Elektrotechnik Grundlagen

Stern-Dreieck-Transformation

Du kennst zwar den Unterscheid zwischen der Stern- und Dreieckschaltung, möchtest jetzt allerdings noch wissen, wie die Stern-Dreieck-Umwandlung funktioniert? Wir erklären dir, wie man die Stern- oder Dreieckschaltung in die jeweils andere Schaltung umwandelt an einem einfachen Beispiel.

Stern-Dreieck-Umwandlung Herleitung: Erklärung der Vorgehensweise

Die Stern-Dreieck-Umwandlung wird auch häufig als Delta-Star-Transformation oder Kennelly-Theorem bezeichnet. Um die eine Schaltung in die andere umzuwandeln, muss uns erst klar werden, was das elektrotechnisch bedeutet. Damit die Schaltungen gleichwertig sind, musst du zwischen zwei Klemmen immer den gleichen Widerstandswert haben.

Stern-Dreieck-Umwandlung
Stern-Dreieck-Umwandlung

Das heißt: Misst du zwischen den Punkten 1 und 2 deiner vorhandenen Stern- oder Dreieckschaltung einen gewissen Widerstand, bspw. 25 Ohm, so musst du in der transformierten Stern- bzw. Dreieckschaltung ebenfalls zwischen den Punkten 1 und 2 diesen Widerstandswert messen. Dieses Wissen ist die Grundlage für die Berechnung zur Umwandlung zwischen den Schaltungen.

Betrachten wir beispielhaft die Klemmen 1 und 2 für die Herleitung: In der Sternschaltung befinden sich die Widerstände R_{10} und R_{20} – verbunden über den Sternpunkt – zwischen den Punkten 1 und 2. Der Widerstand R_{30} trägt zu unserer Berechnung nichts bei, weil er von unserer Betrachtung aus „in der Luft“ hängt, also keine elektrische Verbindung mit den Punkten 1 und 2 hat. Daher kannst du ihn vernachlässigen.

Stern-Dreieck-Umwandlung
Stern-Dreieck-Umwandlung

In unserer Dreieckschaltung sieht das schon ein wenig kniffliger aus. Hier ist der Widerstand R_{12} direkt zwischen den Punkten 1 und 2 und parallel dazu die Widerstände R_{23} und R_{13}, die über den Punkt 3 verbunden sind. Wichtig ist hier, dass du die Parallelschaltung nicht vergisst, denn es besteht über die Klemme 3 und den zwei Widerständen eine elektrische Verbindung zwischen den Punkten 1 und 2. Es muss also gelten: R_{10} in Reihe zu R_{20} ist gleich parallel zur (Reihenschaltung aus R_{13} und R_{23}). Analog ergibt sich für die anderen Klemmenpaare:

{1\ und\ 3:\ R_{10}+R_{30}=R_{13}\ ||\ (R_{12}+R_{23})
2\ und\ 3:\ R_{20}+R_{30}=R_{23}\ ||\ (R_{12}+R_{13})

Jetzt haben wir drei Gleichungen und die drei Unbekannten R_{12}, R_{13} und R_{23} oder R_{10}, R_{20} und R_{30} und können dieses Gleichungssystem dementsprechend lösen, je nachdem ob wir vom Stern ins Dreieck oder umgekehrt umrechnen möchten. Diesen Schritt wollen wir hier überspringen und dir die fertige Lösung präsentieren. Zur Übung und zum Verständnis rechne es doch am besten selbst nochmal nach.

Umwandlung Sternschaltung in Dreieckschaltung

Für die Umwandlung einer Sternschaltung in eine Dreieckschaltung bekommen wir also folgende Formeln für die Dreieckswiderstände:

Stern-Dreieck-Umwandlung
Stern-Dreieck-Umwandlung

Du siehst, wenn du eine Sternschaltung in eine Dreieckschaltung umwandeln möchtest, musst du die bekannten Werte der Sternwiderstände in die drei Formeln einsetzen. Zunächst multiplizierst du alle drei Widerstände miteinander und addierst die drei entstandenen Produkte. Dies ist der Zähler deines Bruches. Im Nenner steht immer der Widerstand, der nicht an den zwei Klemmen angeschlossen ist, zwischen denen du den Dreieckswiderstand berechnest. Beim Rechnen selbst ist es für dich einfacher zuerst den Zähler zu ermitteln und dir das Ergebnis zu notieren. Diesen Wert kannst du dann für alle drei Berechnungen im Zähler einsetzen, da sich dieser nicht ändert.

