Wärmelehre

Wärmeübertrager

Inhaltsübersicht

Du wolltest schon immer einmal wissen, wie die Funktionsweise eines Kühlschranks aussieht und wie der Wärmeübertrager funktioniert? Im folgenden Beitrag erfährst du das Wichtigste zum Wärmeübertrager und wie man diesen berechnen kann.

Wie funktioniert ein Wärmeübertrager?

Zuerst einmal wollen wir dir die allgemeine Bauweise eines Kühlschranks erklären, um dir damit die Funktion des Wärmeübertragers näherzubringen. Der Schrank und die Tür sind nach außen hin gut abgedichtet, damit über die Wände keine Kälte verloren geht oder Wärme eindringen kann. Auf der Rückseite sind jedoch noch mehr Bauteile vorhanden, nämlich ein Kompressor, eine Drossel und Rohre, die schlangenförmig angeordnet sind.

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Aufbau Kühlschrank

Sie alle werden benötigt, damit der Wärmeübertrager seine Aufgabe erfüllen kann, denn die Kühlung funktioniert nun folgendermaßen: In den Rohren befindet sich ein gasförmiges Kältemittel. Dieses wird durch den Kompressor verdichtet, wodurch sich das Medium erwärmt. Diese Wärme wird an die Umgebung abgegeben, weshalb das Mittel kondensiert. Das Kühlmittel strömt nun durch die Drossel ins Innere des Schrankes. Das Medium verdampft dort. Dazu braucht es aber noch Energie. Die Energie ist in Form von Wärme vorhanden und wird den Kühlfächern entzogen. Als Gas strömt es dann wieder zurück zum Kompressor und der Kreislauf beginnt von vorne. Die grundlegende Funktionsweise in Bezug auf den Wärmeübertrager ist uns nun also klar.

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Funktionsweise Kühlschrank

Das Prinzip des Wärmeübertragers

Das Prinzip, das hier dahintersteckt, ist das des Wärmeübertragers. Die Aufgabe des Wärmeübertragers ist es, die Wärme von einem auf den anderen Stoff zu übertragen. Und genau das passiert bei einem Kühlschrank. Die Wärme der Lebensmittel wird an das Kühlmittel übertragen und nach außen abgeführt. Wenn du wissen willst, wie gut dein Kühlschrank und somit dein Wärmeübertrager funktioniert, kannst du das über die übertragene Wärmeleistung ganz einfach berechnen. Um auf den allgemeinen Ansatz für die Wärmeleistung zu kommen, brauchen wir eine Energiebilanz der Wärmeübertrager, die nachfolgend aufgezeigt wird.

Veranschaulichung eines Wärmeübertragers

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Wärmeübertrager – vereinfachte Darstellung

Hier siehst du ein Quadrat, das unseren Kühlschrank bzw. Wärmeübertrager darstellen soll. In den Kühlschrank kommt nun Wärme durch die Lebensmittel, die eine bestimmte Temperatur {T_h}' haben, hinein. Diese werden dann auf eine gewisse Temperatur {T_h}'' abgekühlt. Das Kühlmittel wiederrum bringt die Kälte in den Schrank. Das Medium hat bei Eintritt die Temperatur {T_k}' und erwärmt sich auf die Temperatur {T_k}''. Im Großen und Ganzen heißt das, dass das heiße Medium Wärme abgibt und das kalte Wärme aufnimmt und an diesem Grundprinzip greift der Wärmeübertrager an. Der Wärmestrom gibt an, wie viel Wärme übertragen werden kann und wird mit der Formel \dot{Q}={\dot{m}}_h\ast c_{p},_{h} für das heiße Medium und mit \dot{Q}={\dot{m}}_k\ast c_{p},_{k} für das kalte Medium berechnet.

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Wärmestrom berechnen

Der Massenstrom m gibt an, welche Menge in einer bestimmten Zeit hinein- beziehungsweise herausströmt. c_p ist die spezifische Wärmekapazität, die man als Stoffgröße je nach Medium aus einer Tabelle entnehmen kann. Falls du aber nicht wissen solltest, wie groß dein Massenstrom ist, kannst du deine Wärmeleistung auch noch auf einem anderen Weg ausrechnen.

 

Wärmeleistung des Wärmeübertragers berechnen

Hierbei greifen wir auf die stationäre Wärmeleitung zurück. Wie du sicherlich weißt, konntest du dort deinen Wärmestrom so berechnen:

\dot{Q}=\frac{T_i-T_a}{\frac{1}{\alpha_1\ast A}+\ \sum_{i=1}^{n}\ \frac{\delta_i}{\lambda_i\ast A}+\frac{1}{\alpha_2\ast A}}

Diesen brauchst du, damit du die Leistung des Wärmeübertragers berechnen kannst. Mit der sogenannten k-Zahl, die die Summe der einzelnen thermischen Widerstände beschreibt, kannst du die Formel vereinfachen, denn:

k\ =\ (\frac{1}{\alpha_1}\ +\ \ \sum_{i=1}^{n}\ \frac{\delta_i}{\lambda_i}\ +\ \frac{1}{\alpha_2})^{-1}

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Wärmeleistung berechnen

Die vereinfachte Variante sieht dann so aus:

\dot{Q} = \frac{T_i-T_a}{\frac{1}{k\ast A}}=\ k\ast A\ast(T_i-T_a)

