Mathe für Ingenieure

Funktionenfolgen: Gleichmäßige Konvergenz

Du hast Probleme die gleichmäßige Konvergenz zu verstehen? Dann bist du hier genau richtig. Wir erklären dir die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen an einfachen Beispielen.

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen: Definition

Voraussetzung für die gleichmäßige Konvergenz ist die punktweise Konvergenz. Du hast also eine Funktionenfolge f_n, die auf dem Intervall I punktweise mit der Grenzfunktion f(x) konvergiert. Zusätzlich hast du eine Nullfolge a_n, so dass gilt:

\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\le\ a_n für alle n\in\ N und x\in\ I

Definition gleichmäßige Konvergenz
Definition gleichmäßige Konvergenz

Dann heißt die Funktionenfolge f_n gleichmäßig konvergent auf I.

Gleichmäßige Konvergenz: Aufgaben und Lösungen

Schauen wir uns nun ein Beispiel dazu an. Die Funktionenfolge x^n:

f_n\left(x\right)=x^n,\ \ I=[0;\ 0,9]

auf dem Intervall \left[0;0,9\right] hat die Grenzfunktion:

f\left(x\right)=0

Nun wollen wir die gleichmäßige Konvergenz zeigen und schauen uns dazu – entsprechend der Definition von gleichmäßiger Konvergenz – die Differenz von Funktionenfolge und Grenzfunktion an:

Gleichmäßige Konvergenz Beispiel
Gleichmäßige Konvergenz Beispiel

Wir setzen für f_n die Funktionenfolge x^n ein und für f die Grenzfunktion Null. Es bleibt x^n. Die Betragsstriche können wir weglassen, da alle x\in\ I positiv sind. Um x^n nach oben abzuschätzen, können wir den Maximalwert 0,9 für x einsetzen und erhalten die Folge {a_n=0,9}^n. Das ist eine Nullfolge. Somit haben wir gezeigt, dass f_n\left(x\right) auf dem Intervall \left[0;0,9\right] gleichmäßig konvergent ist.

Jetzt wollen wir das Intervall für x zu \left[0;1\right] ändern. Um die Folge jetzt nach oben abzuschätzen, musst du wieder den maximalen Wert für x einsetzen. Das ist in diesem Fall die 1. 1^n ergibt 1 und 1 ist keine Nullfolge. Somit ist die Funktionenfolge auf dem Intervall \left[0;1\right] nicht gleichmäßig konvergent.

Gleichmäßige Konvergenz zeigen – zweites Beispiel

Damit du das Abschätzen nach oben noch einmal siehst, hier ein weiteres Beispiel:

f_n\left(x\right)=\frac{n\sin\funcapply(x)}{n+cos(x)}

auf dem Intervall \left[0,2\pi\right]. Die Grenzfunktion ergibt sich zu Sinus x:

f\left(x\right)=\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{n\sin\funcapply(x)}{n+cos(x)}}=\sin\funcapply(x)

Denn wenn du n gegen Unendlich laufen lässt, ist der Kosinus im Nenner sehr klein gegenüber dem n und kann vernachlässigt werden. Dann kürzt sich n raus und es bleibt der Sinus stehen.

Nun bestimmst du die Differenz von Funktionenfolge und Grenzfunktion und darfst natürlich nicht vergessen den Betrag zu nehmen.

Gleichmäßige Konvergenz Beispiel
Gleichmäßige Konvergenz Beispiel

Du bringst das Ganze auf den gleichen Nenner, kannst es in einem einzigen Bruch schreiben und siehst, dass nsin\left(x\right)-sin\funcapply\left(x\right)n sich genau aufhebt. Somit bleibt der Bruch \frac{sin\left(x\right)cos\funcapply\left(x\right)}{n+cos\left(x\right)} übrig. Diesen wollen wir jetzt nach oben abschätzen. Ein Bruch wird maximal, wenn sein Nenner minimal ist. Das passiert im Fall Cosinus x ist gleich -1, also setzen wir Cosinus x auf -1. Der Bruch wird ebenso maximal, wenn der Zähler maximal ist. Sinus mal Cosinus ist maximal 1 und der Zähler wird daher auf 1 gesetzt. Diese nach oben abgeschätzte Folge \frac{1}{n-1} definierst du als a_n. Es ist eine Nullfolge, so dass du gleichmäßige Konvergenz bewiesen hast.

Regeln für gleichmäßige Konvergenz

Wie versprochen, zeigen wir dir nun noch ein paar nützliche Regeln, die für gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen gelten:

f\left(x_0\right)=\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}f_n\left(x\right)=\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}}f_n\left(x\right)=f(x_0)

Stetigkeit: Wenn f_n gleichmäßig gegen f konvergiert und alle f_n stetig sind, dann ist auch f stetig. Außerdem lassen sich der Folgengrenzwert und der Funktionsgrenzwert vertauschen.

Man kann also bei gleichmäßiger Konvergenz zuerst die Grenzfunktion bilden und dann die Funktion gegen einen bestimmten Punkt x_0 laufen lassen oder umgekehrt. Das Ergebnis ist dasselbe. Das war bei punktweiser Konvergenz nicht immer möglich.

Regeln für gleichmäßige Konvergenz
Regeln für gleichmäßige Konvergenz

\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\int_{a}^{b}{f_n\left(x\right)dx}}=\int_{a}^{b}{\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}

Vertauschung von Integral und Folgengrenzwert: Wenn f_n gleichmäßig auf I=\left[a,b\right] gegen f konvergiert und alle f_n integrierbar sind, dann ist auch f integrierbar. Du kannst das Integral und den Folgengrenzwert miteinander vertauschen.

g=\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{f_n^\prime}=\left(\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{f_n}\right)^\prime=f^\prime

Vertauschung von Ableitung und Folgengrenzwert: Wenn f_n eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen ist, die punktweise gegen f konvergiert, und wenn die Folge der Ableitungen f_n^\prime gleichmäßig gegen eine Funktion g konvergiert, dann ist auch f differenzierbar. Du kannst die Ableitung und das Integral vertauschen.

Diese drei Eigenschaften können Rechnungen mit gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen stark vereinfachen.

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