Thermodynamik

Isochore Zustandsänderung

Inhaltsübersicht

In diesem Beitrag betrachten wir isochore Zustandsänderungen. Du erfährst, wie sich der Verlauf im p-V- sowie im T-s-Diagramm darstellt und wie sich die thermischen Zustandsgrößen verhalten.

Die isochore Zustandsänderung gehört zusammen mit der isobaren und isothermen, zu jenen Zustandsänderungen, bei denen eine thermische Zustandsgröße konstant bleibt. Im isochoren Fall ist dies das Volumen. Der Begriff „isochor“ kommt aus dem Griechischen und bedeutet „gleicher Raum“.

Thermische Zustandsgleichung

Im Gegensatz zum Volumen ändern sich während des Prozesses die Temperatur und der Druck. Der Grund dafür ist der Wärmetransport. Wird einem Gas, bei konstantem Volumen, Wärme zugeführt, dann erhöht sich die Temperatur und die innere Energie, welche wiederum den Druck im System steigen lässt.

Aber ganz langsam von Anfang an. Betrachten wir zunächst die thermische Zustandsgleichung, welche allgemein mit

p \cdot V = m \cdot R_i \cdot T = n \cdot R \cdot T

gegeben ist und erinnern uns dabei an die isochore Einschränkung eines konstanten Volumens

v = const. oder \Delta v = 0,

dann erhalten wir für die Zustandsgleichung folgende Beziehung zwischen Druck p und Temperatur T:

\frac{p_2}{p_1} =\frac{T_2}{T_1}

Diese Formel ermöglicht es uns, Zustandsgrößen des ersten Zustands oder des zweiten Zustands zu berechnen, indem wir diese einfach nach der gesuchten Größe umformen.

p-V und T-s-Diagramm

Schauen wir uns nun das p-V-Diagramm und das T-s-Diagramm an.

Im p-V-Diagramm verläuft die Zustandskurve wenig überraschend vertikal bzw. parallel zur p-Achse (vertikale Achse). Bei isochoren Zustandsänderungen bleibt das Volumen schließlich konstant, es gilt v = const.

Im T-s-Diagramm stellt sich ein exponentieller Verlauf ein.

Isochore Zustandsänderung p-V-Diagramm T-s-Diagramm Thermodynamik
Darstellung im p-V-Diagramm und T-s-Diagramm

Berechnung der Volumenarbeit

Bei der isochoren Zustandsänderung findet keine Volumenänderungsarbeit statt, da das Volumen konstant ist und sich nicht ändert. Daher gilt für den Term der Volumenänderungsarbeit folgendes:

w_v_,_1_2 = - \int\limits_{1}^{2} p \cdot \mathrm{d}v = 0

Wir könnten die Volumenänderungsarbeit im p-V-Diagramm grafisch darstellen. Dabei würde die Fläche unter der Kurve zur V-Achse (horizontalen Achse) diese Arbeit beschreiben. Da die Isochore im p-V-Diagramm aber als Senkrechte dargestellt wird, existiert auch keine Fläche und die Volumenänderungsarbeit ist somit gleich null.

Druckänderungsarbeit

In einem offenen System mit konstantem Volumen (v=const.) ergibt sich für die technische Arbeit (oder auch Druckänderungsarbeit):

w_t_,_1_2 = \int\limits_{1}^{2} v \cdot dp = v \cdot (p_2 - p_1)

Setzt man in diese Gleichung die thermische Zustandsgleichung ein, erhält man:

w_t_,_1_2 = R \cdot (T_2 - T_1)

Auch die Druckänderungsarbeit können wir im p-V-Diagramm grafisch darstellen. Diese entspricht dabei der Fläche zwischen dem Graph und der p-Achse (der vertikalen Achse).

Isochore Zustandsänderung: p-V-Diagramm

Wärme

Betrachten wir nun den Wärmetransfer Q_1_2 der isochoren Zustandsänderung. Die Formel für die innere Energie für ein geschlossenes System lässt sich wie folgt darstellen:

U_2 - U_1 = Q_1_2 + w_v_,_1_2 + w_d_i_s_s

W_d_i_s_s beschreibt dabei die bei irreversiblen Prozessen relevante Dissipationsarbeit. Bei reversiblen Prozessen gilt w_d_i_s_s = 0. Wie wir oben festgestellt haben, ist bei der isochoren Zustandsänderung die Volumenänderungsarbeit gleich null, deswegen folgt für die Wärme Q_1_2:

Q_1_2 = U_2U_1 - w_d_i_s_s

oder

Q_1_2 = \Delta U - w_d_i_s_s= c_v \cdot (T_2T_1) - w_d_i_s_s (für irreversiblen Prozess)

Q_1_2 = \Delta U = c_v \cdot (T_2T_1) (für reversiblen Prozess)

oder

Q_1_2 = \Delta U = \frac{3}{2} \cdot N \cdot k \cdot \Delta T

(mit N = Anzahl der Teilchen, k = Boltzmann-Konstante, \Delta T = Temperaturdifferenz)

Die Fläche zwischen dem Graphen und der s-Achse (horizontale Achse) im T-s-Diagramm entspricht der zugeführten Wärmeenergie.

Isochore Zustandsänderung: T-s-Diagramm

Entropie

Die Ausgangsformel für die Entropieänderung mit v = const. lautet:

\Delta s = s_2s_1 = \int\limits_{1}^{2} \frac{dU}{T}

Schauen wir uns nun die Entropieänderung genauer an und integrieren die eben erhaltene Gleichung, können wir damit die Entropieänderung berechnen:

s_2 - s_1 = c_v \cdot ln\frac{T_2}{T_1} = c_v \cdot ln\frac{p_2}{p_1}

Fassen wir kurz zusammen, was wir gelernt haben. Bei der isochoren Zustandsänderung bleibt das Volumen konstant. Daher ist die Zustandskurve im p-V-Diagramm eine Gerade. Es wird nur Wärmeenergie transportiert und keine Volumenänderungsarbeit verrichtet. Außerdem können wir die Druck- und Volumenänderungsarbeit sowie die Wärmezufuhr im p-V- und T-s-Diagramm nachvollziehen.


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