Mechanik: Dynamik

Schwingungslehre II – Homogene Lösung

Du hast bestimmt schon einmal bemerkt, dass dein Fahrrad manchmal noch weiter schwingt, wenn du über einen Stein fährst. Wie du diese Bewegung beschreiben kannst, zeigen wir dir in diesem Beitrag.

Mathematische Beschreibung von Schwingungen

Zu Beginn frischen wir noch einmal die Grundlagen auf: Schwingungsgleichungen erhalten wir in der Regel in Form einer Differentialgleichung. Wir unterscheiden dabei in homogene und inhomogene Differentialgleichungen. In diesem Video dreht sich alles um die homogenen Gleichungen.

\alpha_0x+\alpha_1\dot{x}+\alpha_2\ddot{x}+\ldots+\alpha_nx^{\left(n\right)}=\sum_{i=0}^{n}{\alpha_i\frac{d^ix}{dt^i}}=0

Um diese Gleichung zu lösen, verwenden wir in der Regel den Ansatz:

x_h=ae^{rt}

Daraus ergibt sich die charakteristische Gleichung, mit der wir die Werte für r bestimmen können. A ergibt sich wiederrum aus den Anfangsbedingungen, also t gleich Null.

H\left(r\right)=\sum_{i=0}^{n}{\alpha_ir^i}=0

Beispiel

Nachdem wir die Grundlagen zur Lösung der homogenen Differentialgleichung nochmal durchgegangen sind, wenden wir diese jetzt auf ein Beispiel an. Dazu betrachten wir eine Rolle mit der Masse m gleich 10kg, dem Radius r gleich 30 cm und einem Massenträgheitsmoment im Schwerpunkt IS (IS) von 0,45 kgm^2. Diese Kugel ist im Schwerpunkt mit einem Feder-Dämpfer-System verbunden. Das heißt wir haben Feder und Dämpfer parallelgeschaltet und dann mit der Rolle verbunden. Die Federkonstante k ist gleich 15 Newton pro Meter und die Dämpfungskonstante ist 30Ns pro m.

Versuchsaufbau Schwingungen
Versuchsaufbau Schwingungen

Nun unterliegt das System zusätzlich noch einer Wegerregung. Diese greift in der Regel immer an der Feder an und sorgt für eine weitere Auslenkung. Das heißt, dass sich dieser Erreger hin und her bewegt und die Feder zusätzlich spannt bzw. entspannt. Diese Bewegung wird beschrieben durch:

u(t)=u_0\cos{\left(\omega t\right)}

Die Werte u0 und Omega sind bereits bekannt. Dabei ist u0 die Amplitude des Erregers mit 20 cm und Omega die Kreisfrequenz des Erregers mit 3 Rad pro Sekunde. Die Bewegung des Erregers startet in positive x-Richtung. Da wir wissen, dass wir eine Rollbewegung betrachten, nutzen wir zur Beschreibung eben dieser Bewegung erst einmal den Winkel phi.
Jetzt weißt du wie das System aussieht. Nun wollen wir als erstes die Differentialgleichung bezüglich x aufstellen, um anschließend die homogene Lösung zu bestimmen.
Dafür bilden wir den Drallsatz bezüglich des Berührpunktes A von Rolle und Boden. Den Drallsatz bezüglich des Schwerpunkts anzuwenden, ist hier nicht sinnvoll, da dort die Dämpfer- bzw. Federkraft angreifen.

I^A\ddot{\varphi}=-F_Dr-F_Fr

Dämpferkraft berechnen

Die Dämpferkraft ergibt sich aus der Rollgeschwindigkeit und der Dämpfungskonstante und die Federkraft aus dem zurückgelegten Weg und der Federkonstante. Bei der Federkraft müssen wir jetzt zusätzlich noch die Wegerregung betrachten. Diese bewirkt, dadurch, dass sie zu Beginn in positive x-Richtung geht, eine Verringerung des Weges und somit auch der Spannung bzw. der Kraft. Wir erhalten damit:

F_D=d\dot{\varphi}r\ und\ F_F=k(\varphi\ r-u\left(t\right))