Umwandlung Dreieckschaltung in Sternschaltung

Nun wollen wir uns anschauen, wie Du vorgehen musst, wenn du eine Dreieckschaltung in eine Sternschaltung umwandeln willst. Für die Umrechnung stehen dir folgende Gleichungen zur Verfügung:

Dreieck-Stern-Transformation
Dreieck-Stern-Transformation

Nun sind Dir die Werte der Widerstände in der Dreieckschaltung bekannt und du möchtest die Werte der Sternwiderstände berechnen. Unser Nenner ist immer die Summe aus allen drei Widerständen der Dreieckschaltung und im Zähler steht das Produkt aus den beiden Widerständen, die an der Klemme hängen, für die du gerade den Sternwiderstand ausrechnest. Es bietet sich für all deine Berechnungen an, zunächst den Nenner auszurechnen und zu notieren, da dieser immer gleich ist.

Für den Sonderfall, dass die drei Widerstände in deiner Stern- oder Dreieckschaltung den gleichen Wert haben, vereinfacht sich die Berechnung für dich. Die Umrechnung erfolgt mit den Formeln:

R_{Dreieck}=3\ast\  R_{Stern}\ bzw.\ R_{Stern}=\frac{1}{3}\ast\ R_{Dreieck}

Der Dreieckswiderstand ist also dreimal so groß wie der Sternwiderstand bzw. hat der Sternwiderstand nur ein Drittel des Werts des Dreieckwiderstands. Wie du siehst, musst du dich vor Stern- und Dreieckschaltungen nicht fürchten, sondern kannst ganz entspannt mit den Formeln die Schaltung zu deinen Gunsten verändern.

Stern-Dreieck-Umwandlung Beispiel

Schauen wir uns nun die Umwandlungen an einfachen Beispielen an.

In unserem Beispiel wollen wir den Ersatzwiderstand einer Brückenschaltung berechnen, die mit folgenden Widerständen besetzt ist und so aussieht:

Stern-Dreieck-Transformation Beispiel
Stern-Dreieck-Transformation Beispiel

Da wir hier keine Reihen- bzw. Parallelschaltung haben, ist es für uns unmöglich den Ersatzwiderstand mit einfachen Mitteln zu berechnen. Wir müssen unsere Schaltung also so verändern, dass wir am Schluss nur noch parallel und in Reihe geschaltete Widerstände haben. Und hier kommt jetzt unsere Stern- und Dreieckschaltung ins Spiel bzw. deren Transformationen. Um die Umwandlung in beide Richtungen, also von Stern in Dreieck und von Dreieck in Stern zu zeigen, werden wir das Beispiel auf beide Arten rechnen.

Umwandlung Sternschaltung in Dreieckschaltung

Fangen wir zunächst mit der Stern-zu-Dreieck-Transformation an. Durch diese Transformation bekommen wir eine reine Parallel- und Reihenschaltung der Widerstände, mit der wir ganz einfach den Ersatzwiderstand berechnen können. Als erstes suchen wir uns die Sternschaltung mit R1, R3 und R5 aus und beschriften deren Klemmen mit 1, 2 und 3. Im zweiten Schritt tauschen wir die Sternschaltung durch eine Dreieckschaltung aus. Dazu entfernen wir einfach die Widerstände R1, R3 und R5 aus der Schaltung.

