}\right)

An den beiden kritischen Stellen x_1 und x_2 ergibt sich:

\left(Hess\ f\right)\left(1,0\right)=\left(\begin{matrix}0&2\\2&0\\\end{matrix}\right)

\left(Hess\ f\right)\left(-1,0\right)=\left(\begin{matrix}0&-2\\-2&0\\\end{matrix}\right)

Beide Matrizen besitzen dasselbe charakteristischen Polynom:

\chi_{\left(Hess\ f\right)\left(1,0\right)}={\chi_{\left(Hess\ f\right)\left(-1,0\right)}=\lambda}^2-4

Dieses Polynom besitzt die beiden Nullstellen \lambda_1=2 und \lambda_2=-2. Die Hesse-Matrix besitzt also in beiden Fällen einen positiven und einen negativen Eigenwert, was bedeutet, dass sie indefinit ist. Somit stellen die beiden kritischen Stellen x_1=\left(1,0\right) und x_2=\left(-1,0\right) Sattelpunkte der Funktion f\left(x,y\right)=x^2y-y dar.

Mehrdimensionale Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung

Auch für Funktionen mehrerer Variablen können Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung formuliert werden. Diese lassen sich manchmal auf elementare Weise durch Umstellen der Nebenbedingung und Einsetzen in die Funktion lösen. In den anderen Fällen führt das Lagrange-Verfahren ans Ziel.

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