A ist die Fläche, die die Wärme überträgt. Beim Rohr ist das zum Beispiel die innere Mantelfläche, also A=\pi\ast D_i\ast L. Die Temperaturen ändern sich jedoch bei einem Wärmeübertrager. Allgemein können wir erst einmal den Temperaturunterschied als {\Delta T}_{log} ausdrücken. Somit lautet die Formel letztendlich \dot{Q}=k\ast A\ast {\Delta T}_{log}. Das log zeigt, dass die Temperaturänderung bei einem Wärmeübertrager nicht linear, sondern logarithmisch verläuft. Welche Temperaturen du hier genau betrachten musst, hängt zum einen vom Temperaturverlauf und zum anderen von der Stromführung des Wärmeübertragers ab.

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Temperaturänderung beim Wärmeübertrager

Temperaturverlauf beim Wärmeübertrager

Hier siehst du einen Gleichstrom-Wärmeübertrager. Das heißt, dass das heiße und das kalte Medium in eine Richtung fließen. Beim Gegenstrom-Wärmeübertrager sieht es dagegen so aus: Bei diesem fließt das kalte Medium in eine andere Richtung als das Warme. Durch mathematische Überlegungen lässt sich die logarithmische Temperaturdifferenz allgemein berechnen mit:

{\Delta T}_{log}=\frac{{\Delta T}_1-{\Delta T}_2}{ln\frac{{\Delta T}_1}{{\Delta T}_2}}

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Gleichstrom-Wärmeübertrager und Gegenstrom-Wärmeübertrager

Deine Temperaturunterschiede am Eingang {\Delta T}_1 und am Ausgang {\Delta T}_2 hängen, wie schon erwähnt, mit den Temperaturverläufen zusammen. Dort gibt es wieder zwei Vorfälle zu unterscheiden. Der erste Fall tritt ein, wenn sich nur eine Temperatur verändert und die andere konstant bleibt. Die konstant bleibende Temperatur ist dabei die Wand- oder Umgebungstemperatur. Beim zweiten Fall sind sowohl die Temperatur des heißen Mediums, wie auch die des kalten Mediums, veränderlich. Nun sind dir alle Komponenten gegeben, um den Wärmeübertrager berechnen zu können.

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Wärmeübertrager – zwei Fälle

Wärmeübertrager berechnen

Betrachten wir zuerst den Fall mit einer konstant bleibenden Temperatur. Kühlt nur das warme Medium ab und das kalte nimmt die Umgebungstemperatur an, dann haben wir einen Abkühlvorgang. Dabei wird {\Delta T}_1 mit {\Delta T}_1=T_1-T_{\infty} und {\Delta T}_2 mit {\Delta T}_2=T_2-T_{\infty} ausgedrückt. Somit wird die Formel für die logarithmische Temperatur zu:

{\Delta T}_{log}=\frac{(T_1-T_{\infty})-(T_2-T_{\infty})}{ln\frac{(T_1-T_{\infty})}{(T_2-T_{\infty})}}

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Wärmeübertrager – erster Fall

Bei einem Aufwärmvorgang bleibt die Temperatur des heißen Mediums konstant und das Kalte erwärmt sich. Mit {\Delta T}_1=T_{\infty}-T_1 und {\Delta T}_2=T_{\infty}-T_2 ergibt sich für die logarithmische Temperatur:

{\Delta T}_{log}=\frac{(T_{\infty}-T_1)-(T_{\infty}-T_2)}{ln\frac{(T_{\infty}-T_1)}{(T_{\infty}-T_2)}}

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Wärmeübertrager – erster Fall (Aufwärmvorgang)

Fehlt uns nur noch der Fall in Bezug auf den Wärmeübertrager, dass sich beide Temperaturdifferenzen verändern. Hierbei kommt es jetzt auf die Stromführung an. Wenn wir einen Gleichstrom-Wärmeübertrager haben, dann wird mit {\Delta T}_1={T_h}'-{T_k}' und {\Delta T}_2={T_h}''-{T_k}'' die logarithmische Temperatur zu:

{\Delta T}_{log}=\frac{({T_h}'-{T_k}')-({T_h}''-{T_k}'')}{ln\frac{({T_h}'-{T_k}')}{({T_h}''-{T_k}'')}}

Bei einem Gegenstrom-Wärmeübertrager hingegen, wird die Formel zu:

{\Delta T}_{log}=\frac{({T_h}'-{T_k}'')-({T_h}''-{T_k}')}{ln\frac{({T_h}'-{T_k}'')}{({T_h}''-{T_k}')}}

da {\Delta T}_1=\ {T_h}'-{T_k}'' und {\Delta T}_2=\ {T_h}''-{T_k}' ist.

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Wärmeübertrager – zweiter Fall

Und schon sind wir am Ende. Da du nun die Temperaturdifferenzen berechnen kannst, musst du diese nur noch in die Formel \dot{Q}\ = k\ast A\ast{\Delta T}_{log} einsetzen und schon kannst du die übertragene Wärmeleistung bestimmen.

Jetzt bist du nicht nur beim Thema Funktionsweise Kühlschrank ein Profi, sondern weißt im Detail, was ein Wärmeübertrager ist und wie man den Wärmeübertrager berechnen kann.


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