Elektrotechnik Grundlagen

E-Technik - Schaltungsanalyse
Maschenstromverfahren

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du die Ströme eines komplizierten Netzwerk mithilfe des Maschenstromverfahrens berechnest.

Definition der Maschenströme

Das Zweigstromverfahren eignet sich nur für einfache Schaltungen. Bei komplizierteren Schaltungsanalysen bist du mit dem Maschenstromverfahren auf der sicheren Seite. Für dieses Verfahren werden Hilfsgrößen definiert: die sogenannten Maschenströme. Sie fließen kreisförmig in den von dir definierten Maschen.

Maschenstromverfahren
Maschenstromverfahren bei komplizierteren Schaltungsanalysen

Was sind Maschenströme?

Aber was genau sind jetzt diese Maschenströme? Maschenströme sind rein formale Größen, sie existieren also erst einmal nur auf dem Papier. Schauen wir uns das doch mal an einer Schaltung an. Hier gibt es zwei Maschen M_1 und M_2, mit den jeweils zugehörigen Maschenströmen IM1 und IM2.

Maschenstromverfahren
Maschen M1 und M2

An den Stellen, an denen ein Zweig nur zu einer einzigen Masche gehört, ist der Maschenstrom identisch mit dem jeweiligen Zweigstrom. Dort, wo ein Zweig zu zwei Maschen gehört, überlagern sich die Maschenströme: der wahre Zweigstrom ist dann die Summe der einzelnen Maschenströme. Natürlich spielt hier auch die Richtung der definierten Maschen eine Rolle und äußert sich mit einem negativen Vorzeichen, wenn Maschen- und Zweigstrom nicht in die gleiche Richtung zeigen. Diese drei Regeln sind immer dann erlaubt, wenn in deiner Schaltung ein linearer Zusammenhang zwischen Strom und Spannung herrscht, also das Ohmsche Gesetz gilt.

Maschenstromverfahren – Beispiel

Schauen wir uns diese Schritte nun an einem Beispiel genauer an. Wir betrachten folgende Schaltung, bei der die einzelnen Ströme unbekannt sind.

Maschenstromverfahren
Beispiel für eine Schaltung

Wir suchen I0, I1, I2, I3, I4 und I5.

Wenn du dieses Netzwerk mit dem Maschenstromverfahren analysieren möchtest, musst du folgende Schritte abarbeiten:

  1. Umwandlung aller Stromquellen in äquivalente Spannungsquellen.
  2. Maschen definieren. In jeder Masche fließt kreisförmig ein zugehöriger Maschenstrom.
  3. Aufstellen der einzelnen Maschengleichungen
  4. Gleichungssystem nach den Maschenströmen auflösen und
  5. Gesuchte Größen aus den Maschenströmen berechnen.

1. Umwandlung der Stromquellen in Spannungsquellen

Kommen wir zu Schritt eins:

Maschenstromverfahren
1. Umwandlung aller Stromquellen in Spannungsquellen

In der Schaltung gibt es zum Glück nur eine Stromquelle, die in eine Spannungsquelle umgewandelt werden muss.  ist bereits eine Spannungsquelle.  ist eine Stromquelle und muss jetzt in eine Spannungsquelle umgewandelt werden. Der Widerstand R0 zur Stromquelle stellt ihren Innenwiderstand Ri dar.

Für die Umwandlung der Stromquelle in eine Spannungsquelle gehst du nach folgendem Schema vor:

Maschenstromverfahren
1. Umwandlung aller Stromquellen in Spannungsquellen

Die Spannung der nun erzeugten Spannungsquelle berechnest du mit U0 = I0*Ri. Der Widerstandswert Ri bleibt dabei gleich groß. Diesen Weg kannst du auch rückwärts gehen, jede Spannungsquelle U0 kann mit diesem Vorgehen auch in ihre äquivalente Stromquelle umgewandelt werden. Wir wenden dieses Verfahren nun an unserer Schaltung an.

2. Definition der Maschen

Weiter geht‘s jetzt mit Schritt zwei.

Maschenstromverfahren
2. Maschen definieren

Bei dieser Schaltung reicht es drei Maschen zu definieren. Stell dir einfach vor, dass du nacheinander auf den einzelnen Maschen entlang spazierst. Wenn du den gedanklichen Spaziergang auf der letzten Masche beendet hast, dann muss dir jedes Bauteil, das in der Schaltung vorkommt, mindestens einmal begegnet sein. Mehr oder zu große Maschen machen die anschließende Berechnung zwar nicht falsch, aber möglicherweise komplizierter. Bei der Maschenwahl gilt – wie fast immer im Leben – nur Übung macht den Meister!

Maschenstromverfahren
2. Maschen definieren

Die Richtung der Maschen kannst du frei wählen. In Masche 1 fließt kreisförmig der zugehörige Maschenstrom IM1, in Masche 2 IM2 und Masche 3 IM3. Üblicherweise fließt der Maschenstrom in Maschenrichtung.

