Mathe für Ingenieure

Transformation in System 1. Ordnung

Du möchtest wissen, wie du eine lineare Differentialgleichung höherer Ordnung in ein System 1. Ordnung transformierst? Im Folgenden zeigen wir dir das Vorgehen an einem einfachen Beispiel.

Beispiel zur Transformation in ein System 1. Ordnung

In vielen Fällen ist es einfacher mit Differentialgleichungen erster Ordnung zu rechnen. Dafür gibt es verschiedene Lösungsmethoden, wie die Variation der Konstanten. Diese Methode kannst du auch auf Systeme übertragen. Wie du eine DGL höherer Ordnung in ein System erster Ordnung transformierst, zeigen wir direkt an einem Beispiel.

Du hast eine DGL zweiter Ordnung, wie diese hier:

y^{\prime\prime}+2y+x=0

Nun führst du zwei neue Variablen ein: y_1=y und y_2=y\prime. Diese setzt du in die ursprüngliche DGL zweiter Ordnung ein. Und schon ist es eine Differentialgleichung erster Ordnung.

Beispiel Transformation in System 1. Ordnung
Beispiel Transformation in System 1. Ordnung

Die zwei Variablen y_1 und y_2 verlangen nach einem System aus zwei Differentialgleichungen. Das ist wie bei linearen Gleichungssystemen. Du brauchst zwei Gleichungen bei zwei Unbekannten. Die zweite DGL deines Systems ergibt sich aus der Definition von y_2, in der du y durch y_1 ersetzt. y und y_1 sind ja schließlich gleich. Es ergibt sich das Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Das kannst du jetzt auch in Matrizenschreibweise schreiben:

\binom{y_1^\prime}{y_2^\prime}=\left(\begin{matrix}0&1\\-2&0\\\end{matrix}\right)\binom{y_1}{y_2}+\binom{0}{-x}

Die Vorfaktoren vor y_2  und y_1 kommen an die passende Stelle in der Matrix und Inhomogenitäten in einen Extra Vektor. Allgemein kannst du schreiben:

y^\prime=A(x)y+b(x)

Im Beispiel ergeben sich für den Vektor y, die Matrix A und den b-Vektor:

y=\binom{y_1}{y_2}\ \ A=\left(\begin{matrix}0&1\\-2&0\\\end{matrix}\right)\ b\left(x\right)=\binom{0}{-x}

Weiteres Beispiel: DGL vierter Ordnung

Die Transformation in ein System erster Ordnung ist bei Differentialgleichungen höherer Ordnung genauso möglich. Machen wir mal ein Beispiel einer DGL vierter Ordnung.

3y^{(4)}+2y^{\prime\prime}+y^\prime+4y=\sin\funcapply x

Wir gehen nach dem gleichen Schema vor und führen neue Variablen ein.

Beispiel Transformation DGL 4. Ordnung in DGL 1. Ordnung
Beispiel Transformation DGL 4. Ordnung in DGL 1. Ordnung

Du brauchst bei einer DGL vierter Ordnung vier neue Variablen; auch wenn die dritte Ableitung in der DGL nicht vorkommt, wie in diesem Fall. Diese kannst du jetzt in die Differentialgleichung vom Anfang einsetzen, damit sich eine DGL erster Ordnung ergibt. Jetzt lösen wir diese nach der Ableitung y_4^\prime auf. Das DGL-System in Matrix-Schreibweise ergibt sich wie folgt:

Lösung zweites Beispiel
Lösung zweites Beispiel

Die ersten drei Zeilen der Matrix ergeben sich wieder aus den Definitionen der neuen Variablen. Du erkennst hier sogar ein Muster, eine um eine Stelle nach rechts versetzte Einheitsmatrix. Die letzte Zeile ist die ursprüngliche DGL. Somit enthält nur die letzte Stelle des b-Vektors einen Eintrag. Die Struktur

A=\left(\begin{matrix}\begin{matrix}0&\ 1\\\vdots&\ 0\\\end{matrix}&\begin{matrix}0&0\\\ddots&0\\\end{matrix}\\\begin{matrix}0&0\\\ast&\ast\\\end{matrix}&\begin{matrix}0&1\\\ast&\ast\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right)
b=\left(\begin{matrix}\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\\\begin{matrix}0\\\ast\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right)

der Matrix A und des Vektors b ist allgemeingültig. Sie enthält also in jedem Fall eine um rechts verschobene Einheitsmatrix und kann nur in der untersten Zeile überall Einträge haben.

Jetzt weißt du, wie du Differentialgleichungen höherer Ordnung ganz einfach lösen kannst, indem du sie in ein System erster Ordnung umformst.

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