Elektrotechnik Grundlagen

E-Technik - Schaltungsanalyse
Kirchhoffsche Gesetze

In diesem Beitrag erklären wir dir sozusagen die „Spielregeln“ der Schaltungsanalyse nämlich die Kirchhoffschen Gesetze und berechnen die Knoten- und die Maschengleichungen anhand eines Beispiels.

Das erste Kirchhoffsche Gesetz

Das erste Kirchhoffsche Gesetz besagt, dass die Summe aller Ströme an einem Knoten gleich Null sein muss. Das bedeutet: Die Summe der in einen Knotenpunkt zufließenden Ströme ist gleich der Summe der abfließenden Ströme. Wäre dem nicht so, dann wäre in dem Knoten ein wachsender Ladungshaufen, was physikalisch nicht möglich ist. Natürlich gehen wir hierbei von idealen, verlustfreien Schaltungen aus. In unserem Beispiel haben wir einen beliebigen Knoten „K“ und fünf Ströme. Die Richtung der bereits eingezeichneten Stromzählpfeile nehmen wir vorerst so an:

Kirchhoffsches Gesetz, Kirchhoffsche Gesetze, Maschenregel, Knotenregel
1. Kirchhoffsches Gesetz

Vorzeichenregeln der Ströme

Um die zugehörige Kirchhoffsche Gleichung aufzustellen, benötigst du eine Regel zur Festlegung des Vorzeichens der einzelnen Ströme:

  • Fließt der Strom in den Knoten hinein, dann ist er positiv.
  • Fließt der Strom aus dem Knoten hinaus, dann ist sein Vorzeichen negativ.

Für unser Beispiel mit dem Knoten K gilt also die folgende Gleichung:

{K:\ \ \ I}_1+I_2-I_3+I_4-I_5=0

Kirchhoffsches Gesetz, Kirchhoffsche Gesetze, Maschenregel, Knotenregel
Vorzeichen der Ströme

An dieser Stelle ist es noch wichtig zu wissen, dass die tatsächliche Stromrichtung beim Aufstellen der Gleichung unwichtig und meistens auch gar nicht bekannt ist. Es wird nur die Richtung berücksichtigt, die mittels Stromzählpfeil schon eingezeichnet und somit angenommen wurde. Keine Angst, falls die eingezeichnete Richtung in der Realität nicht zutreffen sollte, dann ergibt sich bei der Berechnung einfach ein negativer Strom.

Das zweite Kirchhoffsche Gesetz

Beim zweiten Kirchhoffschen Gesetz betrachtet man die Spannungen. Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist Null. Dahinter steckt der Energie-Erhaltungssatz: In einen geschlossenen Umlauf muss genau so viel Energie hineingesteckt werden, wie auch wieder herausgeholt wird. Das entspricht dem idealen, verlustfreien Fall, von dem wir wieder ausgehen.

Kirchhoffsches Gesetz, Kirchhoffsche Gesetze, Maschenregel, Knotenregel
2. Kirchhoffsches Gesetz

Vorzeichenregeln der Spannungen

Schauen wir uns ein Beispiel mit der Masche M an, einer Spannungsquelle mit der Spannung U_0 und vier Widerständen sowie den über ihnen abfallenden Spannungen U. Auch hier müssen wir die Richtungen der Spannungspfeile berücksichtigen.

Das Vorzeichen der Spannung richtet sich nach folgender Definition:

  • Zeigen der Spannungspfeil und der Maschenpfeil in die gleiche Richtung, dann ist das Vorzeichen der Spannung positiv.
  • Zeigt die Richtung der Spannung entgegengesetzt zum Maschenumlauf, dann ist das Vorzeichen negativ.
Kirchhoffsches Gesetz, Kirchhoffsche Gesetze, Maschenregel, Knotenregel
Vorzeichen der Spannungen

Für unser Beispiel gilt also:

{M:\ \ \ U}_1+U_2+U_3+U_4-U_0=0

Auch hier ist die Richtung der einzelnen Spannungen reine Definitionssache. Sinnvoll und üblich ist es aber, dass Strom- und Spannung in die gleiche Richtung zeigen.

