Festigkeitslehre

Schubspannung infolge Querkraft

Inhaltsübersicht

Du fragst dich, wie du bei dünnwandigen Profilen den Schubspannungsverlauf am schnellsten einzeichnen kannst? Dann bist du hier genau richtig!

Einzeichnen des Schubspannungsverlaufes

Gerade im Leichtbau spielen die Schubspannungen eine große Rolle, da wir hier oft mit dünnwandigen Profilen arbeiten. Während bei vollen Querschnitten die Schubspannung keinen großen Einfluss auf die Gesamtbelastung hat, ist der Schubspannungsverlauf bei dünnwandigen Profilen entscheidend für die Konzipierung von Bauteilen.
Wir schauen uns ein U-Profil an, auf das eine Querkraft Q_Z wirkt. Diese wirkt am Schubmittelpunkt M und verursacht somit keine Torsion. Wenn du wissen willst, wie du den Schubmittelpunkt berechnest schaust du dir am besten unser Video dazu an.
Als erstes führen wir die Laufkonstante s ein. Am besten legst du sie so, wie du den Schubfluss erwartest. Hier sind ein paar Beispiele für den Schubfluss in dünnwandigen Profilen.
In unserem U-Profil lassen wir s wie folgt laufen:

Schubfluss Beispiele Schubspannung infolge Querkraft
Beispiele Schubfluss

Das Koordinatensystem legen wir mit z in Richtung der Querkraft in den Schwerpunkt S. Wie du den berechnen kannst zeigen wir dir in dem Video Schwerpunktberechnung.

Graphische Ermittlung

Um den Schubspannungsverlauf nun graphisch zu ermitteln zeichnen wir als erstes die z*h (s) Linie ein. Dabei ist h die Dicke des Querschnitts in Abhängigkeit von s und z ist der Wert der z-Koordinate, also der Abstand zum Schwerpunkt S entlang der z Achse.
Nun skizieren wir entlang der Laufvariable s den Wert von z*h. Die Dicke bleibt im gesamten Querschnitt gleich und somit auch h. Da der obere Abschnitt parallel zur y-Achse läuft bleibt z hier konstant. Die z*h Linie ist hier also gerade.

z*h Linie Schubspannungsverlauf Schubspannung infolge Querkraft
Einzeichnen von z*h

Betrachten wir das Koordinatensystem, sehen wir, dass z und somit auch z*h oberhalb der y-Achse negativ sind. Die Fläche hier muss also negativ gekennzeichnet werden. Die Werte an der Ecke sind immer gleich. Entlang der z Achse wird z und damit z*h größer bis es unterhalb des Schwerpunkts schließlich positiv wird. Der untere Abschnitt verhält sich genau wie der obere, nur dass hier z einen positiven Wert hat.

Koordinatensystem Schubspannungsverlauf Schubspannung infolge Querkraft
Betrachten des Koordinatensystems

Bestimmung des statischen Moments

Um das statische Moment S_y(s) zu bestimmen, müssen wir die zh Linie entlang der Laufvariable integrieren. In der graphischen Lösung entspricht es dem Flächeninhalt unter der zh-Linie. Deshalb addieren wir nun die einzelnen Flächeninhalte mit Rücksicht auf ihre Vorzeichen entlang der Laufvariable s. Das statische Moment ist am Anfang unserer Laufvariable also Null. Dann steigt die negative Fläche konstant an. Entlang der z Achse wird der negative Wert des Dreiecks zu dem bereits negativen Wert addiert, bis der Betrag des statischen Moments maximal wird. Auf die negative Fläche wird ab jetzt die positive Fläche des Dreiecks addiert, die Fläche wird also wieder kleiner. Im unteren Abschnitt nimmt der Betrag weiter ab bis das statische Moment am Ende wieder Null betragen muss.

statisches Moment Schubspannungsverlauf Schubspannung infolge Querkraft
Bestimmung statisches Moment

Als nächstes überlegen wir uns den Verlauf des Schubflusses. Den Schubfluss t\left(s\right) kannst du mit der Formel

t\left(s\right)=-Q_z\times\frac{S_y}{I_y}

berechnen. Da t\left(s\right) direkt proportional zu S_y(s) ist und Q_z und l_y unabhängig von s sind kannst du den Schubfluss genau wie das statische Moment einzeichnen, lediglich die Vorzeichen kehren sich durch das Minus in der Formel um.

Schubfluss Schubspannungsverlauf Schubspannung infolge Querkraft
Schubfluss

Super, jetzt können wir endlich den Verlauf der Schubspannung einzeichnen. Die Schubspannung in Abhängigkeit von s erhalten wir mit

\tau_{xs}(s)=\frac{t(s)}{h(s)}

Da h konstant ist, entspricht der Schubspannungsverlauf hier dem Schubflussverlauf. Die Maximale Schubspannung tritt also auf der Höhe des Schwerpunkts auf. Hier musst du dein Bauteil also eventuell verstärken.

Super, jetzt weißt du an welcher Stelle die Schubspannung am stärksten angreift und wie du den Verlauf einzeichnen musst.


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