Mechanik: Dynamik

Winkelbeschleunigung

Inhaltsübersicht

In dem folgenden Artikel erklären wir dir wie sich Winkelbeschleunigung zusammensetzt, in welcher Einheit man sie angibt und wie man sie berechnet.

Falls du das Thema lieber in einem Video erklärt bekommen möchtest, dann schau doch hier mal rein.

Winkelbeschleunigung Definition

Die Winkelbeschleunigung beschreibt die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Dies bedeutet, dass die Winkelbeschleunigung die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit ist.
Mathematisch kann dieser Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit \omega und Winkelbeschleunigung \alpha durch die zeitliche Ableitung ausgedrückt werden.

\alpha\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}

Die Winkelbeschleunigung darf nicht mit der Tangentialbeschleunigung a_T verwechselt werden, welche die Ableitung der Bahngeschwindigkeit darstellt,

a_T=\frac{\mathrm{d}v}{dt}=r\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}=r\cdot\alpha

wobei r den Abstand zur Rotationsachse repräsentiert. Betrachtet man eine Kreisbewegung, so zeigt die Winkelbeschleunigung in die tangentiale Richtung. Zusätzlich zur Winkelbeschleunigung, wirkt auf den Körper auch noch die sogenannte Radialbeschleunigung, oder auch Zentripetalbeschleunigung genannt. Die Radialbeschleunigung und Winkelbeschleunigung sind senkrecht zueinander.

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Winkelbeschleunigung Aufbau

Da bei einer Kreisbewegung die Geschwindigkeit immer tangential zur Kreisbewegung ist, ändert die Geschwindigkeit ständig ihre Richtung. Die Geschwindigkeit wird andauernd zum Kreismittelpunkt hin beschleunigt. Diese Beschleunigung wird Radialbeschleunigung genannt. Die Gesamtbeschleunigung bei einer Kreisbewegung kann dann durch die Summe der Winkelbeschleunigung und der Radialbeschleunigung ausgedrückt werden.

Winkelbeschleunigung Formel

Die Winkelbeschleunigung \alpha(t) lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken.

\alpha\left(t\right)=\frac{\mathrm{d\omega} }{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^\mathrm{2}\varphi}{\mathrm{d}t^2}

Wenn \alpha konstant ist, also wenn der Quotient aus der Änderung der Winkelgeschwindigkeit und der Änderung der Zeit konstant ist, dann spricht man von einer Kreisbewegung mit konstanter Beschleunigung.

Winkelbeschleunigung Einheit

Die Einheit der Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der letztgenannten Formel zu

\frac{\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}

da die Winkelbeschleunigung das Verhältnis der Änderung der Winkelgeschwindigkeit und der Änderung der Zeit beschreibt.

Winkelbeschleunigung berechnen

Zwischen der Winkelbeschleunigung, dem Drehmoment M und dem Trägheitsmoment I besteht eine enge Beziehung, welche folgende Formel zum Ausdruck bringt

M=I\ \cdot\alpha

Möchtest du mehr über das Drehmoment wissen, dann schau unseren extra Beitrag
Drehmoment dazu an. Nach der Eulersche’n Gleichung, entspricht die Änderung des Drehimpulses gerade dem Moment \vec{M} , so dass man folgenden Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelbeschleunigung erhält

\dot{\vec{L}}=\vec{M}=\underline{\underline{I}}\cdot\dot{\vec{\omega}}

Interessiert dich, was der Drehimpuls physikalisch beschreibt und wie du ihn berechnen kannst, dann schau unseren extra Beitrag Drehimpuls dazu an.

Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Im Folgenden wird noch einmal übersichtlich der Zusammenhang zwischen dem Rotationswinkel \varphi , der Winkelgeschwindigkeit \omega und der Winkelbeschleunigung \alpha dargestellt. Geht man von einem Rotationswinkel \varphi aus, dann kann daraus die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden, indem man die Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit ableitet

\omega=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}

Zusammenhang Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung, Winkelgeschwindigkeit, Winkel, Winkelbeschleunigung
Zusammenhang Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Durch weiteres einmaliges Ableiten der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit, erhält man dann die Winkelbeschleunigung \alpha

\alpha\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}

Dies ist gleichbedeutend mit der zweimaligen zeitlichen Ableitung des Rotationswinkels \varphi . Die Winkelbeschleunigung \alpha lässt sich also auch in Abhängigkeit des Rotationswinkels \varphi wie folgt ausdrücken

\alpha\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}


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