Aufstellen der Knotengleichungen – Beispiel

Um das Ganze zu vertiefen, kannst du es gleich mit der folgenden Schaltung anwenden:

Kirchhoffsches Gesetz, Kirchhoffsche Gesetze, Maschenregel, Knotenregel
Schaltung mit drei Knotenpunkten

Gesucht sind hier die Knotengleichungen für die eingezeichneten Knotenpunkte K_1, K_2 und K_3. Zudem suchen wir die Maschengleichungen für die Maschen M_1, M_2 und M_3. Die Richtung der einzelnen Strom- und Spannungspfeile sind nicht vorgegeben, du darfst sie also selbst wählen.

Wir beginnen mit dem Aufstellen der Knotengleichungen und gehen folgendermaßen vor:

Zuerst zeichnest du die Ströme ein, deren Richtung zwar frei wählbar ist, aber nur in eine Richtung Sinn ergibt. Der Spannungspfeil der Spannungsquelle ist mit U_0 bereits vorgegeben. Folglich geht der aus U_0 herausfließende Gesamtstrom I_ges nach oben. Die Indizes der einzelnen Ströme kannst du nach den Indizes der Widerstände wählen. Der Gesamtstrom fließt über den Widerstand R_1 und heißt somit I_1.

Wenn wir alle Ströme eingezeichnet haben, sieht das Ganze dann so aus:

Kirchhoffsches Gesetz, Kirchhoffsche Gesetze, Maschenregel, Knotenregel
Einzeichnen der Ströme

Da zwischen den Widerständen R_2 und R_3 keine Abzweigung existiert, gilt I_2=I_3.Den Strom I_3 kann man somit auch wegstreichen und durch I_2 ersetzen.

Jetzt kannst du die Gleichungen für die einzelnen Knoten aufstellen.

K1:\ {\ I}_1-I_2-I_6=0

K2:\ {\ I}_2-I_4-I_7=0\ \ \ mit\ {\ I}_2=I_3

K3:\ {\ I}_4+I_7-I_5=0

Aufstellen der Maschengleichungen – Beispiel

Das war’s schon mit den Knotengleichungen. Weiter geht es mit den gesuchten Maschengleichungen.

Zuerst zeichnen wir auch hier die Spannungspfeile ein. Dabei orientieren wir uns an den bereits eingezeichneten Strömen, denn die Spannungen zeigen üblicherweise in die gleiche Richtung wie die definierten Ströme. Die Indizes wählen wir auch entsprechend den Widerständen.

Kirchhoffsches Gesetz, Kirchhoffsche Gesetze, Maschenregel, Knotenregel
Einzeichnen der Spannungen

Das sieht jetzt etwas kompliziert aus, denn die Masche M_1 kreuzt mehrere Leitungslinien. Das sieht aber schwieriger aus als es ist! Wir tun einfach so als würden die Widerstände R_4 und R_6 in Masche M_1 nicht existieren. Wir ignorieren also R_4 und R_6 und unsere Masche sieht dann so aus:

Kirchhoffsches Gesetz, Kirchhoffsche Gesetze, Maschenregel, Knotenregel
1. Masche

Wir stellen uns vor wir laufen entlang der Masche. Alles, was in die gleiche Richtung verläuft, ist positiv und das entgegenkommende negativ. Für Masche M_1 ergibt somit:

M_1:\ {\ U}_1+U_2+U_3+U_7+U_5-U_0=0

Für die anderen Maschen gehen wir genauso vor. Wir betrachten nur den Teil der Schaltung, den auch die Masche „sieht“. Wir erhalten:

M_2:\ {-U}_3-U_2+U_6-U_4=0

M_3:\ {\ U}_7-U_4=0

Kirchhoffsches Gesetz, Kirchhoffsche Gesetze, Maschenregel, Knotenregel
Trennung der Maschen

Ganz wichtig ist, dass Start- und Endpunkt der Masche am gleichen Ort sind – aber das ist ja logisch, sonst wäre es keine Masche!

Jetzt kennst du die Kirchhoffschen Gesetze und weißt, wie du sie bei einer vorgegebenen Schaltung anwenden sollst.

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung.