Regelungstechnik

Stabilitätskriterium nach Nyquist I

Du sitzt vor dem Kapitel „Systemeigenschaften“ und könntest bei dem Begriff Nyquist-Kriterium direkt an die Decke gehen? Tief durchatmen, wir verschaffen dir Abhilfe!

Das Stabilitätskriterium nach Nyquist über die Dauerschwingung

Im Gegensatz zum Hurwitz-Kriterium, kannst du mit dem Nyquist-Kriterium auch Regelkreise hinsichtlich ihrer Stabilität beurteilen, die Totzeitglieder beinhalten.

Ein rückgekoppeltes System nennt man auch geschlossenen Regelkreis oder geschlossene Kette. Wäre der Rückführungspfeil nicht vorhanden, spricht man vom offenen Regelkreis oder der offenen Kette. In ihr darf eine Totzeit vorkommen. Wir werden jetzt anhand der offenen Kette eine Aussage über die geschlossene Kette treffen. Dazu betrachten wir ein Blockschaltbild, in dem die Rückkopplung unterbrochen ist: Es muss für diesen Regelkreis eine Bedingung geben, unter der er Dauerschwingungen mit einer bestimmten Kreisfrequenz \omega_k ausführt.

Blockschaltbild Stabilitätskriterium Nyquist
Blockschaltbild

Zwischen den harmonischen, also sinusförmigen, Ein- und Ausgangsgrößen, lässt sich eine Beziehung formulieren:

y\left(j\omega\right)=-u\left(j\omega\right)\times G_R\left(j\omega\right)\times G_S\left(j\omega\right)

Frequenzgang und Dauerschwingung

Daraus kannst du jetzt den Frequenzgang des offenen Kreises G_0\left(j\omega\right) ableiten.

G_0\left(j\omega\right)=G_R\left(j\omega\right)\times\ G_S\left(j\omega\right)=-\frac{y\left(j\omega\right)}{u\left(j\omega\right)}

G_0\left(j\omega\right) entspricht dabei dem Produkt aus G_R\left(j\omega\right) und G_S\left(j\omega\right).

Ist erfüllt, dass diese Beziehung – 1  entspricht,

G_0\left(j\omega\right)=G_R\left(j\omega\right)\times\ G_S\left(j\omega\right)=-1=-\frac{y\left(j\omega\right)}{u\left(j\omega\right)}

so wird die geschlossene Kette eine ungedämpfte Schwingung mit der Kreisfrequenz \omega_k durchführen. An diesem Punkt sagt man, dass sich das System an seiner Stabilitätsgrenze befindet. Da durch die Rückkopplung eine Vorzeichenumkehr stattfindet und wir ein Minus erhalten, gibt es zwischen den beiden Schwingungen des Ein- und Ausgangs erst einmal eine Phasenverschiebung um -180 Grad.

Eine Dauerschwingung gibt es allerdings erst bei einer Phasenverschiebung um -360 Grad. Diese fehlenden -180 Grad müssen also noch durch den Frequenzgang der Kette G_0\left(j\omega\right)=G_R\left(j\omega\right)\times \G_S\left(j\omega\right) aufgebracht werden. Als weitere besondere Bedingung für eine Dauerschwingung muss die Verstärkung, die die Kette bewirkt, bei der Frequenz \omega_k genau 1 betragen. Diese Verstärkung nennt man Kreisverstärkung V_0\ \left(\omega_k\right). Sie entspricht also dem Betrag des Frequenzgangs für \omega_k.

{|G}_0\left(j\omega_k\right)|=V_0\ \left(\omega_k\right) = 1

Bedingungen für die offene Kette

Das heißt, dass die Schwingung konstant bleibt und die Ein- und Ausgangsamplituden u\left(j\omega\right) und y\left(j\omega\right) genau gleich groß sind. Somit kannst du dir aus diesen Überlegungen zwei wichtige Bedingungen für die offene Kette merken:

Erstens: Der Winkel der offenen Kette muss -180 Grad betragen

G_0\left(j\omega_k\right)=-180\degree

Und zweitens: Es gibt einen sogenannten kritischen Punkt G_0\left(j\omega_k\right)=(-1;0) in der komplexen Ebene, der ganz entscheidend dafür ist, ob ein System als stabil beurteilt wird.

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Wichtige Bedingungen

Was du mit diesem kritischen Punkt machst und was das Nyquist-Kriterium mit der sogenannten Ortskurve am Hut hat, erklären wir dir in unserem nächsten Video.

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