Elektrotechnik Grundlagen

Knotenpunktpotentialverfahren

Das Maschenstromverfahren liegt dir nicht so? Dann versuch es doch mal mit dem Knotenpunktpotentialverfahren. Wie dieses funktioniert, erfährst du in diesem Beitrag.

Aufstellen eines Gleichungssystems

Wie beim Maschenstromverfahren möchten wir beim Knotenpunktpotentialverfahren am Ende ein Gleichungssystem aufstellen, das wir lösen können, um daraus die unbekannten Größen einer Schaltung zu bestimmen. Dabei gehen wir wieder wie bei einem Fahrplan Schritt für Schritt vor.

Was sind Knotenpunktpotentiale?

Wie der Name verrät, dreht sich dabei alles um Knotenpunktpotentiale. Deren Definition ist einfach: Sie sind die Potentiale, also die Spannungen an allen Knoten. Dabei ist wichtig, dass das Potential an einem Knoten als Referenz genutzt wird. In anderen Worten: wir definieren diesen Knoten als Masse und setzen sein Potential zu Null.

Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist gleich 0

Für jeden Knoten lässt sich nun die jeweilige Knotengleichung aufstellen. Zur Erinnerung:

Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist gleich Null. Dabei geben wir dem in den Knoten zufließenden Strom ein negatives, dem abfließenden Strom ein positives Vorzeichen. Das nehmen wir aber nur in diesem Video als Vorschrift. Prinzipiell kannst du die Vorzeichen auch anders herum wählen.

Vorgehen Knotenpunktpotentialverfahren

Schauen wir uns folgenden Ausschnitt einer Schaltung mit den unbekannten Spannungen U_1, U_2, U_3 und U_4 doch mal genauer an.

Beispiel für eine Schaltung

Als Erstes musst du alle Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln. In dem Ausschnitt siehst du jetzt aber weder Spannungsquellen noch Stromquellen? Naja, das liegt daran, dass es eben nur ein Ausschnitt ist! Quellen gibt es sehr wohl, denn innerhalb des Netzwerks fließen Ströme und an den Widerständen fallen Spannungen ab. Die von externen kommenden Ströme kannst du auch einfach als Stromquellen betrachten.

1. Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln

Der nächste Schritt deines Fahrplans ist das Bestimmen sämtlicher Knoten in der Schaltung. Der Referenzknoten ist hier der Knoten 0, an ihm ist das Potential 0 Volt.

2. Bestimmung sämtlicher Knoten

Als nächstes musst du alle Ströme, die in die Knoten zu- und abfließen mit entsprechendem Vorzeichen eintragen. Der entscheidende Part in diesem Verfahren ist nun, dass die inneren Ströme im Netzwerk mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes

I=\ \frac{U}{R}

durch die jeweiligen Spannungen ausgedrückt werden.

3. Ab- und zufließende externe Ströme eintragen

Diese Spannungen sind die Potentialdifferenzen zwischen den Knotenpotentialen U_1, U_2, U_3 und U_4. Um unschöne Brüche zu vermeiden, formst du alle Widerstände zwischen zwei Knoten am besten gleich zu Leitwerten um.

4. Umwandeln aller Ströme in Leitwerte

Das ist also der nächste Schritt in unserem Fahrplan. Der Leitwert ist definiert als G=\ \frac{1}{R}. Setzen wir das in das Ohmsche Gesetz ein, so ergibt das

I=\ \frac{U}{R}=U*G

Aufstellen der Matrix

Jetzt kannst du damit beginnen die Matrix zur Bestimmung der gesuchten Spannungen aufzustellen.

Die inneren Ströme sind die Ströme, die innerhalb des Netzwerks zwischen den Knoten fließen. Ihre Bezeichnung wurde so gewählt, dass die erste Zahl angibt an welchem Knoten er fließt. Die zweite Zahl bezieht sich auf den Leitwert.

5. Aufstellen der Matrix

Am Knoten 4 gilt also beispielsweise:

{-I}_4+\ I_{4,40}-I_{4,34}-I_{4,24}-I_{4,14}=0

Das Vorzeichen der inneren Ströme kannst du beliebig wählen, da es von den jeweiligen Spannungen abhängt. Wir richten uns für das Vorzeichen des Stromes nach den eingezeichneten Pfeilen. Falls der reale Strom in die andere Richtung fließt, dann äußert sich das in einem negativen Vorzeichen.

Der Strom I_4 kann mit Hilfe der Knotenpotentiale also folgendermaßen beschrieben werden:

I_4=\ U_4*G_{40}-{[U}_3-U_4]*G34-[U2-U4]*G24 - [U1-U4]*G14

beziehungsweise aufgelöst ist dann

-I_4=U_4*\left(-G_{40}-G_{34}-G_{24}-G_{14}\right)+U_3*G_{34}+U_2*G_{24}+U_1*G_{14}

In dieser Form können nun alle Ströme beschrieben werden. Übersichtlicher ist es, wenn du deine Gleichungen in einer tabellarischen Form aufschreibst. Dies sieht dann zum Beispiel so aus:

Gleichungssystem in tabellarischer Form

Vor allem hilft diese Schreibweise, wenn du dir dein Ziel noch einmal vor Augen führst. Am Ende möchtest du doch ein Gleichungssystem, also eine Matrix-Vektor-Gleichung,  folgender Form erhalten, aus welcher du vergleichsweise einfach mit Hilfe der Cramerschen Regel die Spannungen berechnen kannst.

