Elektrotechnik Grundlagen

Komplexe Zahlen

In diesem Artikel lernst du die komplexen Zahlen kennen und wir erklären dir die Impedanz und Phasenverschiebung im Zeigerdiagramm.

Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik – Der Buchstabe j

Schon im Mittelalter hat man festgestellt, dass das Quadrat einer reellen Zahl – also die Zahl mit sich selbst multipliziert- nie negativ ist. Um Probleme dieser Form trotzdem lösen zu können, gibt es eine neuartige „Zahl“ mit dem Buchstaben i. Da i in der Elektrotechnik aber schon für den elektrischen Strom vergeben ist, verwenden Ingenieure auf der ganzen Welt den Buchstaben j. Diese komplexe Zahl ist definiert als:

i\ast\ i=j\ast\ j=-1

Unser Problem ist mit \sqrt{-1}=\sqrt{j\ast j}=j gelöst.

Wir rechnen also:  \sqrt{-16}=\sqrt{-1\ast16}=\sqrt{-1}\ast4=4j

Realteil und Imaginärteil

Das Ergebnis einer beliebigen negativen Wurzel ist eine ganz normale Zahl multipliziert mit einem j. Allgemein bestehen komplexe Zahlen aus einem Realteil und einem Imaginärteil:

Der Realteil ist dabei eine normale reelle Zahl, wie du sie bereits kennst.

Der Imaginärteil ist auch eine reelle Zahl, aber multipliziert mit einem j.

Man kennzeichnet eine komplexe Größe mit einem unterstrichenen Buchstaben. Die komplexe Spannung U mit der Einheit Volt kann so aussehen: U= ( 5+·7 ) V

Zeigerdiagramm

Zeigerdiagramm
Zeigerdiagramm

Komplexe Zahlen kannst du auch als komplexen Zeiger darstellen.

Bei der Darstellung als Zeiger in einem Zeigerdiagramm gibt es eine Realteil-Achse, üblicherweise die x-Achse, und  eine Imaginärteil-Achse. Im kartesischen Koordinatensystem entspricht sie der y-Achse.

\mathbit{Re}\left\{\mathbf{5}+\mathbit{j}\mathbf{7}\right\}=\mathbf{5}
\mathbit{Im}\left\{\mathbf{5}+\mathbit{j}\mathbf{7}\right\}=\mathbf{7}

Komplexe Zahlen und Impedanz

Bisher haben wir nur Gleichstrom betrachtet, aber aus der Steckdose kommt bekanntlich Wechselstrom. Die Wechselstromlehre wird auch als komplexe Wechselstromlehre bezeichnet, denn der sinusförmige Verlauf von Strom oder Spannung kann als komplexer Zeiger interpretiert werden. Dazu machen wir folgende Annahmen:

    • Der Widerstand einer Spule ist {\underline{Z}}_L=j\ast\omega\ast\ L\ mit \omega=2\pi\ast\f
    • Analog dazu gilt für den Widerstandswert eines Kondensators {\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\ast\omega\ast C}
    • Wie du siehst ist der Widerstandswert nun imaginär. Komplexe Widerstände bezeichnet man auch als Impedanz. Für sie gilt: Z= R+j\ X

Das sind jetzt einige neue Begriffe, aber das berühmte URI gilt weiterhin und wird jetzt zu UZI: U= Z  \ast I

Komplexe Zahlen und Impedanz – Beispiel

Um das Rechnen mit komplexen Zahlen und Impedanz zu üben , schauen wir uns ein Beispiel dazu an. Gesucht ist der komplexe Strom für die komplexe Spannung U = \left(50+j\ast70\ \right)\ V\

und den komplexen Widerstand Z=j10 Ω .

\underline{I}=\underline{\frac{\underline{U}}{Z}}=50+j*70 Vj10 Ω =50j10+j70j10A=7-j5A

Impedanz komplexe Zahlen
Impedanz und komplexe Zahlen – Beispiel

Auch der Strom ist jetzt komplex, denn er besteht aus einem Real- und einem Imaginärteil. Außerdem ist der Imaginärteil unserer Spannung positiv, der des Stromes jedoch negativ

Phasenverschiebung

Spulen und Kondensatoren erzeugen also nicht nur elektrische Felder, sondern bewirken auch, dass das Maximum von Strom und Spannung nicht mehr gleichzeitig auftritt. Das bedeutet eine Phasenverschiebung: Strom und Spannung liegen dann nämlich nicht mehr in Phase.

Dazu gibt es zwei Merkregeln:

  • Kondensator – Strom eilt vor
  • Induktivität – Strom kommt zu spät.
Zeigerdiagramm komplexe Zahlen
Phasenverschiebung

Im Zeigerdiagramm zeigt sich, dass bei Spule und Kondensator die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung genau 90 Grad ist. Wir fassen nochmal zusammen: Ströme, Spannungen und Widerstände sind komplex und werden als komplexe Zeiger dargestellt.

Dazu noch eine Veranschaulichung: Stell dir vor, dass sich die Zeiger mit der Kreisfrequenz Omega bei 50 Hertz, also ungefähr 300 Umdrehungen pro Sekunde gegen den Uhrzeigersinn drehen.

zeigerdiagramm
Zeigerdiagramm mit Kreisfrequenz

Eine anschaulichere Darstellung von Wechselstrom und -spannung gibt es nicht. Hätte es die komplexen Zahlen nicht schon in der Mathematik gegeben, so hätten sie für die Elektrotechnik erfunden werden müssen.

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