Mechanik: Dynamik

Kinematik des Massenpunktes

Inhaltsübersicht

Du willst wissen was die Kinematik des Massenpunktes eigentlich ist? Genau das erklären wir dir in diesem Beitrag!

Erklärung und Beispiel am schiefen Wurf

Als erstes solltest du wissen was mit Kinematik des Massenpunktes überhaupt gemeint ist: Hier geht es um die reine Bewegung des Massenpunktes, ohne die Ursache dafür zu betrachten.
Um zu sehen wie sich der Massenpunkt bewegt, brauchen wir Größen, die die Bewegung beschreiben können. Dafür führen wir drei Vektoren ein: den Ortsvektor r, den Geschwindigkeitsvektor v und den Beschleunigungsvektor a.

\vec{r}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right),\ \vec{v}=\left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right),\ \vec{a}=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)

Orts- und Geschwindigkeitsvektor

Damit können wir nun die Bewegung exakt beschreiben. Doch was genau sind diese Vektoren und wie stehen sie miteinander in Zusammenhang? Grundsätzlich beschreibt der Ortsvektor den Ort, der Geschwindigkeitsvektor die Geschwindigkeit und der Beschleunigungsvektor die Beschleunigung, an dem Ort, an dem sich der betrachtete Massenpunkt gerade befindet. Der Zusammenhang der drei Größen könnte dir auch noch aus der Schule bekannt sein: die Geschwindigkeit hast du als delta x durch delta t kennen gelernt. Wenn wir das verallgemeinern und die Deltas sehr klein machen, erkennen wir, dass die Geschwindigkeit v die erste Ableitung des Orts r ist. Das Gleiche kannst du für die Beschleunigung machen. Wie du siehst ist diese die erste Ableitung der Geschwindigkeit, und damit die zweite Ableitung des Ortes ist.

Nachdem du jetzt weißt wie du die Bewegung generell beschreiben kannst, solltest du noch die zwei wichtigsten Koordinatensysteme kennen. Das kartesische und das bahnbegleitende Koordinatensystem.
Wir beginnen mit dem kartesischen Koordinatensystem. Es hat einen festen Ursprung mit einer x-, einer y-, und einer z-Achse. Hier können wir die Zusammenhänge ganz einfach darstellen:

\vec{r}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right),\ \ \vec{v}=\dot{\vec{r}}=\left(\dot{\begin{matrix}x\\\dot{y}\\\dot{z}\\\end{matrix}}\right),\ \ \vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\left(\ddot{\begin{matrix}x\\\ddot{y}\\\ddot{z}\\\end{matrix}}\right)

Das heißt wenn wir das Zeitintervall kennen, können wir mit Hilfe der Beschleunigung, den Ort und auch die Geschwindigkeit bestimmen. Dazu müssen wir die Beschleunigung ein bzw. zwei Mal Integrieren.

\vec{r}=\int_{\mathbit{t}_\mathbf{0}}^{\mathbit{t}}{\vec{v}dt}=\iint_{t_0}^{t}{\vec{a}dt^2}

Das bahnbegleitende Koordinatensystem

Als zweites betrachten wir das bahnbegleitende Koordinatensystem: Hier ist die Ausgangslage, dass wir den Ort durch einen Parameter s ausgedrückt darstellen wollen. So können wir den Ortsvektor als r von s darstellen und zu jedem Ortsvektor ein Koordinatensystem mit dem Ursprung im Massenpunkt aufspannen. Das Koordinatensystem hat nun auch drei zueinander senkrechte Achsen, die durch Einheitsvektoren definiert werden.

Bahnbegleitendes Koordinatensystem
Bahnbegleitendes Koordinatensystem

Als erstes betrachten wir den Tangenteneinheitsvektor „et“ der sich über die Richtung der Tangentialgeschwindigkeit „vt“ definiert und somit orts- und zeitabhängig ist. Weiterhin gibt es noch den Normaleneinheitsvektor „en“. Dieser steht senkrecht zur Bahn und wird als zweites gebildet. Dementsprechend müssen wir im ebenen Fall nur diese beiden Einheitsvektoren betrachten.

Im räumlichen Fall gibt es noch den dritten Einheitsvektor, der Binormalenvektor „eb“ genannt wird , da er das Ergebnis des Kreuzproduktes der anderen beiden bildet. Da das Koordinatensystem selbst Ortsabhängig ist, betrachten wir nur Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Es ergibt sich für die Geschwindigkeit:

\vec{v}=\left(\begin{matrix}v_t\\v_n\\v_b\\\end{matrix}\right)

Hier kann die Geschwindigkeit auch vom Parameter s abhängig sein, sodass es sowohl v von t als auch v von s gibt.
Für die Beschleunigung wird es etwas komplexer: Als erstes wenden wir die Produktregel an und erweitern den zweiten Term um ds durch dt.

Umstellen nach Tangentialbeschleunigung
Umstellen nach Tangentialbeschleunigung

Der erste Teil des Terms bildet nun die sogenannte Tangentialbeschleunigung. Der zweite Term sieht etwas komplexer aus. Schauen wir ihn uns also genauer an. Da ds nach dt der Definition für die Geschwindigkeit v entspricht, erhalten wir:

v\frac{d\vec{e_t}}{ds}\frac{ds}{dt}=v^2\frac{d\vec{e_t}}{ds}

Jetzt müssen wir nur noch herausfinden, was d et nach ds bedeutet. Als erstes bestimmen wir die Richtung. Dazu überlegen wir uns wie das Skalarprodukt von d et nach ds mit et aussieht.

\frac{d\vec{e_t}}{ds}\ast\vec{e_t}=\frac{1}{2}\frac{d\left(\vec{e_t}\ast\vec{e_t}\right)}{ds}=0

Hier haben wir die Kettenregel rückwärts angewandt. Das Skalarprodukt von einem Einheitsvektor mit sich selbst ist immer eins. Die Ableitung wiederrum ist 0. Wenn das Skalarprodukt 0 ist heißt das, dass der Vektor senkrecht zu et sein muss. Du kannst dir also denken, dass d et nach ds in Richtung en zeigt.

Infitisimale Betrachtung des Massenpunktes

Als nächstes wollen wir wissen wie der Betrag von d et nach ds ist. Dazu verwenden wir den Ortsabhängigen „Schmiegkreis“. Dieser berührt die Bahn des Massenpunktes und hat genau im Berührpunkt die gleiche Tangente wie die Bahn. Der Radius R ist also auch ortsabhängig. Auf dem Schmiegkreis betrachten wir jetzt die infinitesimale Bewegung des Massenpunktes. Diese beschreiben wir durch ds gleich R mal d alpha. Wir erweitern dann d et nach ds um d alpha nach d alpha und erhalten mit Hilfe des Normaleneinheitsvektors, der genau in die Mitte des Schmiegkreises zeigt:

\frac{d\vec{e_t}}{ds}=\frac{d\vec{e_t}}{d\alpha}\frac{d\alpha}{ds}=\frac{d\vec{e_t}}{d\alpha}\frac{1}{R}=\frac{1}{R}\vec{e_n}

Der Schmiegkreis
Der Schmiegkreis

Du fragst dich sicher warum d et nach d alpha gleich en ist. Das liegt daran, dass et immer tangential zur Bahn liegt. Wenn sich die Richtung der Bahn ändert, verändert sich also auch die Richtung von et. Die Änderung um Alpha entspricht hierbei genau der Richtung von en, sodass der Massenpunkt weiter auf dem Schmiegkreis bleiben kann.
Wir erhalten nun für die Beschleunigung:

\vec{a}=\dot{v}\ast\vec{e_t}+\frac{v^2}{R}\vec{e_n}

Damit haben wir eine Tangentialbeschleunigung und eine Normalbeschleunigung.

Beispiel am schiefen Wurf

Das klingt jetzt alles noch etwas kompliziert. Verständlicher wird das, wenn wir einen schiefen Wurf betrachten: Wir werfen eine Masse, z.B. einen Ball unter einem Winkel Alpha in die Luft und betrachten die Kurve. Das ganze System befindet sich im Erdschwerefeld. Zur Vereinfachung machen wir diese Betrachtung im ebenen Fall.

Schiefer Wurf
Schiefer Wurf

Wir starten bei x0 und y0. Zu Beginn, also bei t=0, haben wir eine Geschwindigkeit mit Betrag v0. Unsere Beschleunigung ist konstant und gegeben durch die Erdbeschleunigung. So ergibt sich zu Beginn für unsere Vektoren im kartesischen Koordinatensystem:

\vec{r_0}=\left(\begin{matrix}x_0\\y_0\\\end{matrix}\right),\ \vec{v_0}=\left(\begin{matrix}v_0\cos{\left(\alpha\right)}\\v_0\sin{\left(\alpha\right)}\\\end{matrix}\right)\ und\ \vec{a}=\left(\begin{matrix}0\\-g\\\end{matrix}\right)\

Um jetzt r von t heraus zu finden, integrieren wir als erstes die Beschleunigung und setzten die Anfangsbedingung, dass v zum Zeitpunkt null v0 sein soll, ein.

V=\int_{0}^{t}{\ \vec{a}dt+\vec{v_0}}=\left(\begin{matrix}0\\-g\ast t\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}v_0\cos{\left(\alpha\right)}\\v_0\sin{\left(\alpha\right)}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}v_0\cos{\left(\alpha\right)}\\-g\ast t+v_0\sin{\left(\alpha\right)}\\\end{matrix}\right)

Wenn wir nochmals integrieren ergibt das:

r\left(t\right)=\left(\begin{matrix}v_0\cos{\left(\alpha\right)}\ast t\\-\frac{g\ast t^2}{2}+v_0\sin{\left(\alpha\right)\ast t}\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}x_0\\y_0\\\end{matrix}\right)

Jetzt möchten wir noch die Bahnkurve, also y von x herausfinden. Dazu eliminieren wir t indem wir die x-Position nach t umstellen. Dabei betrachten wir den Ortsvektor dessen erste Zeile die x-Koordinate ergibt. So bekommen wir folgende Gleichung:

x=v_0\cos{\left(\alpha\right)}\ast\ t+x_0

die stellen wir nach t um und erhalten:

t=\frac{x-x_0}{v_0\cos{\left(\alpha\right)}}

Danach setzen wir den Wert für t ein:

Y=-\frac{g\ast\left(\frac{x-x_0}{v_0\cos{\left(\alpha\right)}}\right)^2}{2}+v_0\sin{\left(\alpha\right)\ast\frac{x-x_0}{v_0\cos{\left(\alpha\right)}}}+y_0=-\frac{g\ast\left(x-x_0\right)^2}{2{v_0}^2{\cos{\left(\alpha\right)}}^2}+\left(x-x_0\right)\tan{\left(\alpha\right)}+y_0

Du siehst mit diesem Video ist die Kinematik gleich etwas verständlicher und du kannst von Anfang an in der Uni am Ball bleiben. Viel Erfolg und bis bald!


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