3. Aufstellen der Maschengleichungen

Machen wir gleich weiter mit Schritt drei. Das Aufstellen der Maschengleichungen ist der wichtigste Teil. Wenn du hier schematisch vorgehst, dann ist das auch recht einfach. Das machst du am besten, indem du dir jede Masche einzeln anschaust, und dann in eine Matrix schreibst. Das spart nicht nur Schreibarbeit, sondern ist auch besser zum Ausrechnen. In der Matrix bekommt jede Masche eine eigene Zeile.

Die Matrixschreibweise hat allgemein diese Form:

Maschenstromverfahren
3. Aufstellen der Maschengleichungen

Rii ist dabei die Summe aller Widerstände in der Masche i und Rij ist die Summe aller gemeinsamen Widerstände von Masche i und Masche j.

Danach folgt ein Vektor mit den einzelnen Maschenströmen IM1 bis IMm für die m-te Masche. Der Ergebnisvektor hinter dem Gleichheitszeichen ist die Summe aller Spannungsquellen in der jeweiligen Masche. Falls es in einer Masche keine Spannungsquelle gibt, dann steht hier eine Null.

Maschenstromverfahren
3. Aufstellen der Maschengleichungen

Starten wir mit dem Ausfüllen der Hauptdiagonalen der Matrix. In Masche 1 gibt es die Widerstände R2, R4 und R5. In Masche 2 liegen die Widerstände R1 plus R3 plus R5 und in Masche 3 gibt es R0 plus R3 plus R4.

  • Nun schaust du welche Maschen sich Widerstände „teilen“. Diese entsprechen den anderen Elementen der Matrix. Also Widerstand R4 kommt sowohl in Masche 1, also auch in Masche 3 vor.
Maschenstromverfahren
3. Aufstellen der Maschengleichungen

Aber Achtung! Hier ist das Vorzeichen wichtig! Zeigen die Maschenströme an dem Widerstand in die gleiche Richtung, so ist das Vorzeichen positiv, zeigen sie in eine entgegengesetzte Richtung, so muss hier ein Minus vor den Widerstand.

Maschenstromverfahren
Auf das Vorzeichen achten!

R13 ist also minus R4 und natürlich gleich wie R31. R12 ist gleich minus R5 und R23 ist gleich minus R3.

  • Der Vektor mit den einzelnen Maschenströmen ist schnell ausgefüllt. In Masche 1 und somit an erster Stelle steht IM1, dann IM2 und zuletzt IM3.
Maschenstromverfahren
3. Aufstellen der Maschengleichungen
  • In unserem Beispiel kommen in allen drei Maschen Spannungsquellen vor. Auch hier musst du unbedingt wieder auf das Vorzeichen achten! Ausschlaggebend ist dabei die Richtung der Spannungsquelle im Vergleich zum jeweiligen Maschenstrom. Das Prinzip scheint zwar ähnlich zu den Widerständen, aber die Vorzeichenregel ist gerade umgekehrt. Falls die Spannungsquelle entgegengesetzt zum Maschenstrom zeigt, dann ist die Spannung positiv, andernfalls, also falls beides in die gleiche Richtung zeigt, ist die Spannung negativ.
Maschenstromverfahren
Auf das Vorzeichen achten!

Somit steht an erster Stelle plus U_{q5}, an zweiter wiederum minus U_{q5} und an dritter Stelle dann minus U_{q0}.

Maschenstromverfahren
3. Aufstellen der Maschengleichungen

4. Auflösen nach den Maschenströmen

So weit, so gut, weiter geht’s mit Schritt vier. Dabei musst du IM1, IM2 und IM3 berechnen.

Maschenstromverfahren
4. Gleichungssystem nach den Maschenströmen auflösen

Dazu gibt es zwei verschiedene Verfahren: Die Cramersche Regel und das Gaußsche Eliminationsverfahren. An dieser Stelle werden wir Schritt 4 überspringen, du kannst dir das genaue Vorgehen aber im Beitrag zur Cramerschen Regel anschauen.

5. Berechnung der gesuchten Größen

Damit sind wir auch schon bei Schritt fünf.

Maschenstromverfahren
5. Gesuchte Größen aus den Maschenströmen berechnen

Die gesuchten Ströme setzen sich aus den einzelnen Maschenströmen zusammen.

Die Ströme I2, I1 und I0 kannst du direkt mit dem Maschenstrom ausdrücken, da sie an Stellen fließen, an denen der Zweig nur zu einer einzigen Masche gehört. In unserem Beispiel zeigen die Maschen in die gleiche Richtung wie diese Ströme. Daher sind sie alle positiv.

Die anderen Ströme setzen sich aus mehreren Maschenströmen zusammen. Ein entgegengesetzt fließender Maschenstrom ist negativ.

Du siehst: das Maschenstromverfahren ist zwar ein kleiner Umweg, der aber einem festen Fahrplan folgt und somit immer zum Ziel führt. Viel Erfolg beim Üben!

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