Mechanik: Dynamik

Gedämpfte Schwingung

Inhaltsübersicht

Dieser Artikel behandelt die gedämpfte Schwingung, sowie den aperiodischen Grenzfall, Kriechfall und Schwingfall. Diese Fälle entstehen bei unterschiedlich großen Werten der Dämpfungskonstante.

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Gedämpfte Schwingung Definition

Die gedämpfte Schwingung ist durch Reibungsverluste, wie zum Beispiel Luft- oder Gleitreibung charakterisiert. Die, durch die Reibung entstehende Dämpfung, wird mit der Dämpfungskonstante und der Abklingkonstante in einer Schwingungsgleichung mathematisch beschrieben. Als Folge der Dämpferkraft verringert sich die Amplitude der Schwingung schrittweise, bis es zu keiner Auslenkung mehr kommt.

Als Schwingung oder auch Oszillation wird eine zeitlich periodische Änderung einer physikalischen Größe bezeichnet. Der schwingende Körper bewegt sich somit um die sogenannte Ruhelage. Eine Dämpfung ist eine räumliche oder zeitliche Abnahme der Amplitude dieser jeweiligen Schwingung. Sie entsteht durch eine Umwandlung von Schwingungsenergie in andere Energieformen wie zum Beispiel Wärmeenergie.

Die gedämpfte Schwingung wird auch als gedämpfte harmonische Schwingung oder als freie gedämpfte Schwingung bezeichnet. Somit ist sie eine Sonderform der klassischen harmonischen Schwingung. Da nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik eine Schwingung ohne Reibungsverluste (Perpetuum Moblie) unmöglich ist, gibt jedes physikalische System durch Reibung Energie an die Umgebung ab.

Gedämpfte Schwingung Formel

Die gedämpfte Schwingung wird grundsätzlich durch das Zeit-Elongation-Gesetz und die Bewegungsgleichung beschrieben. Anhand dieser Gleichungen lassen sich genaue Fallunterscheidungen treffen.

Zeit-Elongation-Gesetz

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Zeit-Elongation-Gesetz

Die zeitliche Abnahme der Amplitude durch die Dämpfung lässt sich mit einer Exponentialfunktion, dem Zeit-Elongation-Gesetz ausdrücken. Elongation bezeichnet die momentane Auslenkung eines schwingenden Körpers gegenüber der Ruhelage. Mit der Anfangsamplitude y_0 kann die Maximalauslenkung zu jedem beliebigen Zeitpunkt t dargestellt werden. Die Formel lautet dann:

y_{max}=\ y_0\cdot e^{-d\cdot t}

e^{-d\cdot t} gibt hierbei die Abnahme der Amplitude in Abhängigkeit von der Zeit an. Die Dämpfungskonstante mit Formelzeichen d, manchmal auch k, gibt die Stärke der Dämpfung an.

Wenn nun die Auslenkung einer gedämpften Schwingung beschrieben werden soll, muss der Ausdruck für y_{max} in die Schwingungsgleichung für harmonische Schwingungen eingesetzt werden. Die Herleitung der Schwingungsgleichung für ein Fadenpendel wurde im Artikel harmonische Schwingungen schon ausführlich behandelt. Bei dem gedämpften Fadenpendel wird einfach noch ein Ausdruck mit der Dämpfungskonstante hinzugefügt.

Man erhält für die Auslenkung einer gedämpften Schwingung:

y(t)\ =\ y_0\cdote^{-dt}\cdot\sin{(\omega t)} bzw. y(t)\ =\ y_0\cdot e^{-dt}\cdot\cos{(\omega t)}

Dämpfungsmaß

Der Verlauf des schwingenden Systems nach einer Anregung kann mit dem dimensionslosen Dämpfungsmaß D, auch Dämpfungsgrad oder Lehrsches Dämpfungsmaß genannt, beschrieben werden. Es gilt:

D=\frac{d}{2m\omega_0}

Mit der Masse m, der Dämpfungskonstante d und der Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems \omega_0.

Bewegungsgleichung

Um die gedämpfte Schwingung zu beschreiben, wird eine mathematische Bewegungsgleichung oder auch Schwingungsgleichung verwendet. Diese bildet die räumliche und zeitliche Entwicklung des mechanischen Systems ab. Die Bewegungsgleichung für das Federpendel wird im Artikel Schwingungsgleichung Federpendel genauer beschrieben.

Bewegungsgleichung gedämpfte Schwingung

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Federpendel

Die Bewegungsgleichung für die gedämpfte Schwingung ist relativ ähnlich zur allgemeinen Schwingungsgleichung. Sie soll hier anhand eines Federpendels dargestellt werden. Für die Beschreibung ist die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems notwendig. Da sich das Federpendel eindimensional bewegt, genügt eine vektorielle Größe x. Die Bewegungsgleichung eines Pendels mit einer zur Geschwindigkeit proportionalen Dämpfung ist:

m\ddot{x}+d\dot{x}+kx\ =\ 0

Hier handelt es sich um eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit der Masse m und der Federkonstante k . Diese gibt das Verhältnis der auf eine Feder wirkenden Kraft zur dadurch entstehenden Auslenkung der Feder an und wird manchmal auch mit D bezeichnet. Im Artikel Federkonstante wird näher auf diese eingegangen. Durch Lösung dieser Differentialgleichung lässt sich eine Fallunterscheidung nach der Stärke der Dämpfung aufstellen.

Fallunterscheidung Dämpfungskonstante

Die ungedämpfte Eigenfrequenz  \omega_0=\ \sqrt{\frac{k}{m}} ist bereits aus unserem Artikel Schwingungsgleichung Federpendel bekannt. Die Abklingkonstante \delta=\frac{d}{2m} steht bei positivem Vorzeichen für eine abklingende Schwingung und bei negativem Vorzeichen für eine exponentiell zunehmende Schwingung. Diese beiden Konstanten gelten als Voraussetzung für die folgende Fallunterscheidung.

Durch Einsetzen dieser Konstanten erhalten wir die Differentialgleichung in ihrer allgemeinen Form:

\ddot{x}+2\delta\dot{x}+\omega_0^2x=0

Zur Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung wird der Ansatz x(t)=e^{\lambda t} verwendet.

Es ergibt sich:

\left(\lambda^2+2\delta\lambda+\omega_0^2\right)e^{\lambda t}=0

Da e^{\lambda t} nicht null werden kann, betrachten wir nur den Ausdruck in der Klammer. Dessen Nullstelle kann durch Anwendung der Mitternachtsformel bestimmt werden:

\lambda_{1,2}=-\delta\pm\sqrt{\delta^2\ -\ \omega_0^2}

Diese Lösung der Differentialgleichung kann als Linearkombination für beide Parameter dargestellt werden.

x(t)=X_1e^{\lambda_{1t}}+{X_2e}^{\lambda_2t}

X_1 und X_2 sind die Freiheitsgrade der Funktion. Die Diskriminante \delta^2\ -\ \omega_0^2 kann unterschiedliche Ausprägungen annehmen. Je nachdem, wie groß die Dämpfungskonstante und damit die Abklingkonstante ist kommt es zu der Fallunterscheidung.

Schwingfall

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Schwingfall

Wenn die Dämpfungskonstante und die Abklingkonstante kleiner als die Eigenfrequenz \delta^2\ <\ \omega_0^2 des Systems ist, wird die Diskriminante \delta^2\ -\ \omega_0^2 negativ. So wird auch die Wurzel negativ und man erhält zwei konjugiert komplexe Lösungen \lambda_{1,2}=-\delta\pm i\sqrt{\omega_0^2\ -\ \delta^2}.

Wir erhalten als Linearkombination:

x(t)=e^{-\delta t}(X_1e^{\sqrt{\delta^2\ -\ \omega_0^2}\cdot t}+{X_2e}^{-\sqrt{\delta^2\ -\ \omega_0^2}\cdot t})

Die Konstanten X_1 und X_2 sind die Freiheitsgrade der vorhandenen Lösung, auf deren Berechnung im Artikel Schwingungsgleichung Federpendel eingegangen wird.

Mit der eulerschen Formel e^{iz}=\cos{z}+i\sin{z} ergibt sich:

x(t)=x_{0\ }\cdot e^{-\delta t}\cdot\cos{(\sqrt{\omega_0^2\ -\ \delta^2}}\cdot t)

mit der Anfangsamplitude x_0. Dieser Fall wird als Schwingfall bezeichnet.

Aperiodischer Grenzfall

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Aperiodischer Grenzfall

Der aperiodische Grenzfall gibt den Punkt im schwingenden System an, an dem keine Schwingung mehr möglich ist. Die Dämpfungskonstante und daher die Abklingkonstante sind gleich der Eigenkreisfrequenz \delta^2\ =\ \omega_0^2 und somit ist \lambda_1=\lambda_2=-\delta. Der Oszillator kehrt in einer sehr schnellen Zeit zu seiner Ruhelage zurück. Der aperiodische Grenzfall wird auch als kritische Dämpfung bezeichnet.

Als Ansatz zur Lösung dieser doppelten Nullstelle muss eine zweite Lösung unabhängig kreiert werden:

x(t)=X_1\cdot e^{-\delta t}+X_2\cdot t\cdot e^{-\delta t}=X_1\cdot e^{-\delta t}\cdot(1+\delta t)

Kriechfall

Der letzte Fall ist der Kriechfall. Dieser entsteht bei einer hohen Dämpfungskonstante bzw. Abklingkonstante und einer vergleichsweise niedrigen Eigenkreisfrequenz \delta^2\ >\ \omega_0^2. Die Schwingungsamplitude nach der Zeit x(t) für den Kriechfall setzt sich aus zwei reellen Lösungen zusammen:

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Kriechfall

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