Mathe für Ingenieure

Funktionenreihen
Fourierreihen – Beispiel

Du hast die Fourierreihen nun hoffentlich verstanden und kannst dir das Ganze nun an zwei Beispielen genauer ansehen.

Fourierreihen – Beispiel und Erklärung

Unser erstes Beispiel ist diese periodische Funktion.

f\left(x\right)=\begin{cases} 0, & f\"ur\ x=\pi\\ x, & f\"ur\ x\in (-\pi,\pi)\\ \end{cases}

Es ist eine unstetige Funktion, die aus Geraden auf Abschnitten der Länge 2\pi besteht.

Außerdem handelt es sich um eine ungerade Funktion, also kannst du schon jetzt folgern, dass alle a_n=0 sind. Die Koeffizienten b_n kannst du nach der Formel für die Koeffizienten in der Fourierreihe berechnen.

b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left(x\right)\sin{nx\ }dx}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{x\sin{nx\ }dx}

=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin{nx}-nx\cos{nx}\ }{n^2}\right]_{-\pi}^\pi=\frac{2(\sin{n\pi}-n\pi\cos{n\pi})\ }{\pi n^2}=\left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n}

Integral bestimmen

Für f\left(x\right) setzt du x ein und bestimmst das Integral und wertest es aus. Der Sinus von n\ast\pi ist immer Null. Der Kosinus von n\ast\pi ist abwechselnd Eins und minus Eins. Das \pi und ein n kürzen sich heraus und es bleibt \left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n}. Also ergibt sich folgende Fourierreihe:

Ff\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n}}\sin{nx}

Als nächstes wollen wir uns die Fourier-Polynome mal ansehen. Das erste Fourierpolynom ist F_2f und ergibt sich zu 2sinx:

Fourierreihe Beispiel
Fourier-Polynome

Der einzelne blau dargestellte Sinus kann die schwarze Funktion nicht zufriedenstellend nachbilden. Daher bestimmen wir F_3f:

F_3f\left(x\right)=2\sin{x}-\sin{2x}

Der orangefarbene Graph ist schon eine bessere Approximation. Jetzt machen wir größere Schritte. Wir bestimmen F_5f.

F_5f\left(x\right)=2\sin{x}-\sin{2x}+\frac{2}{3}\sin{3x}-\funcapply\frac{1}{2}\sin{4x}

Wie wir an der gelben Kurve erkennen können, ist die Approximation wieder besser geworden.

Fourierreihe – zweites Beispiel

Machen wir noch ein zweites Beispiel. Hast du dich schon immer gefragt, wie man trigonometrische Formeln wie \cos^2{x}=\frac{1}{2}\left(1+\cos{2x}\right) eigentlich beweisen kann? Mit Fourierreihen geht das und wir zeigen dir wie.

Zunächst definieren wir uns unsere Funktion f\left(x\right)=\cos^2{x}. Es ist eine gerade Funktion, somit fallen alle Koeffizienten b_n weg. a_n bestimmst du so:

Fourierreihe Beispiel
Bestimmung von an und a0

Das Integral ist etwas kompliziert zu berechnen und soll hier nicht im Fokus stehen. Das Ergebnis ist Null für alle n\neq2 und nur für n=2 ergibt sich der Wert \frac{1}{2}. Du musst nur noch a_0 bestimmen. Dazu wollen wir dir einen Trick zeigen. Sieh dir mal die Funktion Cosinus Quadrat auf dem Intervall 2\pi genau an.

Sie muss in Summe mit dem Sinus Quadrat immer 1 ergeben, denn es gilt \sin^2{x}+\cos^2{x}=1.

Außerdem wissen wir, dass \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2{x}dx=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2{x}dx entspricht, denn die Funktionen sind 2\pi-periodisch und nur entlang der x-Achse zueinander verschoben. Daraus können wir folgern, dass das Integral \int_{-\pi}^{\pi}{\cos^2{x}dx} genau den Wert der Hälfte der rechteckigen Fläche annimmt.

\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos^2{x\ } dx}=\frac{1}{2\pi}\ast \frac{1}{2}\ast 2\pi\ast 1=\frac{1}{2}

Diese ist 2\pi lang und eins hoch. Es ergibt sich a_0=\frac{1}{2}.

Zum Schluss kannst du deine Ergebnisse zur Fourierreihe zusammensetzen:

Ff\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos{2x}

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