Festigkeitslehre

Mohrscher Spannungskreis

Beim Ziehen an einem Seil entstehen Spannungen innerhalb des Seils. Wie du den richtigen Winkel zum Ziehen herausfindest, ohne dass das Seil kaputt geht, zeigen wir dir in diesem Beitrag.

Mohrscher Spannungskreis Beispiel und Zeichnung

Die Spannung wird beschrieben durch den Spannungstensor Sigma, der den allgemein vorherrschenden Spannungszustand eines Körpers beschreibt:

\bar{\bar{\sigma}}=\left(\begin{matrix}\sigma_{xx}&\tau_{yx}&\tau_{zx}\\\tau_{xy}&\sigma_{yy}&\tau_{zy}\\\tau_{xz}&\tau_{yz}&\sigma_{zz}\\\end{matrix}\right)

Hier liegen auf der Hauptdiagonalen, die Normalspannungen \sigma und auf den anderen Positionen die Schubspannungen \tau. Die Indizierung folgt dabei einem einfachen Prinzip: Der erste Index ist die zugehörige Fläche und der zweite Index die Richtungskomponente.

Einachsiger, ebener und räumlicher Spannungszustand

Insgesamt können wir drei verschiedene Spannungszustände unterscheiden: der einachsige, der ebene und der räumliche Spannungszustand.
Nun wollen wir den Mohr’schen Spannungskreis darstellen. Dieser hat seinen Mittelpunkt bei:

M=\frac{\sigma_y+\sigma_x}{2}=\frac{{\sigma^\prime}_y+{\sigma^\prime}_x}{2}

Der Radius beträgt:

r=\sqrt{\left(\frac{\sigma_y-\sigma_x}{2}\right)^2+\tau^2}=\frac{{\sigma^\prime}_y-{\sigma^\prime}_x}{2}=\frac{\sigma_y-\sigma_x}{2}\cos{\left(2\varphi\right)}+\tau\sin{\left(2\varphi\right)}

Beispiel

Schauen wir uns gleich einmal ein Beispiel dazu an. Wir betrachten ein Quadrat, an dem die Normalspannungen \sigma_y = 12MPa, \sigma_x = 4MPa und die Schubspannung \tau_{xy} = 3MPa anliegen. Unser Koordinatensystem legen wir genau entlang der Kanten des Quadrats.

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Mohrscher Spannungskreis Quadrat

Wir wollen nun den Mohrschen Spannungskreis konstruieren, die Hauptspannungen bestimmen, sowie die maximale Schubspannung und den zugehörigen Drehwinkel herausfinden.

Wenn wir den Mohrschen Spannungskreis konstruiert haben, können wir den Rest einfach ablesen bzw. anhand des Spannungskreises ableiten. Dementsprechend konstruieren wir diesen als erstes. Der Mittelpunkt ergibt sich zu:

M=\frac{\sigma_y+\sigma_x}{2} = \frac{12MP_a+4MPa}{2}=8MPa

Mohrscher Spannungskreis
Mohrscher Spannungskreis Berechnungen

Anschließend bestimmen wir den Radius:

r=\sqrt{(\frac{\sigma_y-\sigma_x}{2})^2+\tau^2} = \sqrt{(\frac{12MPa-4MPa}{2})^2+3MPa^2=5MPa

Jetzt fehlt uns nur noch der aktuelle Spannungszustand. Diesen können wir ganz einfach einzeichnen. Er liegt bei Sigma y und Tau bzw. Sigma x und minus Tau. Damit können wir eine Gerade ziehen, die genau durch den Mittelpunkt geht.

Nachdem wir den Mohrschen Spannungskreis konstruiert haben, können wir anschließend einfach ablesen, welchen Wert die Hauptspannungen haben. Dafür denken wir kurz an die Bedingung zurück, unter denen diese vorherrschen: Alle Schubspannungen Tau sind gleich Null. Das heißt der linke Schnittpunkt mit der Sigma-Achse ist die Hauptspannung Sigma x Strich und der rechte Wert ist Hauptspannung Sigma y Strich. Wir bestimmen diese einfach mit Hilfe des Mittelpunkts und des Radius:

\sigma'_x=M-r=3MPa

und

\sigma'_y=M+r=13MPa

Mohrscher Spannungskreis
Mohrscher Spannungskreis Hauptspannungen

Maximale Schubspannung

Als nächstes wenden wir uns der maximalen Schubspannung zu. Dafür müssen wir wieder nur den Spannungskreis betrachten. Du erkennst sicher auf den ersten Blick, dass die maximale Schubspannung am höchsten Punkt herrscht und damit auch exakt dem Radius r entspricht. Das heißt, wir brauchen gar nicht mehr rechnen und wissen sofort, dass \tau_{max}=r=5MPa ist.

Als letztes wollen wir noch herausfinden, wie wir das System drehen müssen, damit wir den maximalen Wert für die Schubspannung erhalten. Du kannst dir sicher denken, dass wir dafür wieder den Spannungskreis betrachten. Jetzt nutzen wir auch aus, dass wir den aktuellen Spannungszustand eingezeichnet haben. Dadurch, dass wir uns nicht im Hauptspannungszustand befinden, ist das System bereits um den Winkel phi gedreht. Wir suchen allerdings den Winkel alpha. Der ergibt sich auch direkt aus dem Spannungskreis zu:

\alpha=90°-2\phi

Zwei Phi erhalten wir einfach, indem wir ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Wir sehen schnell den Zusammenhang:

cos(2\phi)=\frac{\sigma_y-M}{r}

Und damit erhalten wir:

\alpha=90°-cos^{-1}(\frac{\sigma_y-M}{r})=53,13°

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Berechnung des Winkels Alpha

Im Mohrschen Spannungskreis tragen wir allerdings das doppelte des Winkels an. Dementsprechend müssen wir das System nur um \frac{\alpha}{2} drehen. Das heißt, wir erhalten die maximale Schubspannung, wenn wir das System um 26,565 Grad drehen. In der Regel wird allerdings versucht diesen Fall zu vermeiden, da Werkstoffe häufig eine geringere Belastbarkeit bei Schubspannungen aufweisen.

Mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises kannst du jetzt auch für das Tauziehen den Winkel herausfinden, damit das Seil möglichst lange hält.

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