Höhere Mathematik

Randwertproblem

Inhaltsübersicht

Du möchtest wissen, was man unter dem Begriff Randwertproblem versteht, wie es sich vom Anfangswertproblem unterscheidet und wie man dieses Randwertproblem lösen kann? Dann bist du hier genau richtig!

Abgrenzung Randwertproblem und Anfangswertproblem

Das Randwertproblem ist dem Anfangswertproblem sehr ähnlich. Im Gegensatz zum Anfangswertproblem kennst du beim Randwertproblem nicht unbedingt die Funktionswerte zum Anfangszeitpunkt, sondern die Zustände an den Rändern.

Randwertproblem, Differentialgleichung
Randwertproblem

Randwertproblem anhand eines Beispiels erklärt

Stell dir eine Gitarre vor. Die Schwingung einer Saite kannst du mit folgender Differentialgleichung beschreiben:

-ky^{\prime\prime}\left(x\right)=F(x)

Hier ist -ky^{\prime\prime}\left(x\right) die Rückstellkraft und F(x) die anregende Kraft, also die Fingerkraft beim Zupfen.

Randwertproblem, Differentialgleichung
Randwertproblem

Du weißt, wie weit die beiden Stege auseinanderliegen, also wo die Schwingung der Saite anfängt, und zwar bei x=0,

y\left(0\right)=0

und wo sie aufhört, bei x=l

y\left(l\right)=0

An diesen beiden Stellen setzen wir die Auslenkung der Saite y auf Null. Auf die genaue Darstellung der Kraft F und die Lösung dieser DGL wollen wir nicht weiter eingehen. Wir schauen uns jedoch kurz die Lösung an.

y\left(x,t\right)=\sum_{n=0}^{\infty}{A_n(t)\sin{\left(\frac{n}{l}\pi x\right)}}

Randwertproblem, Differentialgleichung
Randwertproblem

Die Saite schwingt in Form eines Sinus und die Summe steht dort, da die Saite in ihrer Grundschwingung und weiteren Oberschwingungen gleichzeitig schwingt. A_n sind die jeweiligen Amplituden, die sich mit der Zeit ändern.

Jetzt weißt du, wie du das Randwertproblem vom Anfangswertproblem unterscheidest und wie du das Randwertproblem lösen kannst.


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