Wie du siehst, hast du also damit bereits deine Matrix aufgestellt.

6. Bestimmung der Spannungen

Allgemeines Bildungsgesetz der Matrix

Eigentlich sind wir damit fertig. Das ging dir jetzt etwas zu schnell? Kein Problem, denn das ganze geht viel einfacher. Denn den großen Vorteil des Knotenpunktpotentialverfahrens gegenüber anderen Verfahren zur Schaltungsanalyse haben wir dir noch gar nicht verraten:

Für die Matrix gibt es ein allgemeines Bildungsgesetz! Das heißt: bei der Berechnung stellt man nicht alle einzelnen Knotengleichungen auf, sondern geht nach einem ganz einfachen Schema vor.

Schauen wir dazu nochmal auf unsere Schaltung und auf unsere fertige Matrix:

Fällt dir etwas auf? Wenn du dir klar machst, dass die Indizes auf die jeweiligen Knoten verweisen, dann kannst du zwei Dinge erkennen.

Die Indizes verweisen auf die jeweiligen Knoten

Erstens:  Die Diagonalelemente sind immer gerade die negative Summe aller Leitwerte, die mit dem jeweiligen Knoten verbunden sind. Die erste Zeile der Matrix bezieht sich auf Knoten 1.

Die erste Zeile bezieht sich auf Knoten 1

Verbunden mit dem ersten Knoten sind die Leitwerte G_{10}, G_{12} und G_{14}.  Das Gleiche gilt auch für Zeile 2. Verbunden mit dem zweiten Knoten sind G_{20}, G_{12}, G_{23} plus G_{24}. Wenn du auf dem dritten Knoten stehst dann siehst du G_{30}, G_{23} und G_{34}. Jetzt bis du an der Reihe. Das Diagonalelement in Knoten vier kannst du jetzt ganz einfach alleine bestimmen. Jetzt fasst du alle Leitwerte in eine große Klammer und schreibst ein Minus davor.

Zusammenfassung der Leitwerte

Und zweitens gilt: Alle anderen Elemente in der Matrix  entsprechen gerade dem Leitwert, der die jeweiligen Knoten miteinander verbindet. Die Matrix hat also genau soviel Zeilen wie Spalten. G_{12} verbindet die Knoten eins und zwei. Daher steht dieser in Zeile eins in der zweiten Spalte. Knoten 1 und drei haben keine direkte Verbindung, daher bleibt die dritte Spalte in der ersten Zeile leer. Die Verbindungselemente bekommen immer ein positives Vorzeichen. Die Zeilennummer und Spaltennummer gibt an welche Knoten sie miteinander verbinden. Falls es keine direkte Verbindungen gibt, dann ist der Wert Null. Aber Achtung! Verbindungen über andere Knoten gelten nicht!

Die Verbindungselemente haben ein positives Vorzeichen

Fahrplan Knotenpunktpotentialverfahren

Schauen wir uns den Fahrplan für das Knotenpunktpotentialverfahren noch einmal zusammengefasst an:

  1. Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln: Falls in deinem Netzwerk Stromquellen vorkommen, dann musst du diese in ihre äquivalente Spannungsquelle umwandeln.
  2. Bestimmen sämtlicher Knoten: Die Knoten befindet sich immer an Verzweigungen deiner Schaltung, also wenn sich der Strom aufteilt oder ein neuer Strom dazu fließt. Aufgepasst! Vergiss nicht den Referenzknoten mit 0 Volt!
  3. Ab- und zufließende externe Ströme eintragen: Hier betrachtest du nur die externen Ströme, die von außen in deine Schaltung hinein- oder herausfließen.
  4. Umwandeln aller Widerstände in Leitwerte: Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes, also G ist gleich eins durch R.
  5. Aufstellen der Matrix nach folgendem Schema:
    • Dass Diagonalelemente immer gerade die negative Summe aller Leitwerte sind, die mit dem jeweiligen Knoten verbunden sind.
    • Und des weiteren, dass alle anderen Elemente gerade dem Leitwert entsprechen, der die jeweiligen Knoten miteinander verbindet.
  6. Bestimmung der Spannungen: Die Berechnung der Spannungen U mit der Cramerschen Regel oder Gaussschem Eliminationsverfahren ist der letzte Schritt. Falls du das noch nicht kannst, dann schau dir unser Video dazu an.

Du siehst: Die große Stärke des Knotenpunktpotentialverfahrens liegt in der Eindeutigkeit und Systematik. Auch deine Software zur Schaltungsanalyse nutzt dieses Verfahren. Viel Erfolg beim Anwenden!

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