Stern-Dreieck-Umwandlung
Umwandlung Sternschaltung in Dreieckschaltung

Zurück bleiben der R2 und der R4 und unsere drei eingezeichneten Klemmpunkte. Zwischen diesen zeichnen wir nun drei neue Widerstände als Dreieckschaltung und benennen sie anhand der Klemmen, zwischen denen sie angeschlossen sind. Die Widerstände müssen jetzt auf jeden Fall anders heißen, da sie auch andere Werte haben! Beschrifte sie am besten nach dem simplen Zahlenschema, bei dem die Indizes den Klemmennummern entsprechen. Für den Fall, dass du die entstandene Reihen- und Parallelschaltung nicht auf Anhieb siehst, haben wir die Schaltung noch einmal umgezeichnet.

Nun geht es an die Berechnung der Werte für R_{12}, R_{13} und R_{23}. Solltest du Dir schwer tun die Widerstände R1, R3 und R5 in die Formeln einzutragen, notiere dir die Beschreibungen mit den Klemmen daneben, also R1 = R_{10}, R3 = R_{30} und R5 = R_{20}. In unserer Berechnung wollen wir die echten Bezeichnungen der Widerstände benutzen. Als Erstes rechnen wir den Zähler Z aus, der bei einer Stern-zu-Dreieck-Umwandlung immer der gleiche ist:

Lösung Sternschaltung in Dreieckschaltung
Lösung Sternschaltung in Dreieckschaltung

Damit können wir nun die Dreieckswiderstände ganz einfach ausrechnen. Diese Werte setzen wir nun in unser Bild mit der reinen Reihen- und Parallelschaltung ein und können so bequem den Ersatzwiderstand von 6,24 Ω ausrechnen.

Umwandlung Dreieckschaltung in Sternschaltung

Jetzt wollen wir die gleiche Schaltung rechnen, aber diesmal wandeln wir eine Dreieckschaltung in eine Sternschaltung um, damit du siehst, dass am Schluss der gleiche Wert für den Ersatzwiderstand herauskommt.

Stern-Dreieck-Umwandlung Beispiel
Beispiel Dreieck- in Sternschaltung

Auch hier suchen wir uns zunächst die Dreieckschaltung mit R1, R2 und R3 aus und beschriften die drei Klemmpunkte mit 1, 2 und 3. Dann entfernen wir die Widerstände der Dreieckschaltung. Übrig bleiben der R4 und der R5, sowie unsere drei Klemmpunkte. Zwischen den Klemmen zeichnen wir nun eine Sternschaltung und bezeichnen die Widerstände anhand der Klemmen, über die sie mit dem Sternpunkt verbunden sind. Durch diese Umformung entsteht nun eine Schaltung, die nur aus Reihen- und Parallelschaltung besteht und von der du ganz einfach den Ersatzwiderstand ausrechnen kannst. Für den Fall, dass du noch nicht ganz erkennst, wie einfach unsere Schaltung jetzt geworden ist, haben wir sie für dich umgezeichnet.

Nun wollen wir die Werte für R_{10}, R_{20} und R_{30} berechnen. Wie bei der vorherigen Aufgabe, gilt auch hier: Tust du dir schwer beim Einsetzen der realen Widerstandsbezeichnungen in die Formeln, schreibe dir als Hilfe die Standardnamen der Dreieckschaltung daneben: R1 = R_{12}, R2 = R_{13} und R3 = R_{23}. Wir verwenden wieder die realen Bezeichnungen.

Dreieck-Stern-Umwandlung
Dreieck-Stern-Umwandlung Lösung

Als Erstes berechnen wir die Summe der Dreieckswiderstände für unseren Nenner N. Nun können wir die Sternwiderstände ausrechnen: Diese Werte setzen wir nun in unser Ersatzschaltbild und können so durch zusammenfassen der Widerstände den Ersatzwiderstand von 6,24 Ω ausrechnen. Es kommt das gleiche heraus wie bei der Stern-zu-Dreieck-Transformation und das muss auch so sein, denn es ist ja die gleiche Schaltung.

Jetzt weißt du, wie du Stern- und Dreieckschaltungen ineinander umwandelst und hast hoffentlich erkannt, wie hilfreich das sein kann.

 

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