Elektrotechnik Grundlagen

Zweigstromanalyse

Beim Zweigstromverfahren ist der Name Programm: Es ist ein Verfahren zur Bestimmung der Ströme in den einzelnen Zweigen einer Schaltung. In diesem Beitrag zeigen wir dir wie das geht.

Berechnung der Ströme in den einzelnen Zweigen

Wir starten mit einer typischen Schaltung:

Zweigstromverfahren, Zweigstromanalyse
Zweigstromverfahren Schaltplan

Unsere Schaltung besteht aus zwei Spannungsquellen rechts und links, die die Spannungen U01 und U02 liefern. Zudem gibt es drei Widerstände in T-Schaltung.

Das Zweigstromverfahren basiert auf den Kirchhoffschen Gesetzen. Wir analysieren die Schaltung nach einem Fahrplan mit 5 Schritten.

1. Einzeichnen der Strom- und Spannungspfeile

Dabei ist die Richtung eigentlich unwichtig. Üblicherweise zeigen Ströme und die zugehörigen Spannungspfeile in die gleiche Richtung. Einen falsch angenommenen Pfeil erkennst du durch ein negatives Vorzeichen im Endergebnis.

Zweigstromverfahren, Zweigstromanalyse
1. Strom- und Spannungspfeile einzeichnen

Wie immer gehen wir davon aus, dass der Gesamtstrom aus der Spannungsquelle herausfließt. Dieser zeigt daher entgegengesetzt zur Gesamtspannung. Wir beginnen also mit den Zweigströmen I_1 und I_2, die nach oben aus der Quelle herausfließen. Die Ströme und Spannungen benennst du am besten nach den Widerständen. Der Strom über Widerstand R_1 heißt also I_1 .

Zudem fließen die Ströme I_2 und I_3. Weiterhin fallen über den einzelnen Widerständen die Spannungen U_1, U_2 und U_3 ab.

2. Einzeichnen der Knotenpunkte und Maschenläufe

Als nächstes zeichnest du die Knotenpunkte und Maschenumläufe ein.

Zweigstromverfahren, Zweigstromanalyse
2. Knotenpunkte und Maschenumläufe einzeichnen

Hier musst du überlegen wo ein Knotenpunkt oder eine Masche Sinn macht. Im Zweifelsfall ist es aber immer besser, eine Masche zu viel, als eine Masche zu wenig zu haben. Das Gleiche gilt auch für die Knoten.

Im Prinzip können wir an jeder beliebigen Stelle einen Knoten einzeichnen. Das ist aber nicht besonders sinnvoll, da uns das nicht weiterbringt. Als Faustregel gilt: Knotenpunkte kommen an alle Verzweigungen. An diesen kommt ein neuer Strom hinzu oder der Strom teilt sich auf. In unserem Beispiel bildet sich ein neuer Strom I_3 aus der Addition der Zweigströmen I_1 und I_2.

Zweigstromverfahren, Zweigstromanalyse
Die Maschen sollen linear unabhängig sein

Die Maschen sollen linear unabhängig sein. Aber was bedeutet das? Die Merkregel dazu ist, dass dir alle Bauteile mindestens einmal begegnen müssen. Das kannst du dir einfach so vorstellen, wie wenn du entlang einer Masche spazierst und auf dem Weg den einzelnen Widerständen begegnest. Wenn in einer Masche genau die gleichen Bauteile, wie in einer anderen vorkommen, dann sind diese linear abhängig und somit unnötig. In jeder neuen Masche muss es mindestens ein neues Bauteil geben, das in keiner anderen Masche vorkam.

Bauteile dürfen aber auch in mehreren Maschen vorkommen: Der Widerstand R_3 kommt sowohl in Masche M_1, als auch in M_2 vor.

3. Aufstellen der Knotengleichungen

Als dritten Schritt stellst du alle linear unabhängigen Knotengleichungen auf. In der Regel gibt es dabei eine Knotengleichung weniger als die Anzahl der Knoten. Die Knotengleichungen findest du durch Anwendung des ersten Kirchhoffschen Gesetzes. Dieses besagt, dass die Summe aller Ströme an einem Knoten Null ist. Zudem gilt: Zeigt der Strompfeil zum Knoten hin, dann ist der Strom positiv. Kommt der Strom aus dem Knoten hinaus, dann ist sein Vorzeichen negativ.

Zweigstromverfahren, Zweigstromanalyse
3. Aufstellen aller linear unabhängigen Knotengleichungen

Für die Knotengleichungen betrachten wir nur die einzelnen Ströme. Hier gilt:

K_1:\ I_1+I_2-I_3=0

K_2:\ I_3-I_1-I_2=0

In dieser Gleichung steckt keine neue Information, sie ist linear abhängig mit der Gleichung für Knoten 1. Daher können wir die Gleichung für Knoten 2 vernachlässigen.

\rightarrow K_2:\ I_3-I_1-I_2=0

Zweigstromverfahren, Zweigstromanalyse
Die Gleichung für den Knoten 2 kann vernachlässigt werden

4. Aufstellen der Maschengleichungen

Den dritten Schritt haben wir damit abgehakt. Schauen wir uns den nächsten Schritt auf unserem Fahrplan an: Hier musst du alle linear unabhängigen Maschengleichungen aufstellen.

Dazu gehen wir nach dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz vor: Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist Null. Zeigen die Spannung und die Masche in die gleiche Richtung, dann ist das Vorzeichen der Spannung positiv, andernfalls ist das Vorzeichen negativ.

Zweigstromverfahren, Zweigstromanalyse
Anwendung des 2. Kirchhoffschen Gesetzes

Für die Maschen gilt hier:

M_1:\ -U_{01}+U_1+U_3=0

M_2:\ -U_{02}+U_2+U_3=0

Hier berücksichtigen wir die Ströme, in dem wir die Spannungen U_1, U_2 und U_3 mit U_i = R_i * I_i ersetzen.

M_1:\ -U_{01}+R_1\ast I_1+R_3{\ast I}_3=0

M_2:\ -U_{02}+R_2\ast I_2+R_3\ast I_3=0

5. Auflösen des Gleichungssystems

Damit hast du’s auch schon fast geschafft. Als letztes musst du nur noch das Gleichungssystem nach den Zweigströmen auflösen.

Unser Gleichungssystem sieht so aus:

K_1:\ I_1+I_2-I_3=0

M_1:\ -U_{01}+R_1\ast I_1+R_3{\ast I}_3=0

M_2:\ -U_{02}+R_2\ast I_2+R_3\ast I_3=0

Zweigstromverfahren, Zweigstromanalyse
5. Auflösen des Gleichungssystems

Nun hast du drei Unbekannte und drei Gleichungen. Durch geschicktes ineinander einsetzen und auflösen kannst du die Zweigströme I_1, I_2 und I_3 bestimmen.

Aus K_1 folgt: I_3 = I_1 + I_2

Wenn du I_3 in die Maschengleichungen M_1 einsetzt und anschließendes nach I_2 auflöst, ergibt sich:

M_1:-U_{01}+R_1\ast I_1+R_3{\ast(I}_1+I_2)=0

I_2=\frac{1}{R_3}\ast(U_{01}-I_1\ast\left(R_1+R_3\right))

In Masche 2 setzen wir nun auch K_1 ein:

M_2:\ -U_{02}+R_2\ast I_2+R_3\ast{(I}_1+I_2)=0

Jetzt setzen wir I_2 ein und lösen dann nach I_1 auf:

U_{02}+R_2\ast(\frac{1}{R_3}\ast(U_{01}-I_1\ast\left(R_1+R_3\right)))+R_3\ast{(I}_1+(\frac{1}{R_3}\ast(U_{01}-I_1\ast\left(R_1+R_3\right))))=0

Das ergibt:

I_1=\frac{U_{01}\left(R_2+R_3\right)-U_{02}R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_1R_3}

I_2=\frac{U_{02}\left(R_1+R_3\right)-U_{01}R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_1R_3}

I_3=\frac{U_{01}R_2+U_{02}R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_1R_3}

Wie du vielleicht gemerkt hast, ist dieser Schritt ziemlich aufwändig. Für zwei Maschen und ein Knoten ist er aber noch gut machbar und das schnellste Verfahren. Wenn deine Schaltung komplizierter wird, dann ist es besser das Knotenpunktpotentialverfahren oder das Maschenstromverfahren zu benutzen.

Zusammenfassung: Vorgehen bei der Zweigstromanalyse

Fassen wir das ganze nochmal zusammen. Unser Fahrplan für das Zweigstromverfahren besteht aus fünf Schritten:

  1. Strom- und Spannungspfeile einzeichnen
  2. Knotenpunkte und Maschenumläufe einzeichnen
  3. Alle linear unabhängigen Knotengleichungen aufstellen
  4. Alle linear unabhängigen Maschengleichungen aufstellen und
  5. Gleichungssystem nach den Zweigströmen auflösen

Jetzt weißt du wie du im Zweigstromverfahren vorgehen musst. Mit diesen fünf Schritten löst du den nächsten Schaltkreis mit links! Viel Erfolg dabei!

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