Mechanik: Dynamik

Kinematik des starren Körpers

Inhaltsübersicht

Du fragst dich was ist mit der Kinematik des starren Körpers gemeint ist? Das zeigen wir dir in diesem Beitrag.

Bewegung und Beschleunigung des starren Körpers

Wie du vielleicht schon weißt, bedeutet Kinematik eigentlich nur, dass wir die Bewegung an sich, ohne ihre Ursache betrachten. Im Vergleich zum Massenpunkt schauen wir uns hier einen Körper an, der eine definierte Größe hat.
Zu Beginn sollten wir noch klären unter welchen Vorrausetzungen wir die Betrachtung machen dürfen:

  1. Der Körper muss kontinuierlich sein. Das heißt er ist in sich miteinander verbunden. Du kannst dir das so vorstellen, als bestünde der Körper aus unendlich vielen Massenpunkten, die untereinander verbunden sind.
  2. Der Körper ist fest. Das klingt natürlich logisch. Aber auch das ist eine Voraussetzung, weil man ja auch Gase oder Flüssigkeiten betrachten kann.
  3. Die Verformung wird vernachlässigt. So müssen wir nur die Bewegung betrachten.

Nach dem wir die Voraussetzungen geklärt haben, überlegen wir noch welche Freiheitsgrade es gibt. Aus der Statik ist dir sicher noch bekannt, dass es im räumlichen sechs Freiheitsgrade gibt. Diese gibt es auch hier, doch diesmal kann sich der Körper bewegen. Deshalb müssen wir auch die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in den jeweiligen Richtungen berücksichtigen.

Bewegung des Körpers

Als nächstes betrachten wir die Bewegung des Körpers. Prinzipiell gibt es hier wieder einen Orts-, einen Geschwindigkeits-, und einen Beschleunigungsvektor. Stell dir zu Beginn einen beliebigen Körper, z.B. eine Kartoffel, vor und setze dir darauf zwei Punkte, die A und B genannt werden. Gemäß den Voraussetzungen wissen wir, dass der Abstand der beiden Punkte immer gleichbleiben muss. Den Punkt A wollen wir nun mit Hilfe des Punktes B beschreiben:

\vec{r_A}=\vec{r_B}+\vec{r_{BA}}

Hier ist r b a der Vektor von Punkt B zu Punkt A. Wir gehen also erst zu Punkt B und dann weiter zu Punkt A, um diesen zu beschreiben. Diese beiden Punkte müssen aber nicht dieselbe Geschwindigkeit haben. Das geschieht, wenn sich der Körper dreht. Wollen wir nun die absolute Geschwindigkeit des Punktes A bestimmen, können wir das mit Hilfe der vorher aufgestellten Summe machen, indem wir den Term ableiten und erhalten:

\dot{\vec{r_A}}=\dot{\vec{r_B}}+\dot{\vec{r_{BA}}}

Nun fragst du dich sicher was r b a Punkt ist. Es beschreibt die Relativgeschwindigkeit zwischen den Punkten A und B, die aus der Drehung resultiert. Vielleicht wunderst du dich wie sich der Abstand der beiden ändern kann. Hier geht es aber nicht um den Betrag, sondern um die Richtung des Vektors, die wechseln kann. Deshalb steht Vektor r b a Punkt senkrecht zum Vektor r b und bildet sich aus dem Kreuzprodukt der Winkelgeschwindigkeit Omega und dem Abstand r b a, also:

\dot{\vec{r_{BA}}}=\vec{\omega}\times\vec{r_{BA}}

Omega ist dabei unabhängig von den betrachteten Punkten. Du kannst dir dafür einen Kreisel vorstellen: Omega liegt hier genau im Mittelpunkt der Drehung und steht senkrecht dazu. Dabei gilt, wie beim Moment, die rechte Handregel: Der Daumen zeigt in Richtung Omega und die restlichen Finger geben die Drehrichtung an.
Das heißt: je weiter weg die Punkte voneinander sind, desto höher ist die Relativgeschwindigkeit. Das kennst du vielleicht vom Karussell: Je weiter du nach außen gehst, desto schneller wird es. Es ergibt sich für die Geschwindigkeit des Punktes A:

\vec{v_A}=\dot{\vec{r_A}}=\dot{\vec{r_B}}+\vec{\omega}\times\vec{r_{BA}}

Relativgeschwindigkeit einer Kartoffel
Relativgeschwindigkeit einer Kartoffel

Beschleunigung des starren Körpers

Als nächstes betrachten wir die Beschleunigung des starren Körpers. Diese ermitteln wir wieder über die Ableitung des gefundenen Terms für die Geschwindigkeit. Dabei ist zu beachten, dass sich sowohl Omega als auch r a b ändern können. Deshalb wenden wir die Produktregel auf das Kreuzprodukt an und setzen dann für r a b Punkt unsere bekannte Gleichung ein:

\vec{a_A}=\ \dot{\vec{v_A}}=\ddot{\vec{r_A}}=\ddot{\vec{r_B}}+\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r_{BA}}+\vec{\omega}\times\dot{\vec{r_{AB}}}
=\ddot{\vec{r_B}}+\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r_{BA}}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r_{BA}})

So wird im ersten Schritt rb Punkt zu rb punkt punkt und durch die Produktregel erhalten wir einen Term mit Omega Punkt, der sogenannten Winkelbeschleunigung, und einen Term mit r a b Punkt, den wir im nächsten Schritt ersetzten.

Beschleunigung des starren Körpers
Beschleunigung des starren Körpers

Um das ganze etwas zu vereinfachen, nennen wir (r b Punkt Punkt) a b, was die Beschleunigung in Punkt B beschreibt. Zusätzlich vereinfachen wir mit Hilfe der Graßmann-Identität aus Mathematik das doppelte Kreuzprodukt am Ende. Die Graßmann-identität besagt, dass für ein Doppeltes Kreuzprodukt gilt:

\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=\vec{b}\left(\vec{a}\ast\vec{c}\right)-\vec{c}\left(\vec{a}\ast\vec{b}\right)

So erhalten wir für das Doppelte Kreuzprodukt:

\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r_{BA}}\right)=\vec{\omega}\left(\vec{\omega}\ast\vec{r_{BA}}\right)-\vec{r_{BA}}(\vec{\omega}\ast\vec{\omega})

Wie du vielleicht weißt, bildet das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst immer sein Betragsquadrat. Wir können Omega skalar Omega also als Omega quadrat darstellen. Damit erhalten wir für die Beschleunigung:

\vec{a_A}={\vec{a}}_B+\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r_{BA}}+\left(\vec{\omega}\ast\vec{r_{BA}}\right)\vec{\omega}-\omega^2\vec{r_{BA}\Bigm}

Hierbei bilden wir das Skalarprodukt von omega und r b a mit omega. Dann wird das Betragsquadrat von omega mal r b a wieder abgezogen.
Nach dem wir Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung im Raum beschreiben können, reduzieren wir das Ganze auf den ebenen Fall. Hier müssen wir in der Regel kein Kreuzprodukt mehr bilden, sondern können einfach multiplizieren. Dabei musst du immer auf die Richtung achten, um Fehler zu vermeiden.

Momentanpol

Jetzt weißt du wie du die Bewegung eines Körpers beschreiben kannst. Es gibt aber noch einen Sonderfall, den du kennen solltest: Den Momentanpol. Dieser beschreibt den Punkt, in dem die Geschwindigkeit Null ist. Dabei ist der Punkt sowohl von der Zeit als auch von den Geschwindigkeiten in verschiedenen Punkten des Körpers abhängig. Mit dessen Hilfe können Rechnungen deutlich vereinfacht werden.

Momentanpol
Momentanpol

Zur Bestimmung denken wir uns jetzt einen Körper, der sich in der Ebene bewegt und auf dem wir in zwei Punkten die Richtung der dortigen Geschwindigkeiten kennen. Wir bilden nun das Lot zu beiden Richtungen und finden den Momentanpol im Schnittpunkt D. Weiterhin kannst du diesen bestimmen, wenn du Betrag und Richtung der Geschwindigkeit in einem Punkt und die Winkelgeschwindigkeit Omega kennst. Dazu bilden wir wieder das Lot zur Geschwindigkeit. Den Abstand zum Momentanpol D erhalten wir, indem wir den Betrag der Geschwindigkeit in dem Punkt durch den Betrag der Winkelgeschwindigkeit teilen. Das heißt:

\bar{\left|DB\right|}=\frac{\left|\vec{v_B}\right|}{\omega}

Die Lage ist dann gegeben durch die Drehrichtung von Omega. Hier musst du dir selbst überlegen, in welche Richtung du gehen musst. In unserem Fall wäre es, wenn Omega linksdrehend wäre, links von B. Zusätzlich gilt auch die sogenannte Haftbedingung: Berührt ein Punkt des Körpers den Boden, ist dort die Geschwindigkeit Null und damit ein Momentanpol.
Du siehst: es gibt keinen Grund mehr wegen der Kinematik des starren Körpers zu verzweifeln. Viel Erfolg beim Üben und bis bald!


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