Mathe für Ingenieure

Fourierreihen

Die Fourierreihen bereiten dir noch Probleme? Im Folgenden zeigen wir dir, wie du Fourierreihen bildest und erklären dir an einem einfachen Beispiel wie du sie anwendest.

Erklärung Fourierreihen: Trigonometrische Reihe

Als Erstes schauen wir uns die trigonometrische Reihe an. Wie du im Graph siehst, wiederholt sich ihr Verlauf; sie ist periodisch.

Fourierreihen: trigonometrische Reihe
Fourierreihen: trigonometrische Reihe

Sie lässt sich als Funktionenreihe schreiben, die sich aus Sinus- und Kosinusfunktionen mit Koeffizienten a_n  und b_n zusammensetzt.

Fourierreihenentwicklung: Orthogonalitätsrelationen

Um nun die Koeffizienten so zu bestimmen, dass die trigonometrische Reihe mit einer beliebigen periodischen Funktion übereinstimmt, brauchen wir die sogenannten Orthogonalitätsrelationen für trigonometrische Funktionen.

Fourierreihen: Orthogonalitätsrelationen
Fourierreihen: Orthogonalitätsrelationen

Das sind einfach nur drei Integrale über Produkte aus Kosinus- und Sinusfunktionen. Die Berechnung ersparen wir uns an dieser Stelle. Die Ergebnisse sind entweder null, 2\pi oder \pi, je nachdem ob n und m übereinstimmen oder nicht.

Anwendung Orthogonalitärsrelationen – Fourierkoeffizienten

Diese Orthogonalitätsrelationen wollen wir jetzt anwenden.

Anwendung Orthogonalitätsrelation Furierreihen
Anwendung Orthogonalitätsrelation

Dazu multiplizieren wir die trigonometrische Reihe mit dem Kosinus und integrieren über x von Null bis 2\pi. Wir setzen die trigonometrische Reihe ein und teilen das Integral in drei Integrale auf. Dabei ziehen wir die konstanten Koeffizienten aus den Integralen heraus. Schauen wir uns jetzt die einzelnen Summanden Schritt für Schritt an. Das Integral des Kosinus über die Periodenlänge von  2\pi ist Null. Die Fläche unterhalb der x-Achse entspricht der Fläche oberhalb der x-Achse. Das gilt auch für m\neq1, zum Beispiel für m=3. Die Periodenlänge ist jetzt ein Teiler von  2\pi , und zwar \frac{2}{3}\pi. Der erste Summand fällt also raus, außer m ist gleich Null.

zweite Orthogonalitätsrelation
zweite Orthogonalitätsrelation

Für den zweiten Summanden schauen wir uns die zweite Orthogonalitätsrelation an. Nur wenn m=n ist, erhalten wir hier ein Ergebnis ungleich Null. Da die Summe bei Eins beginnt, kommt der erste Fall, also m=n=0 auch nicht vor. Der dritte Summand fällt entsprechend der ersten Orthogonalitätsrelation immer raus.

Im Fall m>0 bleibt also nur das Integral von \cos{nx}\cos{nx} übrig. Für n haben wir im zweiten Kosinus n eingesetzt, da m=n gilt. Das Integral ergibt \pi. Multipliziert mit a_n ist es a_n\ast\pi. Jetzt kannst du den Ausdruck nach a_n umstellen und hast eine Vorschrift für den Koeffizienten a_n gefunden.

a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{t\left(x\right)\cos{nx}\ dx}

Die Koeffizienten berechnen sich analog.

b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{t(x)}\sin{nx}\ dx

Hier hättest du anfangs mit dem Sinus mx multiplizieren müssen.

a_0 ist ein Sonderfall. Hier bleibt nur der erste Summand unseres Integrals übrig. Der Koeffizient a_0 berechnet sich so:

a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{t(x)}dx

Fourier Reihen Definition

Das sind die Fourierkoeffizienten. Das Gute ist, dass du diese Formeln in der Regel nur anwenden und nicht herleiten musst. Das führt uns direkt weiter zur Definition der Fourierreihe.

Ff(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin{nx}

Nehmen wir an, du hast eine 2\pi-periodische Funktion f, die stückweise stetig differenzierbar ist, das heißt der Graph von f besitzt höchstens endlich viele Sprungstellen oder Knicke. Diese Funktion lässt sich als trigonometrische Reihe darstellen. Die Fourierkoeffizienten berechnen sich wie zuvor hergeleitet mit:

 

Fourierkoeffizienten
Fourierkoeffizienten

Die trigonometrische Reihe mit diesen Koeffizienten heißt Fourierreihe zur Funktion f. \frac{a_0}{2} ist der Mittelwert der Funktion f. Das Fourier-Polynom ist entsprechend dem Taylor-Polynom definiert:

F_mf(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{m-1}a_n\cos{nx}+\sum_{n=1}^{m-1}b_n\sin{nx}

Wenn du nur endlich viele Summanden berücksichtigst, erhältst du das trigonometrische Fourier-Polynom der Ordnung m. Als nächstes zeigen wir dir Vereinfachungen bei geraden und ungeraden Funktionen.

Fourierreihe – Vereinfachungen bei geraden und ungeraden Funktionen

Wenn f gerade ist, dann ist f eine reine Kosinus-Reihe, das heißt b_n=0 für alle n.

Wenn f ungerade ist, dann ist f eine reine Sinus-Reihe, das heißt a_n=0 für alle n.

