Thermodynamik

Isentrope Zustandsänderung

Inhaltsübersicht

Ein isentroper Prozess in der Thermodynamik ist ein Prozess, bei dem sich die Entropie S des Systems nicht verändert.

S=const
\Delta S=0

Diese isentropen Prozesse finden in adiabaten reversiblen Systemen statt. Daher erfolgt während der isentropen adiabaten Zustandsänderung kein Wärmeumsatz.

Q=0

Außerdem ist die Dissipationsarbeit null, weil es sich um einen reversiblen Prozess handelt.

W_{diss}=0

Umgekehrt muss das allerdings nicht zutreffen.
Eine isentrope Zustandsänderung kann auch irreversibel ablaufen, wobei Entropie erst produziert und dann wieder über einen Wärmestrom abgeführt werden muss. In diesem Fall ist der Zustand allerdings nicht mehr adiabat.

Merke dir also: Ein adiabater reversibler Prozess ist immer isentrop, ein isentroper Prozess muss aber nicht immer reversibel adiabat sein.

Isentrope Zustandsänderung Herleitung

Kommen wir wieder zur Entropie zurück. Für die Entropieänderung gilt:

\Delta S=S_2-S_1=\int_{1}^{2}\frac{dQ+{dW}_{diss}}{T}=0

Da bei der adiabaten Zustandsänderung die Wärmeänderung dQ=0 und auch die Änderung der Dissipationsarbeit dW_{diss}=0 null ist, gilt:

\Delta S=S_2-S_1= 0

Thermische Zustandsgleichungen

Betrachten wir nun die Berechnung der thermischen Zustandsgrößen. Für die Entropieänderung eines idealen Gases gilt:

dS=c_V\cdot\frac{dp}{p}+c_p\cdot\frac{dV}{V}

dp und dV beschreiben dabei die Änderung des Druckes und des Volumens. c_p und c_v sind die isochore und die isobare spezifische Wärmekapazität des Stoffes. c_p ist dabei stets größer als c_v . Isochore Wärmekapazität bedeutet, dass hier die Wärmemenge, die je Kelvin Temperaturerhöhung zugeführt werden muss, bei einem konstanten Volumen angegeben wird. Bei der isobaren Wärmekapazität wird hingegen nur der Druck konstant gehalten.
Durch Umformen und Einsetzen der Entropieänderung dS=0 ergibt sich:

\kappa\ =\ -\ \frac{c_p}{c_v}\ \cdot\ \frac{V}{p}\frac{dp}{dV}\ =\ \frac{c_p}{c_v}\ =\ \kappa

Der Isentropen-Exponent ist grundsätzlich einheitslos und größer als eins. Integrieren und entlogarithmieren wir die Differentialgleichung bei einem konstanten Kappa, dann lautet die Lösung:

p\cdot V^k=konst.

Für zwei beliebige Zustände eines idealen Gases gilt dann:

p_1\cdot V_1^\kappa=p_2\cdot V_2^\kappa

Wenn wir für beide Zustände das ideale Gasgesetz annehmen

p_1\cdot V_1=m\cdot R_i\cdot T_1\ und\ p_2\cdot V_2=m\cdot R_i\cdot T_2

und dieses umformen, dann erhalten wir die thermischen Zustandsgleichungen:

\frac{T_1}{T_2}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\kappa-1}
\frac{T_1}{T_2}={(\frac{p_1}{p_2})}^\frac{\kappa-1}{\kappa}

P-V Diagramm

Eine wichtige Darstellungsform ist das p-V-Diagramm. Vergleichen wir den Kurvenverlauf mit dem einer isothermen Zustandsänderung, fällt auf, dass der Verlauf deutlich steiler ist.

Isentrope Zustandsänderung, isotherm
Isentrope Zustandsänderung p-V Diagramm

Der Grund dafür ist, dass der Exponent des Volumens aufgrund des Isentropenexponentens Kappa größer als eins sein muss.

T-S Diagramm

Als nächstes schauen wir uns das T-S Diagramm an. Eine Entropieänderung liegt vor, wenn Wärmeenergie transportiert wird \Delta S=\frac{Q}{T} .

Isentropische Zustandsänderung, Entropieänderung
Isentropische Zustandsänderung T-S Diagramm

Da dies beim adiabaten isentropen Prozess nicht der Fall ist, ändert sich die Temperatur nicht und die Isotrope verläuft parallel zur y-Achse.

Volumenänderungsarbeit

Die Volumenänderungsarbeit ist die Fläche unter der Isentropen im p-V-Diagramm.

Isentrope Zustandsänderung, Innere Energie
Volumenänderungsarbeit

Sie kann mit der Formel für die inneren Energie berechnet werden. Dabei ergeben sich sechs mögliche Methoden, um die Volumenänderungsarbeit zu berechnen. Wir werden hier die drei wichtigsten besprechen. Es gilt:

U_2-U_1=Q+W_v+W_{diss}

Da wir hier von einem adiabaten System ausgehen, kann die Formel gekürzt werden:

(1)                                   {W_v=U}_2-U_1

Dies ist unsere erste Gleichung. Eine weitere Möglichkeit ist die Verwendung der kalorischen Gleichung der Volumenänderungsarbeit in Verbindung mit den thermischen Zustandsgleichungen für ideale Gase.

W_v=m\cdot c_{vm}\int_{T1}^{T2}{(T_2-T_1)}
m\cdot R_i\cdot T_1=p_1V_1
m\cdot R_i\cdot T_2=p_2V_2
\frac{T_2}{T_1}=\frac{p_2V_2}{p_1V_1}

Durch umformen und einsetzen dieser Gleichungen erhalten wir die zweite und dritte Gleichung für die Volumenänderungsarbeit:

(2)                                   W_v=\frac{p_1V_1}{k-1}\left(\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{k-1}-1\ \right)
(3)                                   W_v=\frac{p_1V_1}{k-1}\left(\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^\frac{k-1}{k}-1\ \right)

Reversible technische Arbeit

Die technische Arbeit, auch Druckänderungsarbeit genannt, ist die Fläche neben der Isentropen bis zur Druck-Achse im p-V-Diagramm.

Isentrope Zustandsänderung, Enthalpieänderung, reversibel, p-V-Diagramm
Reversible technische Arbeit

Wir können diese berechnen, indem wir die Volumenänderungsarbeit mit dem Isentropenexponenten multiplizieren:

W_t^{rev}=\kappa\cdot W_V

Mathematisch kann diese Formel wie folgt aus der Gleichung aus der Änderung der Enthalpie abgeleitet werden.

\Delta H=H_2-H_1=W_t^{rev}+W_{diss}+Q

Da hier ein reversibler Prozess vorliegt, sind Q und W_{diss} gleich null. Deshalb kannst du die Enthalpieänderung auch so schreiben:

\Delta H=W_t^{rev}=m\cdot c_{pm}\int_{T1}^{T2}{(T_2-T_1)}

Beachten wir den folgenden Zusammenhang von Kappa, formen diesen nach c p m um und setzten ihn in die Formel für die Enthalpieänderung ein

k=\frac{c_p}{c_v}=\frac{c_{pm}\int_{T1}^{T2}\ }{c_{vm}\int_{T1}^{T2}\ }

Erhalten wir für die technische Arbeit folgenden Ausdruck:

\Delta H=W_t^{rev}=m\cdot k \cdot c_{pm}\int_{T1}^{T2}{(T_2-T_1)}

Wie wir bereit wissen ist m\cdot c_{vm}\int_{T1}^{T2}{(T_2-T_1)} die Volumenänderungsarbeit. Fasst man dies wiederum zusammen, ergibt sich unsere anfängliche Formel der technischen Arbeit

W_t^{rev}=\kappa\ast W_V

Sehr schön! Nun kannst du die thermischen Zustandsgleichungen aufstellen und die Volumenarbeit berechnen. Außerdem kennst du die reversible technische Arbeit.

Ergänzung zu Volumenänderungsarbeit

Die Volumenänderungsarbeit ist die Fläche unter der Isentropen im p-V-Diagramm .

Isentrope Zustandsänderung, p-V-Diagramm
Volumenänderungsarbeit

Sie kann mit der Formel für die inneren Energie berechnet werden. Dabei ergeben sich sechs mögliche Methoden, um die Volumenänderungsarbeit zu berechnen.

U_2-U_1=Q+W_v+W_{diss}

Da wir hier von einem adiabaten System ausgehen, kann die Formel gekürzt werden:

(1)                                               {W_v=U}_2-U_1

Eine weitere Möglichkeit ist die Verwendung der kalorischen Gleichung:

W_v=m\cdot c_{vm}\int_{T1}^{T2}{(T_2-T_1)}

Wir formen die folgende Gleichung nach c_v um und setzen sie oben ein:

k=1+\frac{R_i}{c_v} \rightarrow c_v=\ \frac{R_i}{k\ -\ 1}

Damit erhalten wir die zweite Methode.

(2)                                              W_v=m\cdot \frac{R_i}{k-1}\left(T_2-T_1\right)

Nun kann die Klammer aufgelöst werden und die thermische Zustandsgleichung idealer Gase in die Formel eingesetzt werden.

W_v=m\cdot \frac{m\cdot R_i\cdot T_2}{k-1}\cdot \frac{m\cdot R_i\cdot T_1}{k-1}

Mit m\cdot R_i\cdot T_1=p_1V_1
Mit m\cdot R_i\cdot T_2=p_2V_2

Wir erhalten die dritte Gleichung:

(3)                                              W_v=\frac{1}{k-1}\left(p_2V_2-p_1V_1\right)

Für die vierte Methode nehmen wir wiederum die thermischen Zustandsgleichungen idealer Gase und teilen sie durcheinander.

Mit m\cdot R_i\cdot T_1=p_1V_1
Mit m\cdot R_i\cdot T_2=p_2V_2
\frac{T_2}{T_1}=\frac{p_2V_2}{p_1V_1}

Wir formen nach p_2V_2 um und setzten sie in die dritte Gleichung ein.

p_2V_2=\frac{T_2}{T_1}\cdot p_1V_1
W_v=\frac{1}{k-1}\left(\frac{T_2}{T_1}\cdot p_1V_1-p_1V_1\ \ \ \right)

Durch ausklammern von p_1V_1 (p 1 v 1) ergibt sich die vierte Gleichung für die Volumenänderungsarbeit:

(4)                                              W_v=\frac{p_1V_1}{k-1}\left(\frac{T_2}{T_1}-1\ \right)

Die fünfte und sechste Gleichung leitet sich ebenfalls aus den bereits dargestellten Zusammenhängen ab und sehen so aus:

(3)                                             W_v=\frac{p_1V_1}{k-1}\left(\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{k-1}-1\ \right)
(3)                                              W_v=\frac{p_1V_1}{k-1}\left(\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^\frac{k-1}{k}-1\ \right)

Welche der Gleichungen angewendet wird, hängt von den gegebenen Größen ab.


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