Mathe für Ingenieure

Funktionenreihen
Funktionenreihen

Du hast noch Probleme mit der Aufstellung von Funktionenreihen? Wenn du dich bereits mit Funktionenfolgen auskennst, ist es garnicht mehr so schwer auch diese Thematik zu verstehen.

Allgemeine Definition

Du kennst Funktionen f(x) und Reihen. Um eine Funktionenreihe zu erhalten, musst du nur noch die Reihenglieder durch einzelne Funktionen ersetzen. Schauen wir uns erst einmal an, wie eine Funktionenreihe definiert ist:

f_m\left(x\right):=\sum_{n=0}^{m}g_n(x), x ∈ I

Funktionenreihen, Funktionenfolgen
Die Glieder werden durch Funktionen ersetzt

Partialsummen aus der Funktionenfolge

Funktionenfolgen kennst du ja schon. g_n ist eine Funktionenfolge auf dem Intervall I. Dann definierst du die zugehörige Funktionenreihe als Folge der Partialsummen. Das erste Folgenglied der Funktionenreihe ist also g_1(x), das zweite ist die Partialsumme g_1\left(x\right)+g_2(x) und so weiter.

Funktionenreihen, Funktionenfolgen
Partialsummen aus den Folgegliedern

Bestimmung der Grenzfunktion

Ist die Funktionenfolge punktweise konvergent, kannst du die Grenzfunktion bestimmen, indem du die Summe bis unendlich laufen lässt. Diese Definition erinnert dich bestimmt stark an die punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen. Das ist kein Zufall, denn die Funktionenreihe ist ein Spezialfall der Funktionenfolge. Daher lassen sich die Begriffe der punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz sowie alle Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Funktionenfolgen unmittelbar auf Funktionenreihen übertragen. Aber Achtung: Wie es auch bei einfachen Reihen geläufig ist, bezeichnet „Funktionenreihe“ oft die Grenzfunktion. Das ist nicht korrekt, aber üblich.

Eigenschaften von Funktionenreihen

Als Nächstes zeigen wir dir noch ein paar zusätzliche Eigenschaften von Funktionenreihen: Zunächst zur Konvergenz.

  • Gleichmäßige Konvergenz:

\left|g_n\left(x\right)\right|\le a_n

Wenn du eine Zahlenfolge a_n findest, mit der du die Funktionenfolge g_n nach oben abschätzen kannst; das heißt eine Folge a_n, so dass die dargestellte Ungleichung stets erfüllt ist und außerdem die Reihe zur Folge a_n konvergiert,

\sum_{n=0}^{\infty}a_n<\infty

gilt folgendes: die Funktionenreihe, \sum_{n=0}^{\infty}{g_n\left(x\right)} konvergiert gleichmäßig.

Funktionenreihen, Funktionenfolgen
Gleichmäßige Konvergenz
  • Stetigkeit:

\sum_{n=0}^{\infty}{g_n(x)}\rightarrow f(x)

Wenn die Funktionenreihe zur Funktionenfolge g_n gleichmäßig gegen f konvergiert und die Funktionen g_n stetig sind, dann ist auch f stetig.

Funktionenreihen, Funktionenfolgen
Stetigkeit
  • Vertauschung von Integral und Summation:
Vertauschung von Integral und Summation

Wenn eine Funktionenreihe auf dem Intervall I=\left[a,b\right] gleichmäßig konvergiert und die Funktionen g_n integrierbar sind, dann ist auch die Grenzfunktion f(x) integrierbar und das Integral und die Summe können vertauscht werden.

  • Vertauschung von Ableitung und Summation:

Wenn eine Funktionenreihe konvergiert und die Reihe der Ableitungen gleichmäßig konvergiert, dann ist die Grenzfunktion  differenzierbar und die Differentiation und die Summe können vertauscht werden.

Vertauschung von Ableitung und Summation

Funktionenreihen – Beispiel

Nach diesen trockenen Regeln gehen wir jetzt noch ein Beispiel durch. Die geometrische Reihe

f\left(x\right)≔\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}=\frac{1}{1-x},I=-r,r

und den Grenzwert der Reihe \frac{1}{1-x} kennst du bereits. Die Reihe ist gleichmäßig konvergent auf I=\left[-r,r\right], sofern 0\le r<1. Dann kann man a_n := r^n setzen.

Funktionenreihen, Funktionenfolgen
Gleichmäßige Konvergenz ist erfüllt

Wir erinnern uns, dass die geometrische Folge unter diesen Voraussetzungen eine Nullfolge ist und somit die Bedingung für gleichmäßige Konvergenz erfüllt ist.

Angenommen, dich interessiert das Integral von Null bis zu einem beliebigen t\in I, auf dem die Funktion gleichmäßig konvergiert.

\int_{0}^{t}f\left(x\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}{\int_{0}^{t}x^ndx}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n+1}}{n+1}=t+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{3}t^3+\ldots

Dann kannst du das Integral und das Summenzeichen vertauschen. Das Integrieren einer Potenz ist dadurch ein Kinderspiel. Im nächsten Schritt schreiben wir die Summe noch aus.

Funktionenreihen, Funktionenfolgen
Vertauschen des Integrals mit dem Summenzeichen

Die zweite Möglichkeit, das Integral zu bestimmen, ist, die Grenzfunktion \frac{1}{1-x} direkt zu integrieren.

\int_{0}^{t}{\frac{1}{1-x}\ }dx = -\ln{(1-t)}

Du erhälst -\ln{\left(1-t\right)}. Aber eigentlich sollte jetzt doch das Gleiche herauskommen wie in der ersten Rechnung, oder? Und das tut es auch!

-\ln{\left(1-t\right)}=t+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{3}t^3+\ldots

Funktionenreihen, Funktionenfolgen
Direkte Integration der Grenzfunktion

Lass dich nicht davon abschrecken, dass sich die Schreibweise der beiden Ergebnisse unterscheidet. Plotte einfach mal die sich ergebenden Funktionen mit einem Funktionsplotter. Die Funktionen stimmen überein!

Ausgezeichnet. Funktionenreihen sind dir jetzt bestimmt gar nicht mehr so fremd und du bist bestens gewappnet, die Welt der Mathematik weiter zu erobern. Also auf zum nächsten Video!

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