Nun müssen wir nur noch das Massenträgheitsmoment bezüglich A bestimmen:

I^A=I^S+mR^2

Wir erhalten also für den Drallsatz:

(I^S+mr^2)\ddot{\varphi}=-d\dot{\varphi}r^2-k(\varphi\ r-u\left(t\right))r

Unser Ziel war aber die Differentialgleichung in Abhängigkeit von x aufzustellen. Dafür nehmen wir den bekannten Zusammenhang zwischen Phi und R:

x=\varphi\ r,\ \dot{x}=\dot{\varphi}r\ und\ \ddot{x}=\ddot{\varphi}r

Setzen wir das und die Gleichung für „u von t“ in den Drallsatz ein und formen so um, dass auf der linken Seite nur noch Terme mit x stehen und auf der rechten Seite Terme ohne x, erhalten wir:

\left(I^S+mr^2\right)\frac{\ddot{x}}{r}+d\dot{x}r+kxr=ku_0r\cos{\left(\omega t\right)}

Damit haben wir den ersten Aufgabenteil gelöst und die Differentialgleichung aufgestellt. Als nächstes wollen wir diese lösen. Dafür stellen wir sie zu Beginn so um, dass X Punkt Punkt alleine steht:

\ddot{x}+\dot{x}\frac{Dr^2}{\left(I^S+mr^2\right)}+x\frac{cr^2}{\left(I^S+mr^2\right)}=u_0\frac{kr^2}{\left(I^S+mr^2\right)}\cos{\left(\omega t\right)}

Um das Ganze noch etwas zu vereinfachen, schreiben wir die Gleichung mit Hilfe von Alpha um:

\ddot{x}+\dot{x}\alpha_1+x\alpha_0=u_0\alpha_0\cos{\left(\omega t\right)}

Differentialgleichung lösen
Differentialgleichung lösen

Mit:

\alpha_1=\frac{dr^2}{\left(I^S+mr^2\right)}\ und\ \alpha_0=\frac{kr^2}{\left(I^S+mr^2\right)}

Werte einsetzen

Durch Einsetzen der Werte aus der Aufgabe erhalten wir für Alpha1 gleich 2 und für Alpha Null gleich 1. In diesem Fall haben wir auf der rechten Seite zufällig auch Alpha Null stehen. Nachdem wir die Differentialgleichung vereinfacht haben, können wir uns der Lösung der Gleichung widmen. Da wir uns nur mit der homogenen Lösung beschäftigen möchten, vernachlässigen wir im Folgenden die Wegerregung. Falls du dazu noch Fragen hast, schau dir am besten das Video zur partikulären Lösung an. Mit Hilfe der charakteristischen Gleichung können wir eine Lösung der homogenen Gleichung finden:

H\left(r\right)=r^2+\alpha_1r+\alpha_0=0

Die Lösung finden wir mit Hilfe der p-q-Formel und erhalten somit:

r_{1/2}=-\frac{\alpha_1}{2}\pm\sqrt{\frac{{\alpha_1}^2}{4}-\alpha_0}

Als nächstes prüfen wir, ob die Wurzel reell ist, also größer Null:

\frac{{\alpha_1}^2}{4}-\alpha_0=\frac{2^2}{4}-1=0

Nun ist die Wurzel gleich Null und wir erhalten demnach nur eine Lösung. Unser System befindet sich also im Grenzfall der aperiodischen Dämpfung. Dementsprechend ist die Lösung

r=-\frac{\alpha_1}{2}=-1

Jetzt fehlt uns nur noch der Parameter a, damit wir homogene Lösung erhalten. Um a zu bestimmen, verwenden wir die Anfangsbedingung, dass bei t gleich Null eine Auslenkung von u Null vorhanden ist. Setzen wir das Ganze ein, erhalten wir:

x_h\left(0\right)=ae^{\mu0}=a=u0=20cm

Wir haben nun alle Parameter für die Lösung der homogenen Gleichung bestimmt und erhalten damit:

x_h\left(t\right)=20cm\ e^{-\frac{1}{s}t}

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