Regelungstechnik

Zusammengesetzte Übertragungsglieder: Das PT2-Glied

Das PT2-Glied gilt in der Regelungstechnik als wichtiges Werkzeug zur Darstellung von proportionalem Übertragungsverhalten 2. Ordnung. Hier erklären wir dir alles Wichtige, von der Zusammensetzung des PT2-Glieds bis zur Übergangsfunktion mit einem praktischen Beispiel.

Was ist das PT2-Glied?

Ein PT2- Glied entspricht zwei hintereinander geschalteten PT1- Gliedern und heißt Verzögerungsglied zweiter Ordnung. Das Strukturbild sieht damit so aus:

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
PT2-Glied

T ist hier wieder die Zeitkonstante und d die Dämpfungskonstante. Setzt man das PT2-Glied nur aus den elementaren Übertragungsgliedern zusammen, so würde sich folgendes Blockschaltbild ergeben:

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
Blockschaltbild zum PT2-Glied

Hier erkennst du auch, wo die Parameter des PT2-Glieds ihren Ursprung haben. Durch die Übergangsfunktion wird deutlich, dass sich ein PT2-Glied dem statischen Endwert langsamer annähert als ein PT1-Glied!

Beschreibung von PT2-Gliedern

PT2-Glieder lassen sich durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschreiben. Um beispielsweise eine Sprungantwort zu errechnen und herauszufinden wie das System einschwingt, ist es wichtig, zuvor die Lage der Pole der Übertragungsfunktion zu kennen.

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
PT2-Glied und Differentialgleichung zweiter Ordnung

Stellen wir unser System anhand einer linearen Differentialgleichung dar, beschreiben wir es als Funktion der Zeit, also im Zeitbereich. Dazu muss man das System bilanzieren und Bewegungsgleichungen oder Energieströme aufstellen. Eine noch übersichtlichere Darstellung der Zusammenhänge von Ein- und Ausgangsverhalten gibt es im Bildbereich. Man nennt diese Form Übertragungsfunktion G(s). Mit ihr lassen sich Systemantworten und Frequenzverhalten von Übertragungsgliedern ermitteln.

 

Oftmals will man aber wissen, wie ein System für ein definiertes Eingangssignal reagiert. Man möchte zum Beispiel die Sprungantwort oder die Impulsantwort ermitteln. Dazu nehmen wir unsere Differentialgleichung aus dem Zeitbereich und transformieren sie ohne ihre Anfangsbedingungen mit Hilfe der Korrespondenzen der Laplace-Transformation in den Bildbereich. Bilden wir nun den Quotienten aus der transformierten Ausgangsgröße und der transformierten Eingangsgröße, erhalten wir G(s)!

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
Lineare Differentialgleichung und ÜBertragungsfunktion G(s)

Das Besondere ist, dass diese Funktion für jeden Zustand des Systems gleich ist. Daher beschreibt sie jedes Verhalten eines Systems, sofern sich das System zum Zeitpunkt „t gleich 0“ im Ruhezustand befindet. Die Eigenschaften des betrachteten Systems finden sich in der Übertragungsfunktion in ihren Null- und Polstellen. Zur Erinnerung: Eine Polstelle beschreibt eine Definitionslücke einer Funktion, in deren Nähe die Funktionswerte gegen unendlich laufen. Daher verwendet man den sogenannten Pol-Nullstellen-Plan zur grafischen Darstellung.

PT2-Glied Beispiel

Aus der Mechanik ist dir sicher ein System bestehend aus einem Dämpfer, einer Masse und einer Feder bekannt! So ein System wird durch eine äußere Kraft F angeregt, wodurch es eine Auslenkung erfährt. Du hast sicherlich bereits gelernt, dass sich Systeme durch eine Differentialgleichung beschreiben lassen! In unserem Beispiel soll sie die Auslenkung als Funktion der Kraft F abbilden. Wir rufen uns dazu die Abhängigkeiten der Kraft in Erinnerung:

F_m\left(t\right)=m\ast a\left(t\right)

F_D\left(t\right)=D\ast v\left(t\right)

F_c\left(t\right)=c\ast x(t)

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
System und Kraft

Daraus ergibt sich nachfolgende Differentialgleichung. Dieses System lässt sich in der Regelungstechnik als PT2- Glied darstellen, das sich aus P-und T-Gliedern zusammensetzt. Die Funktionalbeziehung eines PT2-Glieds lautet wie in der Abbildung ersichtlich. T ist die Zeitkonstante, d der Dämpfungsfaktor und K der Verstärkungsfaktor. Unser Ziel ist es, die Übertragungsfunktion für dieses System zu bestimmen.

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
Funktionalbeziehung eines PT2-Glieds

Mit Hilfe der Korrespondenzen der Laplace-Transformation können wir die Differentialgleichung dann in den Bildbereich übertragen. Diesen Ausdruck vereinfachen wir noch weiter:

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
Differentialgleichung im Bildbereich

Wenn wir die Übertragungsfunktion erhalten wollen, müssen wir den Quotienten aus der transformierten Aus- und Eingangsgröße bilden:

G\left(s\right)=\frac{X(s)}{F(s)}

Mit Hilfe unserer Funktionalbeziehung gelangen wir jetzt durch Einsetzen von X(s) und F(s) zu unserer Übertragungsfunktion! Dafür stellen wir den Term zunächst um, ziehen wir das c in den Zähler und erhalten damit:

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
Von der Funktionalbeziehung zur Übertragungsfunktion

Wir können die Übertragungsfunktion auch direkt aus der Funktionalbeziehung herleiten. Es ergibt sich:

PT2-Glied, PT2-Glied Beispiel
Alternative Herleitung der Übertragungsfunktion

Damit haben wir aus anfänglichen Bilanzen eine Darstellungsform gefunden, die das Ein- und Ausgangsverhalten eines Systems in all seinen Facetten abbildet.

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