Mathe für Ingenieure

Gewöhnliche Differentialgleichungen
Fundamentalsystem und Wronski-Determinante

Du möchtest wissen, was ein Fundamentalsystem ist? Im Folgenden erklären wir dir genauer, was es mit der Fundamentalmatrix und der Wronski-Determinante auf sich hat.

Fundamentalsystem, Fundamentalmatrix und Wronski-Determinante Definitionen

Sind die Vektoren y_1,\ y_2,\ \ldots\ ,\ y_n Lösungen der homogenen Differentialgleichung, dann ist auch jede Linearkombination der Lösungen eine Lösung des Differentialgleichungs-Systems.

Ein System von Lösungsvektoren \left\{y_1,\ldots,y_n\right\} heißt linear unabhängig, wenn

\alpha_1y_1+\ldots+a_my_m=0\ \rightarrow\ a_i=0

nur die triviale Lösung, also wenn alle Koeffizienten a_i=0 sind, die dargestellte Gleichung löst.

Definition Fundamentalsystem, Fundamentalmatrix und Wronski-Determinante
Definition Fundamentalsystem, Fundamentalmatrix und Wronski-Determinante

Ein linear unabhängiges System \left\{y_1,\ldots,y_n\right\} heißt Fundamentalsystem. Die Lösungen y_1,\ldots,y_n heißen Grundlösungen. Du kannst prüfen, ob ein System linear unabhängig ist, indem du die Determinante der Fundamentalmatrix berechnest. Die Fundamentalmatrix stellst du so auf:

Y\left(x\right)=[y_1(x)|\ldots|y_n(x)]

Die Spalten sind die Lösungsvektoren y_1 bis y_n des linearen DGL-Systems erster Ordnung. Die Determinante der Fundamentalmatrix heißt Wronski-Determinante.

\exists\ x:\ \det{Y(x)}\neq0

Ist diese für mindestens ein x ungleich Null, sind die Lösungen linear unabhängig und es liegt ein Fundamentalsystem vor. Das umgedrehte E \exists ist der Existenzquantor. Er bedeutet: „Es existiert ein x“

Die allgemeine Lösung ist dann:

y\left(x\right)=c_1y_1\left(x\right)+\ldots+c_ny_n\left(x\right)
y\left(x\right)=c_1y_1\left(x\right)+\ldots+c_ny_n\left(x\right)=[y_1(x)|\ldots\left|y_n\left(x\right)\right]\left[\begin{matrix}c_1\\\vdots\ \\c_n\\\end{matrix}\right]=Y\left(x\right)c

Die mit Koeffizienten c_1 bis c_n multiplizierten summierten Grundlösungen y_1 bis y_n. Du kannst die Lösung auch kompakt in Abhängigkeit von der Fundamental Matrix schreiben.

Beispiel

Als nächstes schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel Fundamentalsystem und Wronski-Determinante
Beispiel

Dieses System hat dann die Lösungen y_1 und y_2. Dann ergibt sich als Wronski-Determinante: -\sin^2{x}-\cos^2{x}. Das ergibt -1, da \sin^2{x}+\cos^2{x} gleich 1 ist.

-1 ist ungleich Null und damit sind die Lösungen linear unabhängig. Die allgemeine Lösung des DGL-Systems lautet also so:

y\left(x\right)=c_1\binom{\sin{x}}{\cos{x}}+c_2\binom{\cos{x}}{-\sin{x}}=\left(\begin{matrix}\sin{x}&\cos{x}\\\cos{x}&-\sin{x}\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c_1\\c_2\\\end{matrix}\right)

Alternativer Weg zur Bestimmung der Wronski-Determinante

Du kannst die Wronski-Determinante ebenfalls bestimmen, wenn dir ein potentielles Fundamentalsystem {y_1\left(x\right),\ y_2\left(x\right),\ldots\ y_n(x)} einer skalaren Gleichung n-ter Ordnung vorliegt. Dann kannst du die sogenannte Wronski-Matrix aus den skalaren Lösungen und ihren Ableitungen aufstellen.

W=\left(\begin{matrix}y_1&\cdots&y_n\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\\\end{matrix}\right)

In der obersten Zeile stehen die Funktionen y und in den Zeilen darunter die Ableitungen bis zur n-1ten Ableitung. Das Fundamentalsystem {y_1,\ldots\ y_n} ist genau dann linear unabhängig, wenn

\exists\ x:\ \det{W\left(x\right)}\neq0

ist.

Zweites Beispiel

Dazu wollen wir uns auch ein Beispiel ansehen. Du hast das Fundamentalsystem y_1,y_2,y_3 gegeben.

Beispiel Fundalmentalsystem und Wronski-Determinante
Beispiel Fundalmentalsystem und Wronski-Determinante

Dann ergibt sich die Wronski-Matrix aus den Ableitungen der drei Lösungen. X abgeleitet ergibt Eins. Noch einmal abgeleitet Null. Die Ableitung von e^x ist e^x und Sinus abgeleitet ergibt den Kosinus und in der zweiten Ableitung den negativen Sinus. Jetzt musst du die Determinante der Wronski-Matrix bilden.

Überprüfung Fundamentalsystem
Überprüfung Fundamentalsystem

Fassen wir noch schnell zusammen und schauen uns das Ergebnis an. Wir wissen, dass der Faktor e^x stets positiv ist. Den brauchen wir also nicht weiter zu betrachten. \left(2-x\right)\ast\ sin{x}-x\ast\ cos{x} ist im allgemeinen Fall auch nicht gleich Null. Probieren wir das mal für ein beliebiges x aus, zum Beispiel x=\pi. Wir setzen \pi für x ein. Sinus \pi ist gleich Null und Kosinus \pi ist gleich -1. Übrig bleibt \pi. Also haben wir ein x gefunden, für das die Wronksy-Determinante ungleich Null ist. Die Lösungen sind somit linear unabhängig und es liegt ein Fundamentalsystem vor.

Du hast nun gelernt, was ein Fundamentalsystem, die zugehörige Fundamentalmatrix und die Wronski-Determinante sind.

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