Das Integral \int_{0}^{2\pi} in der Definition der Koeffizienten kann durch ein beliebiges anderes Integral über ein Intervall der Länge 2\pi ersetzt werden, z.B. durch \int_{-\pi}^{\pi}.

Wenn f eine stetige, stückweise glatte Funktion ist, also Knicke aufweist, aber keine Sprünge, dann konvergiert die Fourier-Reihe gleichmäßig und es gilt Ff\left(x\right)=f\left(x\right).

Wenn f stückweise glatt, aber unstetig ist, dann gilt Ff\left(x\right)=f\left(x\right) nur für die Stetigkeitspunkte. An den Stellen x, an denen f unstetig ist, konvergiert die Fourierreihe gegen den Mittelwert

Ff\left(x\right)=\left(f\left(x^+\right)+f\left(x^-\right)\right)

Das Plus steht für eine Annäherung an die Stelle x von oben und das Minus für eine Annäherung von unten. Die Konvergenz ist nicht gleichmäßig. Man beobachtet in der Nähe von Sprungstellen für alle Fourierpolynome ein Überschwingen, das auch nicht verschwindet, wenn man die Fourierreihe mit unendlich vielen Termen bildet. Es beträgt asymptotisch etwa 9 % der Sprunghöhe und heißt Gibb’sches Phänomen.

Gibb'sches Phänomen
Gibb’sches Phänomen

Fourierreihe Beispiel

Du hast die Fourierreihen nun hoffentlich verstanden und kannst dir das Ganze nun an zwei Beispielen genauer ansehen.

Unser erstes Beispiel ist diese periodische Funktion.

f\left(x\right)=\begin{cases} 0, & f\"ur\ x=\pi\\ x, & f\"ur\ x\in (-\pi,\pi)\\ \end{cases}

Es ist eine unstetige Funktion, die aus Geraden auf Abschnitten der Länge 2\pi besteht.

Außerdem handelt es sich um eine ungerade Funktion, also kannst du schon jetzt folgern, dass alle a_n=0 sind. Die Koeffizienten b_n kannst du nach der Formel für die Koeffizienten in der Fourierreihe berechnen.

b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left(x\right)\sin{nx\ }dx}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{x\sin{nx\ }dx}

=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin{nx}-nx\cos{nx}\ }{n^2}\right]_{-\pi}^\pi=\frac{2(\sin{n\pi}-n\pi\cos{n\pi})\ }{\pi n^2}=\left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n}

Für f\left(x\right) setzt du x ein und bestimmst das Integral und wertest es aus. Der Sinus von n\ast\pi ist immer Null. Der Kosinus von n\ast\pi ist abwechselnd Eins und minus Eins. Das \pi und ein n kürzen sich heraus und es bleibt \left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n}. Also ergibt sich folgende Fourierreihe:

Ff\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n}}\sin{nx}

Als nächstes wollen wir uns die Fourier-Polynome mal ansehen. Das erste Fourierpolynom ist F_2f und ergibt sich zu 2sinx:

Fourierreihe Beispiel
Fourier-Polynome

Der einzelne blau dargestellte Sinus kann die schwarze Funktion nicht zufriedenstellend nachbilden. Daher bestimmen wir F_3f:

F_3f\left(x\right)=2\sin{x}-\sin{2x}

Der orangefarbene Graph ist schon eine bessere Approximation. Jetzt machen wir größere Schritte. Wir bestimmen F_5f.

F_5f\left(x\right)=2\sin{x}-\sin{2x}+\frac{2}{3}\sin{3x}-\funcapply\frac{1}{2}\sin{4x}

Wie wir an der gelben Kurve erkennen können, ist die Approximation wieder besser geworden.

Fourierreihe – zweites Beispiel

Machen wir noch ein zweites Beispiel. Hast du dich schon immer gefragt, wie man trigonometrische Formeln wie \cos^2{x}=\frac{1}{2}\left(1+\cos{2x}\right) eigentlich beweisen kann? Mit Fourierreihen geht das und wir zeigen dir wie.

Zunächst definieren wir uns unsere Funktion f\left(x\right)=\cos^2{x}. Es ist eine gerade Funktion, somit fallen alle Koeffizienten b_n weg. a_n bestimmst du so:

Fourierreihe Beispiel
Bestimmung von an und a0

Das Integral ist etwas kompliziert zu berechnen und soll hier nicht im Fokus stehen. Das Ergebnis ist Null für alle n\neq2 und nur für n=2 ergibt sich der Wert \frac{1}{2}. Du musst nur noch a_0 bestimmen. Dazu wollen wir dir einen Trick zeigen. Sieh dir mal die Funktion Cosinus Quadrat auf dem Intervall 2\pi genau an.

Sie muss in Summe mit dem Sinus Quadrat immer 1 ergeben, denn es gilt \sin^2{x}+\cos^2{x}=1.

Außerdem wissen wir, dass \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2{x}dx=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2{x}dx entspricht, denn die Funktionen sind 2\pi-periodisch und nur entlang der x-Achse zueinander verschoben. Daraus können wir folgern, dass das Integral \int_{-\pi}^{\pi}{\cos^2{x}dx} genau den Wert der Hälfte der rechteckigen Fläche annimmt.

\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos^2{x\ } dx}=\frac{1}{2\pi}\ast \frac{1}{2}\ast 2\pi\ast 1=\frac{1}{2}

Diese ist 2\pi lang und eins hoch. Es ergibt sich a_0=\frac{1}{2}.

Zum Schluss kannst du deine Ergebnisse zur Fourierreihe zusammensetzen:

Ff\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos{2x}

 

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