Festigkeitslehre

Spannungsarten
Schubspannung berechnen

Du möchtest wissen, was die Schubspannung ist und wie du sie berechnen kannst? Hier zeigen wir dir das Ganze an einem einfachen Beispiel.

 

Schubspannung Formel und Definition

Schubspannung wird durch eine tangential am Körper angreifende Kraft F verursacht. Es gilt hierbei:

\tau=\frac{F}{A}

Dabei ist A die Fläche, an der die Kraft F angreift.

Schubspannungen Berechnung
Schubspannung Formeln

Durch die Schubspannung erfolgt am Körper eine Scherbelastung beziehungsweise eine Torsion. Gilt dabei das Hookesche Gesetz, verdreht sich der Körper um einen Winkel \alpha. Für einen kleinen Winkel gilt:

\tau=G\ast\tan{\alpha}

Dieser Winkel wird auch als Gleitwinkel bezeichnet. Das Schub- oder auch Schermodul G kannst du ganz einfach aus der Poissonzahl v und dem Elastizitätsmodul E des Werkstoffes berechnen. Die Formel dafür lautet:

G=\frac{E}{2\ast\left(1+v\right)}

Schubspannungen berechnen – bei Zugkraft

Sehen wir uns zunächst einmal den einachsigen Belastungszustand an, wie er in der Mechanik häufig vorkommt. Wir haben hier einen Stab, der geschnitten wurde. Ähnlich wie in der Statik zeichnen wir die Zugkraft F an mehreren Stellen ein, da sie auch an der Schnittstelle im Gleichgewicht sein muss. Es bleibt allerdings immer dieselbe Kraft. Wie du hier sehen kannst wirkt diese auf eine schräge Fläche.

Einachsige Belastung, Mechanik
Einachsiger Belastungszustand

Betrachten wir einmal nur die Schnittfläche. Da die Spannung \sigma\left(\alpha\right) schief zur Fläche steht, müssen wir sie in die Normalspannung \sigma, die senkrecht zur Fläche steht und die tangentiale Schubkraft \tau aufteilen.

 

Nun müssen wir zunächst die Fläche A, auf die die Kraft F wirkt, bestimmen und dann den Anteil der Normal- und der Schubspannung an der gesamten wirkenden Spannung t(\alpha) herausfinden. Für die A betrachten wir nun zuerst den abgeschnittenen Teil des Balkens genau.

Schubspannungen Berechnung
Schubspannungen, Festigkeitslehre

Haben wir den Winkel \alpha und die Höhe h gegeben können wir die Länge h´ der Schnittkante bestimmen. Die Länge bleibt gleich. Daher können wir, um A´ zu berechnen, auch die frontale Fläche des Balkens durch den Sinus von \alpha teilen. Es ergibt sich für die gesamte Spannung die Gleichung:

\sigma\left(\alpha\right)=\frac{F}{A}\bullet\sin{\alpha}

Nun müssen wir diese aufteilen. Auch hier können wir wieder den Winkel \alpha zu Rate ziehen. Wir betrachten noch einmal die vorherige Grafik. Für die Normalspannung können wir den Sinus einsetzen. Es ergibt sich folgende Gleichung:

\sigma=\sigma\left(\alpha\right)\ast\sin{\alpha=\frac{F}{A}}\ \ast\sin^2{\alpha}

Wir setzen unser Ergebnis von vorhin ein und erhalten diese Gleichung. Dasselbe mache wir nun für die Schubspannung. Hier setzen wir den Cosinus ein und erhalten:

\sigma=\sigma\left(\alpha\right)\ast\cos{\alpha=\frac{F}{A}}\ \ast\sin{\alpha\ast\cos{\alpha}}

Nun kannst du die Schubspannung bei Zugkraft berechnen.

Maximale Schubspannung – Berechnung

Die maximale Normalspannung ergibt sich dabei bei einem Winkel von 90°, da hier A logischerweise am kleinsten ist. Hier ist die Schubspannung gleich 0. Du kannst auch noch berechnen, unter welchen Schnittwinkel die Spannung am größten ist.

Berechnung maximale Schubspannung
Berechnung der maximalen Schubspannung

Dazu leitest du \sigma\left(\alpha\right) nach \alpha ab und setzt diese gleich null. Es ergibt sich das Maximum der Schubspannung:

\frac{\sigma\left(\alpha\right)}{\alpha}=\frac{F}{A}\ \left[\cos{\alpha}\ast\cos{\alpha}+\sin{\left\{\alpha\ast\left(-\sin{\alpha}\right\}\right)}\right]=\frac{F}{A}\ast\left(\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\right)=0

Damit dies zutrifft muss also \left(\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\right) null ergeben, da F und A praktisch nie null werden. Das heißt beide Größen müssen gleich groß sein.

\cos^2{\alpha=\sin^2{\alpha}}

Dies trifft nur für den Winkel \alpha ist gleich 45° zu. Also ist die Schubspannung bei 45° maximal.
Nun weißt du, was die Schubspannung ist und wie du sie berechnen kannst.

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