Mathe für Ingenieure

Funktionenreihen
Taylorreihe Sinus

Du weißt zwar, wie du theoretisch eine Taylorreihe berechnen kannst, die Taylorreihe Sinus bereitet die aber noch Probleme? In diesem Beitrag erklären wir dir Schritt für Schritt die Taylorreihe der Sinusfunktion.

Taylorentwicklung Sinus: Ableitungen und Entwicklung des Taylor-Polynoms

Wir betrachten nun also die Sinusfunktion von x und einen Entwicklungspunkt von x_0=0. Davon bilden wir nun die verschiedenen Taylorpolynome und die erste Ableitung.

Taylorentwicklung Sinus 1. Ableitung
Taylorentwicklung Sinus 1. Ableitung

Die Ableitung von Sinus x ist Cosinus x. Der Cosinus an der Stelle Null ist 1. Damit kannst du schon das Taylorpolynom T_2f aufstellen.

T_2f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+\frac{f^\prime\left(x_0\right)}{1!}\ast\left(x-x_0\right)=\sin{\left(0\right)}+\frac{\cos{\left(0\right)}}{1}\ast\left(x-x_0\right)

=0+1\ast\left(x-x_0\right)=0+1\ast\ (x-0)=x

f an der Stelle x_0 ist Sinus von Null und das ergibt wiederum Null. f' an der Stelle Null ist Cosinus von Null. Daraus resultiert als Ergebnis Eins. Für x_0 setzen wir auch in der Differenz Null ein. T_2f ist gleich x. Schauen wir uns das doch mal graphisch an.

Taylorreihe Sinus: Grafik 1. Ableitung und Taylorpolynom 2. Grades
Taylorreihe Sinus: Grafik 1. Ableitung und Taylor-Polynom 2. Grades

Die blaue Kurve ist der Sinus und die orangefarbene das Taylorpolynom zweiten Grades. Du kannst erkennen, dass die orangene Kurve die Tangente an den Funktionsgraphen im Entwicklungspunkt  ist.

Taylorreihe Sinus: Zweite und dritte Ableitung

Nun bilden wir die nächsten zwei Ableitungen und werten sie wieder an der Stelle Null aus.

f^{\prime\prime}\left(x\right)=-\sin{\left(x\right)},\ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0

f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)=-\cos{\left(x\right)},\ f^{\prime\prime\prime}\left(0\right)=-1

Die zweite Ableitung ist Minus der Sinus und ergibt an der Stelle Null, Null. Dieser Faktor gehört zum quadratischen Glied des Taylor-Polynoms, also hat das Taylor-Polynom keinen quadratischen Anteil. Auch das konstante Glied des Taylor-Polynoms war am Entwicklungspunkt Null, denn \sin{(0)}=0. Konstanten und quadratische Terme sind gerade Funktionen, der Sinus ist jedoch eine ungerade Funktion. Daher kann auch das Taylor-Polynom des Sinus keinerlei gerade Terme enthalten.

Wir wissen schon jetzt, dass die zweite, vierte, sechste und die weiteren Ableitungen ausgewertet an der Stelle Null alle wegfallen werden. Da somit T_2f T_3f entspricht, können wir direkt T_4f aufstellen, um eine bessere Approximation zu erhalten.

Taylorreihe Sinus: Taylor-Polynom vierten Grades

Es ergibt sich das hier:

Taylorpolynom vierten Grades der Sinusfunktion
Taylorpolynom vierten Grades der Sinusfunktion

Die ersten zwei Glieder kannst du getrost von vorher abschreiben. Die zweite Ableitung ist Null, wie wir festgestellt haben, sodass der quadratische Term wegfällt. Wir setzen -1 für die dritte Ableitung ein, teilen durch 3!, also durch sechs, und erhalten T_4f als x-\frac{x^3}{6}.

Auch das plotten wir und wir sehen, dass sich schon eine bessere Approximation ergibt. Der gelbe Graph nähert sich dem Verlauf der blauen Sinus-Kurve an.

Taylorreihe Sinus
Grafik Taylor-Polynom vierten Grades

Als nächstes plotten wir T_6f. Versuch doch mal, das Polynom selbst aufzustellen. Kommst du auch auf

T_6f\left(x\right)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}

Schau dir den lila Kurvenverlauf an. Die Annäherung ist nochmals genauer geworden. Gehen wir jetzt noch zwei Ordnungen höher, ist die Abweichung kaum mehr zu erkennen, wie du im Graph siehst. Die grüne und blaue Kurve sind kaum zu unterscheiden.

Weitere Taylorpolynome
Weitere Taylorpolynome

Sinus Taylorreihe: Einführung des Landau-Symbols

Du kannst auch

\sin{\left(x\right)}=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)

schreiben. Dabei ist O das Landau-Symbol. Allgemein gilt:

f\left(x\right)=T_mf\left(x\right)+O(({x-x_0\ )}^m)

Wenn du das Taylor-Polynom m-ten Grades aufgestellt hast, kannst du den Fehler zur Funktion f, also alle fehlenden Potenzen ab der Ordnung m, mithilfe des Landau-Symbols O zusammenfassen zu O\left(x^m\right). Dabei steht O\left(x^m\right) für eine beliebige Funktion, die mindestens den Faktor x^m enthält. Genauer heißt das: Wenn du eine Funktion in der Form f\left(x\right)=x^mg\left(x\right) ausdrücken, also x^m ausklammern kannst, schreibst du f\left(x\right)=O\left(x^m\right). Dabei muss gelten, dass g\left(x\right) im Ursprung stetig ist.

Hier einige Beispiele zum Verständnis. Beim ersten Beispiel kann x^3 ausgeklammert werden. Der Vorfaktor 5 ist eine konstante Funktion, die im Ursprung stetig ist. Klammerst du x^4 aus, erhältst du für g\left(x\right)=\frac{5}{x}. Diese Funktion ist im Ursprung nicht stetig und somit gilt 5x^3\neq\ O\left(x^4\right). x^2 lässt sich nämlich ausklammern und 5x ergibt eine stetige Funktion.

Sinus Taylorreihe : Landau-Symbol
Sinus Taylorreihe : Landau-Symbol

Wenden wir uns dem nächsten Beispiel zu. Du musst dir lediglich den Term niedrigster Ordnung ansehen. Das ist in diesem Fall x^2. Die übrigen Terme x^4 und x^6 sind ebenfalls in O\left(x^2\right), da du auch hier x^2 ausklammern kannst. Kommen wir nun zurück zu unserer Taylorreihe des Sinus:

\sin{\left(x\right)}=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)

Diese Schreibweise bedeutet also, dass der Sinus aus den Termen x-\frac{x^3}{6} und einem Restglied aus Termen mindestens 5. Ordnung beschrieben werden kann.

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